2023屆高考數(shù)學二輪復習專項突破08分段函數(shù)

分段函數(shù)專項突破高考定位分段函數(shù)的求值、單調性和含參數(shù)的函數(shù)的單調性和最值等問題，是每年高考的重點。既可以整體把握，也可以分類討論.整體把握做好的辦法是做圖，而分類討論思想實際上是一種化整為零、化繁為簡、分別對待、各個擊破的思維策略在數(shù)學解題中的運用.分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想方法，它在人類的思維發(fā)展中起著重要的作用.分類討論思想，可培養(yǎng)邏輯思維能力和抽象思維能力和嚴密的思考問題的能力。考點解析一、分段函數(shù)的分類（1）初等函數(shù)組合型（2）含絕對值型（3）周期性分段（4）對成型分段（5）新定義型二、處理辦法（1）討論（2）圖像題型分類類型一、初等函數(shù)組合分段函數(shù)例1-1（不含參數(shù)）函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))為（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．即是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【答案】A【解析】法一：定義法當x>0時，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；當x<0時，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．法二：圖象法，作出函數(shù)f(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關于原點對稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．例1-2（含參數(shù)）（2021·福建龍巖市·上杭一中高三）已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】（-∞，2）∪（4，+∞）【分析】根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖像，對參數(shù)a分類討論，數(shù)形結合求得函數(shù)有2個零點時滿足的參數(shù)范圍.【詳解】作出函數(shù)圖像，易知與有3個交點，其中，是其兩個交點的橫坐標，①當時，函數(shù)的圖像為：由圖知，存在實數(shù)b，使函數(shù)有兩個零點；②當時，函數(shù)的圖像為：由圖知，函數(shù)單調遞增，不存在實數(shù)b，使函數(shù)有兩個零點；③當時，函數(shù)的圖像為：或由圖知，存在實數(shù)b，使函數(shù)有兩個零點；綜上所述，存在實數(shù)b，使函數(shù)有兩個零點的參數(shù)a的范圍為練（2021·北京市第十二中學高三月考）已知，函數(shù)，函數(shù)恰有2個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由于恰有個零點，結合圖象可知，時，有兩個零點.故選：B例1-3（含參數(shù)）已知函數(shù)，若對于任意一個正數(shù)，不等式在上都有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由不等式可知，或，結合圖象，分析可得的取值范圍.【詳解】當時，，得，，不能滿足都有解；當時，，得或，如圖，當或時，只需滿足或，滿足條件.所以，時，滿足條件.例1-4（含參數(shù)）（多選題）（2021·遼寧實驗中學高三）已知函數(shù)(即，)則（）A．當時，是偶函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．設最小值為，則 D．方程可能有2個解【答案】ABD【分析】結合奇偶函數(shù)的定義和二次函數(shù)的性質逐一判斷選項即可.【詳解】：當時，，即，所以，所以是偶函數(shù)，故正確；：當時，，的對稱軸為，開口向上，此時在上是增函數(shù)，當時，，的對稱軸為，開口向上，此時在上是增函數(shù)，綜上，在上是增函數(shù)，故正確；：當時，，當時，，因為不能確定的大小，所以最小值無法判斷，故錯誤；：令，當時，，有2個解，故正確.例1-5（含參數(shù)）（2021·重慶市永川北山中學校）設若，則________．【答案】【分析】分和兩種情況討論，結合函數(shù)的解析式解方程，可求得實數(shù)的值，進而求得結果.【詳解】若，則，由，得，即，解得：（舍去）或；若，由，得，該方程無解.綜上可知，，。例1-6（含參數(shù)）已知函數(shù)f(x)=ex-1,x>0-x2-A．0,14B．13,3C．(1,2)D【答案】D【解析】【分析】由題意結合函數(shù)的圖形將原問題轉化為二次方程根的分布的問題，據(jù)此得到關于a的不等式組，求解不等式組即可.【詳解】繪制函數(shù)f(x)=ex-1,x>0-x2-2x+1,x≤0的圖象如圖所示，令fx=類型二、含絕對值的分段函數(shù)例2-1．（多選題）（2021·福建高三二模）若函數(shù)，則（）A．是周期函數(shù) B．在上有4個零點C．在上是增函數(shù) D．的最小值為【答案】BC【分析】直接利用函數(shù)的性質，函數(shù)的周期性，單調性，函數(shù)的導數(shù)，二次函數(shù)的性質的應用判斷A、B、C、D的結論．【詳解】函數(shù)，對于A：函數(shù)不是周期函數(shù)，故A錯誤；對于B，令，在，上，求得，，，，故B正確；對于C：當時，，所以，由于，所以且，故，故函數(shù)在上單調遞增，故C正確；對于D：由于，當時，，故D錯誤．