全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第10講整式的乘法與除法教育

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)（八年級(jí)）教學(xué)案全集第十講整式的乘法與除法中學(xué)代數(shù)中的整式是從數(shù)的概念基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，因而保留著許多數(shù)的特征，研究的內(nèi)容與方法也很類似.例如，整式的四則運(yùn)算就可以在許多方面與數(shù)的四則運(yùn)算相類比；也像數(shù)的運(yùn)算在算術(shù)中占有重要的地位一樣，整式的運(yùn)算也是代數(shù)中最基礎(chǔ)的部分，它在化簡(jiǎn)、求值、恒等變形、解方程等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.通過(guò)整式的運(yùn)算，同學(xué)們還可以在準(zhǔn)確地理解整式的有關(guān)概念和法則的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高自己的運(yùn)算能力.為此，本講著重介紹整式運(yùn)算中的乘法和除法.整式是多項(xiàng)式和單項(xiàng)式的總稱.整式的乘除主要是多項(xiàng)式的乘除.下面先復(fù)習(xí)一下整式計(jì)算的常用公式，然后進(jìn)行例題分析.正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：; ;~ W0 > ；fn__IL⑵H段0).常用的乘法公式:(3)《a±b)(/不ab+b2)二京±土土 土；展開后，項(xiàng)的系數(shù).解-- - ---）因?yàn)轫?xiàng)只在--中出現(xiàn)，所以只要看-- -中項(xiàng)的系數(shù)即可.根據(jù)乘法公式有，所以項(xiàng)的系數(shù)為3說(shuō)明應(yīng)用乘法公式的關(guān)鍵，是要理解公式中字母的廣泛含義，對(duì)公式中的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、符號(hào)、系數(shù)，不要混淆，要達(dá)到正確、熟練、靈活運(yùn)用的程度，這樣會(huì)給解題帶來(lái)極大便利.9例2先化簡(jiǎn)，再求當(dāng)國(guó)=■.時(shí)的值..解原式- - --- -說(shuō)明注意本例中- -力-8例化簡(jiǎn)— —…-，其中為大于的整數(shù).解原式- -???—說(shuō)明本例可推廣為一個(gè)一般的形式:- ???例計(jì)算分析與解 這兩個(gè)多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)或者相同或者互為相反數(shù)，所以可考慮應(yīng)用平方差公式，分別把相同項(xiàng)結(jié)合，相反項(xiàng)結(jié)合.原式

TOC\o"1-5"\h\z-的結(jié)果是-,這個(gè)結(jié)果與多項(xiàng)式-相乘時(shí)，不能直接應(yīng)用公式，但- -與前兩個(gè)因式相乘的結(jié)果-相乘時(shí)就可以利用立方差公式了.原式- - --?-- - ,例設(shè)x,為實(shí)數(shù)，且的值.4+1)(7+1)(/+1)(yz+1)(ex+l)(xy+1)的值.4+1)(7+1)(/+1)解先將已知條件化簡(jiǎn)：左邊 ---右邊 ---所以已知條件變形為- - -即 -因?yàn)椋?，均為?shí)數(shù)，所以 .所以所求代數(shù)式=更:i:'珪二t△二J」)所示代敖漢-伊+及匕+.肌3+]).說(shuō)明本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所區(qū)別，請(qǐng)仔細(xì)琢磨，靈活運(yùn)用公式，會(huì)給解題帶來(lái)益處.我們把形如為非負(fù)整數(shù)的代數(shù)式稱為關(guān)于的一元多項(xiàng)式，常用x）表示一元多項(xiàng)式.多項(xiàng)式的除法比較復(fù)雜，為簡(jiǎn)單起見，我們只研究一元多項(xiàng)式的除法.像整數(shù)除法一樣，一元多項(xiàng)式的除法，也有整除、商式、余式的概念.一般地，一個(gè)一元多項(xiàng)式 除以另一個(gè)一元多項(xiàng)式 時(shí)，總存在一個(gè)商式 與一個(gè)余式 ，使得 成立，其中的次數(shù)小于 的次數(shù).特別地，當(dāng) 時(shí)，稱能被整除.例設(shè)-, ---1求用去除所得的商及余式.解法用普通的豎式除法鼠顏,一…我。―2笠+1）--含。一莘一1?26'—x因此，所求的商qQ）= -1-x,余式f（國(guó)）=-|.解法用待定系數(shù)法.由于為次多項(xiàng)式，首項(xiàng)系數(shù)為，而 為次，首項(xiàng)系數(shù)為3,故商q 必為1次，-首項(xiàng)系數(shù)必為而余式次數(shù)小于2.于是可設(shè)商式q（混）=+a,余式根據(jù),、1=(3區(qū)叱2文+1)—+a+(.bx+c)TOC\o"1-5"\h\z13 1fr 2) ( i￥、簸=竄3+ga_—'x?+b-2a+--^+(a+c).I閭 l #-4-比較兩端系數(shù)，得"2口自一三=>3，1《b-2a+：-=-1,a+c=-1.解得a=V，b=C="|,故商式q(Q=9"春余式r(Q,26.2=--X-—■TOC\o"1-5"\h\z9 9例試確定和，使-能被整除.解由于 ，因此，若設(shè)- ,假如能被 整除，則 和必是