數(shù)學(xué)人教A版必修4導(dǎo)學(xué)案1.2.1任意角的三角函數(shù)（第2課時(shí)）

第2課時(shí)三角函數(shù)線1.了解三角函數(shù)線的定義和意義.2.會(huì)用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切.3.掌握三角函數(shù)線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.三角函數(shù)線(1)有向線段：帶有的線段叫做有向線段.(2)定義：如圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與角α的終邊交于點(diǎn)P(角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合).過點(diǎn)P作x軸的垂線PM，垂足為M，過點(diǎn)A作單位圓的切線交OP的延長線(或反向延長線)于T點(diǎn)，這樣就有sinα＝，cosα＝，tanα＝.單位圓中的有向線段MP、OM、AT分別叫做角α的線、線、線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.①三角函數(shù)線的位置：正弦線為α的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中正弦線和余弦線在單位圓內(nèi)，正切線在單位圓外.②三角函數(shù)線的方向：正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向單位圓與α的終邊(或反向延長線)的交點(diǎn).③三角函數(shù)線的正負(fù)：三條有向線段凡與x軸正方向或y軸正方向同向的為正值，與x軸正方向或y軸正方向反向的為負(fù)值.④三角函數(shù)線的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后.⑤三角函數(shù)線的意義：三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的符號(hào)；三角函數(shù)線的長度等于所表示的三角函數(shù)值的絕對(duì)值.【做一做1－1】如圖所示，P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM⊥x軸于M，AT和A′T′均是單位圓的切線，則角α的()PM，正切線是A′T′ MP，正切線是A′T′MP，正切線是AT PM，正切線是AT【做一做1－2】不論角α的終邊位置如何，在單位圓中作三角函數(shù)線時(shí)，下列說法正確的是()、余弦線、正切線、余弦線、正切線，但可能不只一條、余弦線、正切線都可能不存在、余弦線總存在，但正切線不一定存在答案：(1)方向(2)MPOMAT正弦余弦正切【做一做1－1】C【做一做1－2】D三角函數(shù)線的應(yīng)用剖析：三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的直觀表達(dá)形式，從三角函數(shù)線的方向可看出三角函數(shù)值的符號(hào)，從三角函數(shù)線的長度可看出三角函數(shù)值的絕對(duì)值大小.三角函數(shù)線的主要作用是解三角方程和不等式、證明三角不等式、求函數(shù)定義域及比較大小，同時(shí)它也是以后畫三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ).題型一解三角方程【例1】在單位圓中畫出滿足sinα＝eq\f(1,2)的角α的終邊，并寫出α組成的集合.分析：先作出直線y＝eq\f(1,2)與單位圓的交點(diǎn)P，Q，再連接OP，OQ即得.反思：形如sinα＝m，cosα＝n，tanα＝t的等式，可借助于三角函數(shù)線寫出α組成的集合.其步驟是：①在單位圓中畫出α的終邊；②在［0,2π)內(nèi)找出滿足條件的角；③用終邊相同的角的集合寫出.題型二解簡(jiǎn)單的三角不等式【例2】解不等式sinα≥－eq\f(1,2).分析：由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝sineq\f(7,6)π＝－eq\f(1,2)，則在坐標(biāo)系中畫出－eq\f(π,6)和eq\f(7,6)π，確定α的終邊位置.反思：對(duì)應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)角的范圍.題型三易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)錯(cuò)解函數(shù)的定義域【例3】求函數(shù)y＝eq\r(1＋2cosx)＋lg(2sinx＋eq\r(3))的定義域.＞－eq\f(\r(3),2).所以2kπ＋eq\f(4π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(8π,3)且2kπ－eq\f(π,3)＜x＜2kπ＋eq\f(4π,3)，其中k∈Z.其交集為空集，故無定義域.錯(cuò)因分析：因兩個(gè)不等式中的k各自獨(dú)立，因此上述兩集合是有公共部分的，如圖所示.反思：解三角不等式組時(shí)，先解每個(gè)三角不等式，再取它們的交集.取交集時(shí)，要注意各自解集中k的獨(dú)立性.答案：【例1】解：如圖，作直線y＝eq\f(1,2)交單位圓于點(diǎn)P，Q，連接OP，OQ，則射線OP，OQ為角α的終邊．由于sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，則OP是eq\f(π,6)的終邊，OQ是eq\f(5π,6)的終邊．所以α＝eq\f(π,6)＋2kπ或α＝eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z.則α組成的集合為S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,6)＋2kπ或α＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).【例2】解：如圖所示，作直線y＝－eq\f(1,2)交單位圓于A，B兩點(diǎn)，則∠xOA＝eq\f(7π,6)，∠xOB＝－eq\f(π,6).過在直線AB上方的圓弧上任一點(diǎn)P作PM⊥x軸于M，則MP＝sinα.則α的終邊不能與直線AB下方的圓弧有交點(diǎn)，則有2kπ－eq\f(π,6)≤α≤2kπ＋eq\f(7π,6)(k∈Z)．即原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)≤α≤2kπ＋\f(7,6)π，k∈Z)))).【例3】正解：要使函數(shù)有意義，則需同時(shí)滿足1＋2cosx≥0且2sinx＋eq\r(3)＞0，即cosx≥－eq\f(1,2)，且sinx＞－eq\f(\r(3),2).由cosx≥－eq\f(1,2)，知2kπ－eq\f(2π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.由sinx＞－eq\f(\r(3),2)，知2nπ－eq\f(π,3)＜x＜2nπ＋eq\f(4π,3)，n∈Z，∴x的取值范圍是{x|2kπ－eq\f(π,3)＜x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．1．下列各式正確的是()1＞ 1＜1＝ 1≥2．已知tanx＝1，則x＝________.3．不等式cosx＞0的解集是________.4．在單位圓中畫出滿足cosα＝的角α的終邊，并寫出α組成的集合.5．求函數(shù)y＝的定義域.答案：1．B1和的終邊均在第一象限，且的正弦線大于1的正弦線，則sin1＜.2．x＝＋kπ(k∈Z)3．{x|2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z}．如圖所示，OM是角x的余弦線，則有cosx＝OM＞0，∴OM的方向向右．∴角x的終邊在y軸的右方．∴2kπ－＜x＜2kx＋，k∈Z.4.解：如圖所示，作直線x＝交單位圓于M，N，連接OM，ON，則OM，ON為α的終邊．由于＝，＝，則M在的終邊上，N在的