第24章-聯(lián)立方程模型

#?陳強(qiáng),《高級計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及Stata應(yīng)用》課件，第二版，2014年，高等教育出版社。第24章聯(lián)立方程模型聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)式與簡化式經(jīng)濟(jì)理論常常推導(dǎo)出一組相互聯(lián)系的方程，其中一個(gè)方程的解釋變量是另一方程的被解釋變量，這就是聯(lián)立方程組。例農(nóng)產(chǎn)品市場均衡模型，由需求函數(shù)、供給函數(shù)及市場均衡條件組成，參見第10章。例簡單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型，參見第10章。

即使我們只關(guān)心單個(gè)方程，但如果該方程包含內(nèi)生解釋變量則完整的模型仍然是聯(lián)立方程組。由M個(gè)方程構(gòu)成的聯(lián)立方程模型的“結(jié)構(gòu)式”(structuralform)：/11J1/11J1321J2+；-+yM1■12t12212M2tM+BXH(3X=￡+卩11Xt1+…+爐X=St112t1K2tKt2Yy+Yy+丫y+卩x+■…+卩x=&1Mt12Mt2MMtM1Mt1KMtKtM｛y｝為內(nèi)生變量，(x｝為外生變量，第一個(gè)下標(biāo)表示第t個(gè)觀測值titj(t=1,…,T)第二個(gè)下標(biāo)表示第i個(gè)內(nèi)生變量(i=1,…,M)，或第j個(gè)外生變量(j=1,…,K)。內(nèi)生變量的系數(shù)為｛丫｝，其第一個(gè)下標(biāo)表示它是第i個(gè)內(nèi)生變量的ik系數(shù)，而第二個(gè)下標(biāo)表示它在第k個(gè)方程中(k=1,…,M)。外生變量的系數(shù)為｛卩｝，其第一個(gè)下標(biāo)表示它是第?個(gè)外生變量jk的系數(shù)，而第二個(gè)下標(biāo)表示它在第k個(gè)方程中。結(jié)構(gòu)方程的擾動(dòng)項(xiàng)為｛￡｝，其第一個(gè)下標(biāo)表示第t個(gè)觀測值tk(t=1,…,T)，而第二個(gè)下標(biāo)表示它在第k個(gè)方程中?！巴暾姆匠滔到y(tǒng)”(completesystemofequations)要求，內(nèi)生變量個(gè)數(shù)等于方程個(gè)數(shù)M。將上述方程組寫成更簡潔的“橫排”矩陣形式MM212Mpp111MP卩2y用矩陣來表示即yT+xB=￡，ttt其中，系數(shù)矩陣T與B的每一列對應(yīng)于一個(gè)方程。MxMKxM比如，第一個(gè)方程為11121(yyt1t2y)tM+(xxt1t2x)tK11p21=&t1擾動(dòng)項(xiàng)￡由第t期各方程的擾動(dòng)項(xiàng)所構(gòu)成。t假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)￡滿足E(￡Ix)=0(x外生)，記其協(xié)方差矩陣為，tttt刀三E(￡￡‘Ix)ttt由于存在內(nèi)生變量，如果直接用OLS估計(jì)每一方程，將導(dǎo)致內(nèi)生性偏差或聯(lián)立方程偏差，得不到一致估計(jì)。求解聯(lián)立方程組：yT=-xB+￡'ttt假設(shè)t非退化，兩邊同時(shí)右乘r-i,y'=-xBr-i+￡—ttty'=x‘口+vvttt此方程稱為“簡化式"(reducedform)。其系數(shù)矩陣為口三-br-i,擾動(dòng)項(xiàng)為v'三￡‘r-1,故v三r-i‘￡。77ttttKxMKxMMxM簡化式擾動(dòng)項(xiàng)e仍與外生變量兀不相關(guān)，因?yàn)閠tE(eIx)=E(r—i￡丨x)=F—1E(￡Ix)=0tttttte的協(xié)方差矩陣為t。三E(eeIx)=E(r-1，￡￡T—1]x)=F-rE(￡￡'Ix)r—1=r—iZT—ittttttttt簡化式方程的解釋變量全部為外生變量x,故可用OLS得到簡化式參數(shù)口與Q的一致估計(jì)。t但通常我們最終關(guān)心的是結(jié)構(gòu)式參數(shù)。在什么情況下，才能從簡化式參數(shù)(口,。)反推出結(jié)構(gòu)式參數(shù)(r,b,e)呢？這涉及聯(lián)立方程模型的“識別問題”(problemofidentification)。聯(lián)立方程模型的識別在對模型的總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)之前，其參數(shù)必須“可識別”(identified)。如果一個(gè)總體參數(shù)可識別，則該參數(shù)的任意兩個(gè)不同取值，都會在隨機(jī)樣本中顯示出系統(tǒng)差異，即如果樣本容量足夠大，則應(yīng)該能夠在統(tǒng)計(jì)意義上區(qū)分這兩個(gè)不同的參數(shù)值。反之，如果無論多大的樣本都區(qū)分不開，即由不同參數(shù)值的總體產(chǎn)生的觀測數(shù)據(jù)在統(tǒng)計(jì)意義上是一樣的，則該參數(shù)“不可識別”(unidentified)。例考慮以下回歸模型：y=a+a+Px+si12ii僅通過樣本數(shù)據(jù)｛y,xb是無法對a與a分別進(jìn)行識別的，但可iii=112以識別二者之和(a+a)。12回到聯(lián)立方程模型的情形，“可識別”意味著，可以從簡化式參數(shù)(口,Q)求出結(jié)構(gòu)式參數(shù)(「,B,E)的唯一解(uniquesolution)。這兩組參數(shù)之間的關(guān)系如下：n三—BTto=r-isr-1如果r已知，則可通過口與o求得b與s。但r一般是由未知參數(shù)組成的矩陣。事實(shí)上，結(jié)構(gòu)式的參數(shù)個(gè)數(shù)比簡化式的參數(shù)個(gè)數(shù)多出M2個(gè)。簡化式參數(shù)口,o)的總個(gè)數(shù)為［KXM+M(M+1)/2〕(其中，口…含KxM個(gè)參數(shù)，而對稱矩陣O含M(M+1)/2個(gè)參數(shù))；MxM

