全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第10講整式的乘法與除法教育

全國初中數(shù)學競賽輔導（八年級）教學案全集第十講整式的乘法與除法中學代數(shù)中的整式是從數(shù)的概念基礎上發(fā)展起來的，因而保留著許多數(shù)的特征，研究的內(nèi)容與方法也很類似.例如，整式的四則運算就可以在許多方面與數(shù)的四則運算相類比；也像數(shù)的運算在算術(shù)中占有重要的地位一樣，整式的運算也是代數(shù)中最基礎的部分，它在化簡、求值、恒等變形、解方程等問題中有著廣泛的應用.通過整式的運算，同學們還可以在準確地理解整式的有關(guān)概念和法則的基礎上，進一步提高自己的運算能力.為此，本講著重介紹整式運算中的乘法和除法.整式是多項式和單項式的總稱.整式的乘除主要是多項式的乘除.下面先復習一下整式計算的常用公式，然后進行例題分析.正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則：; ;~ W0 > ；fn__IL⑵H段0).常用的乘法公式:(3)《a±b)(/不ab+b2)二京±土土 土；展開后，項的系數(shù).解-- - ---）因為項只在--中出現(xiàn)，所以只要看-- -中項的系數(shù)即可.根據(jù)乘法公式有，所以項的系數(shù)為3說明應用乘法公式的關(guān)鍵，是要理解公式中字母的廣泛含義，對公式中的項數(shù)、次數(shù)、符號、系數(shù)，不要混淆，要達到正確、熟練、靈活運用的程度，這樣會給解題帶來極大便利.9例2先化簡，再求當國=■.時的值..解原式- - --- -說明注意本例中- -力-8例化簡— —…-，其中為大于的整數(shù).解原式- -???—說明本例可推廣為一個一般的形式:- ???例計算分析與解 這兩個多項式對應項或者相同或者互為相反數(shù)，所以可考慮應用平方差公式，分別把相同項結(jié)合，相反項結(jié)合.原式

TOC\o"1-5"\h\z-的結(jié)果是-,這個結(jié)果與多項式-相乘時，不能直接應用公式，但- -與前兩個因式相乘的結(jié)果-相乘時就可以利用立方差公式了.原式- - --?-- - ,例設x,為實數(shù)，且的值.4+1)(7+1)(/+1)(yz+1)(ex+l)(xy+1)的值.4+1)(7+1)(/+1)解先將已知條件化簡：左邊 ---右邊 ---所以已知條件變形為- - -即 -因為，，均為實數(shù)，所以 .所以所求代數(shù)式=更:i:'珪二t△二J」)所示代敖漢-伊+及匕+.肌3+]).說明本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所區(qū)別，請仔細琢磨，靈活運用公式，會給解題帶來益處.我們把形如為非負整數(shù)的代數(shù)式稱為關(guān)于的一元多項式，常用x）表示一元多項式.多項式的除法比較復雜，為簡單起見，我們只研究一元多項式的除法.像整數(shù)除法一樣，一元多項式的除法，也有整除、商式、余式的概念.一般地，一個一元多項式 除以另一個一元多項式 時，總存在一個商式 與一個余式 ，使得 成立，其中的次數(shù)小于 的次數(shù).特別地，當 時，稱能被整除.例設-, ---1求用去除所得的商及余式.解法用普通的豎式除法鼠顏,一…我。―2笠+1）--含。一莘一1?26'—x因此，所求的商qQ）= -1-x,余式f（國）=-|.解法用待定系數(shù)法.由于為次多項式，首項系數(shù)為，而 為次，首項系數(shù)為3,故商q 必為1次，-首項系數(shù)必為而余式次數(shù)小于2.于是可設商式q（混）=+a,余式根據(jù),、1=(3區(qū)叱2文+1)—+a+(.bx+c)TOC\o"1-5"\h\z13 1fr 2) ( i￥、簸=竄3+ga_—'x?+b-2a+--^+(a+c).I閭 l #-4-比較兩端系數(shù)，得"2口自一三=>3，1《b-2a+：-=-1,a+c=-1.解得a=V，b=C="|,故商式q(Q=9"春余式r(Q,26.2=--X-—■TOC\o"1-5"\h\z9 9例試確定和，使-能被整除.解由于 ，因此，若設- ,假如能被 整除，則 和必是