數(shù)軸標(biāo)根法及習(xí)題

數(shù)軸穿根法一、觀點(diǎn)簡介“數(shù)軸標(biāo)根法”又稱“數(shù)軸穿根法”或“穿針引線法”正確的說，應(yīng)當(dāng)叫做“序軸標(biāo)根法”。序軸：省去原點(diǎn)和單位，只表示數(shù)的大小的數(shù)軸。序軸上標(biāo)出的兩點(diǎn)中，左側(cè)的點(diǎn)表示的數(shù)比右邊的點(diǎn)表示的數(shù)小。是高次不等式的簡單解法為了形象地表現(xiàn)正負(fù)值的變化規(guī)律，能夠畫一條浪線從右上方挨次穿過每一根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，穿過最后一個(gè)點(diǎn)后就不再變方向，這類畫法俗稱“穿針引線法”二、方法步驟第一步：經(jīng)過不等式的諸多性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行移項(xiàng)，使得右邊為0。（注意：必定要保證x前的系數(shù)為正數(shù)）比如：將x^3-2x^2-x+2>0化為(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：將不等號(hào)換成等號(hào)解出全部根。比如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根為：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在數(shù)軸上從左到右挨次標(biāo)出各根。比如：-112第四步：畫穿根線：以數(shù)軸為標(biāo)準(zhǔn)，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線，而后又穿過“次右根”上去，一上一下挨次穿過各根。第五步：察看不等號(hào)，假如不等號(hào)為“>”，則取數(shù)軸上方，穿根線之內(nèi)的范圍；假如不等號(hào)為“<”則取數(shù)軸下方，穿根線之內(nèi)的范圍。x的次數(shù)若為偶數(shù)則不穿過，即奇過偶可是。比如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。畫穿根線：由右上方開始穿根。由于不等號(hào)為“>”則取數(shù)軸上方，穿跟線之內(nèi)的范圍。即：-1<x<1或x>2。（如下列圖所示）三、奇過偶可是就是當(dāng)不等式中含有獨(dú)自的x偶數(shù)冪項(xiàng)時(shí)，如(x^2)或(x^4)時(shí)，穿根線是不穿過0點(diǎn)的。可是關(guān)于X奇數(shù)冪項(xiàng)，就要穿過0點(diǎn)了。還有一種狀況就是比如：（X-1)^2.當(dāng)不等式里出現(xiàn)這類部分時(shí)，線是不穿過1點(diǎn)的。可是關(guān)于如（X-1)^3的式子，穿根線要過1點(diǎn)。也是奇過偶可是。能夠簡單記為“奇穿過，偶彈回”，一稱“奇穿偶切”。（如圖三，為（X-1)^2）四、注意事項(xiàng)運(yùn)用序軸標(biāo)根法解不等式時(shí)，常犯以下的錯(cuò)誤：1．出現(xiàn)形如（a－x）的一次因式時(shí)，倉促地“穿針引線”。例1解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。解x（3－x）（x+1）（x－2）>0，將各根－1、0、2、3挨次標(biāo)在數(shù)軸上，由圖1可得原不等式的解集為{x|x<－1或0<x<2或x>3}。事實(shí)上，只有將因式（a－x）變成（x－a）的形式后才能用序軸標(biāo)根法，正確的解法是：解原不等式變形為x（x－3）（x+1）（x－2）<0，將各根－1、0、2、3挨次標(biāo)在數(shù)軸上，由圖1，原不等式的解集為{x|－1<x<0或2<x<3}。2．出現(xiàn)重根時(shí)，機(jī)械地“穿針引線”例2解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0解將三個(gè)根－1、1、4標(biāo)在數(shù)軸上，由圖2得，原不等式的解集為{x|x<－1或1<x<4}。（如圖二）這類解法也是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在不加剖析地、機(jī)械地“穿針引線”。出現(xiàn)幾個(gè)同樣的根時(shí)，所畫的浪線碰到“偶次”點(diǎn)（即偶數(shù)個(gè)同樣根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)）不可以過數(shù)軸，仍在數(shù)軸的同側(cè)折回，只有碰到“奇次”點(diǎn)（即奇數(shù)個(gè)同樣根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)）才能穿過數(shù)軸，正確的解法以下：解將三個(gè)根－1、1、4標(biāo)在數(shù)軸上，如圖3畫出浪線圖來穿過各根對(duì)應(yīng)點(diǎn)，遇到x=1的點(diǎn)時(shí)浪線不穿過數(shù)軸，仍在數(shù)軸的同側(cè)折回；碰到x=4的點(diǎn)才穿過數(shù)軸，于是，可獲得不等式的解集{x|－1<x<4且x≠1}（如圖三）3．出現(xiàn)不可以再分解的二次因式時(shí)，簡單地放棄“穿針引線”例3解不等式x（x+1）（x－2）（x^3－1）>0解原不等式變形為x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，有些同學(xué)同解變形到這里時(shí)以為不可以用序軸標(biāo)根法了，由于序軸標(biāo)根法指明要分解成一次因式的積，事實(shí)上，依據(jù)這個(gè)二次因式的符號(hào)將其消去再運(yùn)用序軸標(biāo)根法即可。解原不等式等價(jià)于x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，x^2+x+1>0對(duì)全部x恒建立，x（x－1）（x+1）（x－2）>0，由圖4可得原不等式的解集為{x|x<－1或0<x<1或x>2}數(shù)軸標(biāo)根法-練習(xí)題1.不等式x2﹣6x+8≤0的解集為_________.2.2x2x60的解集為________________3.6x25x60的解集為_________________4.x22x30的解集為__________________5.2x27x40的解集為___________________6.(x3)(x1)(x25x6)0的解集為______________7.x2(x1)(2x)0的解集為__________________8.(x4)2(x2)3(x21)0的解集為________________9.10.

x30的解集為___________________10x1的解集為________________x23x2011.x22x3的解集為_______________x3112.x的解集為___________________24x13.x2x13x2

的解集為________________14．（2013?廣東）不等式x2+x﹣2＜0的解集為_________．15．（2012?湖南）不等式x2﹣5x+6≤0的解集為_________．16．（2008?北京）不等式的解集是_________．17．（2011?巢湖模擬）不等式的解集為_________．18．（2008?楊浦區(qū)二模）不等式的解為_________．19．（2008?盧灣區(qū)二模）不等式的解集為_________．20．不等式﹣x2+5x﹣6＞0的解集為_________．21．不等式2x2﹣3x﹣2＜0的解集為_________．22．不等式﹣x2﹣4x+5＞0的解集是_________．10．函數(shù)的定義域是_________．11．不等式的解集為_________．12．不等式

的解集是

_________．13．已知函數(shù)

f（x）=

的定義域是一

確實(shí)數(shù)，則

m的取值范圍是_________

．14