M(M+1)j含M2個(gè)參數(shù)，B含KxM個(gè)參數(shù)，對稱矩陣土含MxMM(M+1)/2個(gè)參數(shù))。KxMM(M+1)j含M2個(gè)參數(shù)，B含KxM個(gè)參數(shù)，對稱矩陣土含MxMM(M+1)/2個(gè)參數(shù))。KxM一般地，不可能從口,Q)求出(F,B,2)的唯一解。如不對結(jié)構(gòu)式參數(shù)進(jìn)行約束，將不可能從簡化式參數(shù)得到結(jié)構(gòu)式參數(shù)的唯一解。為識別結(jié)構(gòu)方程，常對結(jié)構(gòu)參數(shù)施加如下約束。(1)標(biāo)準(zhǔn)化(normalization)：在每個(gè)結(jié)構(gòu)方程中，可以將一個(gè)內(nèi)生變量視為被解釋變量，并將其系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化為1。恒等式(identity)比如，供需相等的均衡條件、會計(jì)恒等式、

定義式。恒等式中每個(gè)變量的系數(shù)均為已知，不需要識別或估計(jì)。排斥約束(exclusionrestrictions)：在結(jié)構(gòu)方程中排斥某些內(nèi)生或外生變量，這相當(dāng)于對結(jié)構(gòu)矩陣(「,B)施以“零約束”(zerorestrictions)，即讓(『,B)中的某些元素為0。線性約束(linearrestriction):比如，在理論上可以假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報(bào)酬不變(constantreturnstoscale)，則資本的產(chǎn)出彈性與勞動(dòng)力的產(chǎn)出彈性之和為1。對擾動(dòng)項(xiàng)協(xié)方差矩陣的約束(restrictionsonthedisturbancecovariancematrix)：比如，在某些情況下，可以假設(shè)不同方程的擾動(dòng)項(xiàng)之間不相關(guān)。