例2-2.（多選題）（2021·廣東高三專題練習）已知函數(shù)，以下結論正確的是（）A．是偶函數(shù)B．最小值為2C．在區(qū)間上單調遞減D．的周期為2【答案】AB【分析】先判斷的奇偶性及周期，從而判斷A,D;所以只須研究在的性質，即，然后分別求導數(shù)可得單調性以及最值.【詳解】∵，，∴是偶函數(shù)，A正確；因為，所以函數(shù)的周期為，D錯誤；由函數(shù)的奇偶性與周期性，只須研究在上的性質.，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，此時；當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，此時，故當時，，B正確.因為在上單調遞減，又是偶函數(shù)，故在上單調遞增，故C錯誤.例2-3．已知f(x),g(x)都是定義域為R的連續(xù)函數(shù)．已知：g(x)滿足：①當x>0時，g'(x)>0恒成立；②?x∈R都有g(x)=g(-x)．f(x【答案】(-【解析】【分析】根據(jù)條件可得函數(shù)g（x）的奇偶性和單調性，利用條件可得函數(shù)f（x）的周期性，將不等式進行轉化為求函數(shù)最值恒成立即可得到結論．【詳解】∵函數(shù)g（x）滿足：當x＞0時，g'（x）＞0恒成立且對任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），∴函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調遞增函數(shù)，且有g|（x|）=g（x），∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），x∈[-32-23,32-23]恒成立?|f（x）|≤|a2﹣a+2|恒成立，只要使得定義域內|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，由f（x+3）=f（x﹣3），得f（x+23）=f（x），即函數(shù)f（f（x）=x3﹣3x，求導得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），該函數(shù)過點（﹣3，0），（0，0），（3，0），且函數(shù)在x=﹣1處取得極大值f（﹣1）=2，在x=1處取得極小值f（1）=﹣2，即函數(shù)f（x）在R上的最大值為2，∵x∈[-32-23,32-23]，函數(shù)的周期是23，∴當x∈[-32-23,32-23]時，函數(shù)練．（2021·江蘇·常州市西夏墅中學高三開學考試）設是定義在上的偶函數(shù)，且當時，.若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的值可以是（）A．-1 B． C． D．【答案】ABC【詳解】因為函數(shù)，當時，單調遞減，當時，單調遞減，又，所以在上單調遞減，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，因為不等式對任意的恒成立，而，所以對任意的恒成立，即對任意的恒成立，故對任意的恒成立，令，所以，解得，所以可以為-1，，.故選：ABC.類型三、周期類分段函數(shù)例3-1（多選題）已知函數(shù)若函數(shù)有且只有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】BCD【分析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，將原問題轉化為函數(shù)的圖象與直線有兩個不同的交點，根據(jù)圖示可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，作出的圖像如下所示：令，得，所以要使函數(shù)有且只有兩個不同的零點，所以只需函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點，根據(jù)圖形可得實數(shù)的取值范圍為，【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解．例3-2．定義在上函數(shù)滿足，且當時，，則使得在上恒成立的的最小值是______________.【答案】【解析】由題設知，當時，，故，同理：在上，，∴當時，.函數(shù)的圖象，如下圖示.在上，，得或.由圖象知：當時，.故答案為：.類型四、對稱分段例4-1．已知函數(shù)，函數(shù)有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】或【解析】解：函數(shù)，函數(shù)的圖象關于對稱，繪制函數(shù)圖像如圖所示，函數(shù)有2個零點則函數(shù)與函數(shù)有2個交點，當斜率為零，即時，由圖像可得有兩個交點，則成立；當斜率不為零，即時，如圖所示，考查臨界情況，當直線與函數(shù)相切時，設切點坐標為，由題意可得：，解得則直線與函數(shù)相切時斜率為，數(shù)形結合可知實數(shù)a的取值范圍是．綜上，答案為：或．類型五、新定義分段函數(shù)例5-1定義maxa,b為a,b中的最大值，函數(shù)fx=maxlog2x+1,2-【答案】0,1【解析】【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)fx寫成分段函數(shù)的形式，分析可得其最小值，即可得c的值，進而可得gx=2m-1x+【詳解】根據(jù)題意，fx=maxlo