2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)突破08分段函數(shù)

分段函數(shù)專項(xiàng)突破高考定位分段函數(shù)的求值、單調(diào)性和含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性和最值等問(wèn)題，是每年高考的重點(diǎn)。既可以整體把握，也可以分類討論.整體把握做好的辦法是做圖，而分類討論思想實(shí)際上是一種化整為零、化繁為簡(jiǎn)、分別對(duì)待、各個(gè)擊破的思維策略在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用.分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它在人類的思維發(fā)展中起著重要的作用.分類討論思想，可培養(yǎng)邏輯思維能力和抽象思維能力和嚴(yán)密的思考問(wèn)題的能力。考點(diǎn)解析一、分段函數(shù)的分類（1）初等函數(shù)組合型（2）含絕對(duì)值型（3）周期性分段（4）對(duì)成型分段（5）新定義型二、處理辦法（1）討論（2）圖像題型分類類型一、初等函數(shù)組合分段函數(shù)例1-1（不含參數(shù)）函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))為（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．即是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【答案】A【解析】法一：定義法當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．法二：圖象法，作出函數(shù)f(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．例1-2（含參數(shù)）（2021·福建龍巖市·上杭一中高三）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】（-∞，2）∪（4，+∞）【分析】根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖像，對(duì)參數(shù)a分類討論，數(shù)形結(jié)合求得函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)滿足的參數(shù)范圍.【詳解】作出函數(shù)圖像，易知與有3個(gè)交點(diǎn)，其中，是其兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像為：由圖知，存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像為：由圖知，函數(shù)單調(diào)遞增，不存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像為：或由圖知，存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的參數(shù)a的范圍為練（2021·北京市第十二中學(xué)高三月考）已知，函數(shù)，函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由于恰有個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).故選：B例1-3（含參數(shù)）已知函數(shù)，若對(duì)于任意一個(gè)正數(shù)，不等式在上都有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由不等式可知，或，結(jié)合圖象，分析可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，得，，不能滿足都有解；當(dāng)時(shí)，，得或，如圖，當(dāng)或時(shí)，只需滿足或，滿足條件.所以，時(shí)，滿足條件.例1-4（含參數(shù)）（多選題）（2021·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三）已知函數(shù)(即，)則（）A．當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．設(shè)最小值為，則 D．方程可能有2個(gè)解【答案】ABD【分析】結(jié)合奇偶函數(shù)的定義和二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】：當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以是偶函數(shù)，故正確；：當(dāng)時(shí)，，的對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，此時(shí)在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，的對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，此時(shí)在上是增函數(shù)，綜上，在上是增函數(shù)，故正確；：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椴荒艽_定的大小，所以最小值無(wú)法判斷，故錯(cuò)誤；：令，當(dāng)時(shí)，，有2個(gè)解，故正確.例1-5（含參數(shù)）（2021·重慶市永川北山中學(xué)校）設(shè)若，則________．【答案】【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的解析式解方程，可求得實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】若，則，由，得，即，解得：（舍去）或；若，由，得，該方程無(wú)解.綜上可知，，。例1-6（含參數(shù)）已知函數(shù)f(x)=ex-1,x>0-x2-A．0,14B．13,3C．(1,2)D【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的圖形將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布的問(wèn)題，據(jù)此得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組即可.【詳解】繪制函數(shù)f(x)=ex-1,x>0-x2-2x+1,x≤0的圖象如圖所示，令fx=類型二、含絕對(duì)值的分段函數(shù)例2-1．（多選題）（2021·福建高三二模）若函數(shù)，則（）A．是周期函數(shù) B．在上有4個(gè)零點(diǎn)C．在上是增函數(shù) D．的最小值為【答案】BC【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，單調(diào)性，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】函數(shù)，對(duì)于A：函數(shù)不是周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，在，上，求得，，，，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，所以，由于，所以且，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D：由于，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．例2-2.（多選題）（2021·廣東高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù)B．最小值為2C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的周期為2【答案】AB【分析】先判斷的奇偶性及周期，從而判斷A,D;所以只須研究在的性質(zhì)，即，然后分別求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性以及最值.【詳解】∵，，∴是偶函數(shù)，A正確；因?yàn)?，所以函?shù)的周期為，D錯(cuò)誤；由函數(shù)的奇偶性與周期性，只須研究在上的性質(zhì).，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，，B正確.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又是偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤.例2-3．已知f(x),g(x)都是定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)．已知：g(x)滿足：①當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0恒成立；②?x∈R都有g(shù)(x)=g(-x)．f(x【答案】(-【解析】【分析】根據(jù)條件可得函數(shù)g（x）的奇偶性和單調(diào)性，利用條件可得函數(shù)f（x）的周期性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值恒成立即可得到結(jié)論．【詳解】∵函數(shù)g（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0恒成立且對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）=g（﹣x），∴函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且有g(shù)|（x|）=g（x），∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），x∈[-32-23,32-23]恒成立?|f（x）|≤|a2﹣a+2|恒成立，只要使得定義域內(nèi)|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，由f（x+3）=f（x﹣3），得f（x+23）=f（x），即函數(shù)f（f（x）=x3﹣3x，求導(dǎo)得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），該函數(shù)過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），（0，0），（3，0），且函數(shù)在x=﹣1處取得極大值f（﹣1）=2，在x=1處取得極小值f（1）=﹣2，即函數(shù)f（x）在R上的最大值為2，∵x∈[-32-23,32-23]，函數(shù)的周期是23，∴當(dāng)x∈[-32-23,32-23]時(shí)，函數(shù)練．（2021·江蘇·常州市西夏墅中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A．-1 B． C． D．【答案】ABC【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，所以在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的恒成立，而，所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，故對(duì)任意的恒成立，令，所以，解得，所以可以為-1，，.故選：ABC.類型三、周期類分段函數(shù)例3-1（多選題）已知函數(shù)若函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】BCD【分析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖示可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，作出的圖像如下所示：令，得，所以要使函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以只需函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖形可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．例3-2．定義在上函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則使得在上恒成立的的最小值是______________.【答案】【解析】由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，，故，同理：在上，，∴當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的圖象，如下圖示.在上，，得或.由圖象知：當(dāng)時(shí)，.故答案為：.類型四、對(duì)稱分段例4-1．已知函數(shù)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】或【解析】解：函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，繪制函數(shù)圖像如圖所示，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)則函數(shù)與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)斜率為零，即時(shí)，由圖像可得有兩個(gè)交點(diǎn)，則成立；當(dāng)斜率不為零，即時(shí)，如圖所示，考查臨界情況，當(dāng)直線與函數(shù)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得：，解得則直線與函數(shù)相切時(shí)斜率為，數(shù)形結(jié)合可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是．綜上，答案為：或．類型五、新定義分段函數(shù)例5-1定義maxa,b為a,b中的最大值，函數(shù)fx=maxlog2x+1,2-【答案】0,1【解析】【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)fx寫成分段函數(shù)的形式，分析可得其最小值，即可得c的值，進(jìn)而可得gx=2m-1x+【詳解】根據(jù)題意，fx=maxlo