實(shí)踐中最重要的約束方法是“排斥變量”（即零約束）。對于線性約束，可通過重新定義變量轉(zhuǎn)化為“排斥變量”約束究竟需要多少零約束才可以保證結(jié)構(gòu)方程可識別呢？不失一般性，考慮第一個(gè)結(jié)構(gòu)方程。假設(shè)在第一個(gè)方包程假設(shè)在第一個(gè)方包程括中在，內(nèi)生M假個(gè)設(shè)在第一也包括在此方程中量而系M已內(nèi)生變?yōu)楸慌懦饪勺R別的必要條件為K*>M11稱為“階條件"(ordercondition)即結(jié)構(gòu)方程所排斥的外生變量的個(gè)數(shù)(K*)應(yīng)大于或等于該方程所包含的內(nèi)生解釋變量的個(gè)數(shù)(M)。11從工具變量法的角度，被第一個(gè)結(jié)構(gòu)方程排斥的所有外生變量都是有效工具變量，因?yàn)楦鶕?jù)外生變量的定義，它們與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)(外生性)；而根據(jù)簡化式，內(nèi)生變量可以表示為外生變量的函數(shù)，故它們與內(nèi)生解釋變量相關(guān)(相關(guān)性)。在可識別(即秩條件滿足)的情況下，如果恰好K*=M，則稱該11結(jié)構(gòu)方程“恰好識別"(justidentified)，即工具變量個(gè)數(shù)正好相等內(nèi)生解釋變量的個(gè)數(shù)。如果K*M，則稱該結(jié)構(gòu)方程“過度識別"(overidentified)即11工具變量個(gè)數(shù)大于內(nèi)生解釋變量的個(gè)數(shù)。單一方程估計(jì)法估計(jì)聯(lián)立方程組的方法可以分為兩類：“單一方程估計(jì)法"(singleequationestimation)也稱“有限信息估計(jì)法"(limitedinformationestimation)；“系統(tǒng)估計(jì)法"，也稱“全信息估計(jì)法"(fullinformationestimation)。普通最小二乘法對于一種特殊的遞歸模型(recursivemodel),即r為下三角矩陣(lowertriangularmatrix)而協(xié)方差矩陣刀為對角矩陣(不同方程之間的擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān))的情形，OLS依然是一致的。以一個(gè)三方程的系統(tǒng)為例：TOC\o"1-5"\h\z||y=XU+￡'y1=x?+Yy+S1Iy2=x出2+Y12y1+Yy+S2I331312323第一個(gè)方程不含內(nèi)生解釋變量，可用OLS得到一致估計(jì)在第二個(gè)方程中，唯一的內(nèi)生解釋變量為yi,且與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)：Cov(y,&)=Cov(x'P+&,&)=Cov(x'P,&)+Cov(￡,&)=012112<12<1>277=0=0故可用OLS來估計(jì)第二個(gè)方程。在第三個(gè)方程中，內(nèi)生解釋變量為(y,y)，而且Cov(y,￡)=Cov(y,￡)=0,故也可用OLS來估計(jì)。1323間接最小二乘法在恰好識別的情況下,可先用OLS來一致地估計(jì)簡化式參數(shù),然后通過結(jié)構(gòu)式參數(shù)與簡化式參數(shù)的關(guān)系來求解結(jié)構(gòu)式參數(shù),稱為“間接最小二乘法”(IndirectLeastSquare，簡記ILS)。在恰好識別的情況下，ILS是一致的，但卻不是最有效率的。在過度識別的情況下，無法使用ILS。二階段最小二乘法在結(jié)構(gòu)方程可識別的情況下，其排斥的外生變量個(gè)數(shù)大于或等于包含的內(nèi)生解釋變量個(gè)數(shù)，而所有排斥的外生變量都是有效工具變量，故可以用工具變量法來估計(jì)。如果結(jié)構(gòu)方程的擾動(dòng)項(xiàng)滿足同方差、無自相關(guān)的古典假定，則(2SLS)是最有效率的工具變量法，也是最常見的單一方程估計(jì)法。4.廣義矩估計(jì)法在過度識別的情況下，如果結(jié)構(gòu)方程的擾動(dòng)項(xiàng)存在異方差或自相關(guān)，則GMM比2SLS更有效率。5.有限信息最大似然估計(jì)法假定結(jié)構(gòu)方程的擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布，可使用MLE對單一方程進(jìn)行估計(jì)，稱為“有限信息最大似然估計(jì)法”(LimitedInformationMaximumLikelihoodEstimation，簡記LIML)。LIML與2SLS在大樣本下是漸近等價(jià)的。如果存在弱工具變量，LIML比2SLS更穩(wěn)健。三階段最小二乘法最常見的系統(tǒng)估計(jì)法為“三階段最小二乘法”(ThreeStageLeastSquare，簡記3SLS)。在某種意義上，3SLS將2SLS與SUR相結(jié)合。3SLS的基本步驟如下。前兩步：對每個(gè)方程進(jìn)行2SLS估計(jì)。第三步：根據(jù)前兩步的估計(jì)，得到對整個(gè)系統(tǒng)的擾動(dòng)項(xiàng)之協(xié)方差矩陣的估計(jì)。然后，據(jù)此對整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行GLS估計(jì)(類似于SUR的做法)。具體操作如下。

聯(lián)立方程模型的第j個(gè)方程可寫為(忽略不在方程中的內(nèi)生變量其中，Z其中，Z三(YX)，jjjy=YY+XP+￡三ZS+￡jjjjJjjjjTx1TxMjMjx1TxKjKjx1Tx1Tx(Mj+Kj)(Mj+Kj)x1Tx1(j=1,…，M)廠Y、將所有M個(gè)方程疊放在一起可得5)rz0…0)(0)（叮y三1yi0Z2?■…0102+1￡2三Z0+￡??■??■:…Z??0???■MMMTx1MTx1JM亠M假設(shè)E（￡丨X）=0,E（須IX）I，其中X包含整個(gè)方程系統(tǒng)中所有的外生變量（都可作為工具變量）。記Z三X（XX）-1XZ為第j個(gè)方程解釋變量Z）對所有外生變量（工具變量）X進(jìn)行回歸的擬合值（第一階段回歸）,，則第j個(gè)方程的2SLS估計(jì)量為0三（Z'Z）-1Z'yj,2SLSjjjj

TOC\o"1-5"\h\z(Z0?…0)定義Z^'|0Z0*????,????00?…Z'M丿可將所有方程的單一方程2SLS估計(jì)量寫在一起62SLS2SLS&2SLS、=62SLS2SLS&2SLS、=（zz）-izM,2SLS為進(jìn)行3SLS估計(jì)，須先得到對協(xié)方差矩陣S的估計(jì)值￡。記矩陣￡的(i,j)元素為6，利用單一方程2SLS估計(jì)的殘差可得ij16=(y-Zd)(y-Zd)ijTiii，2SLSjjj,2SLS63SLS類比SUR，可定義3SLS63SLS=-zd-i?I)Z]-1Zd-i?I)y對于3SLS，也可進(jìn)行迭代，即用3SLS的殘差重新估計(jì)協(xié)方差矩陣￡，然后再使用GLS，如此反復(fù)，直至收斂。24.5三階段最小二乘法的Stata實(shí)例24.6結(jié)構(gòu)VARSims(1980)提出VAR模型，但簡化式VAR的脈沖響應(yīng)函數(shù)依賴于變量次序，而且無法揭示經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)(變量之間沒有當(dāng)期影響)。經(jīng)濟(jì)學(xué)家又試圖將結(jié)構(gòu)重新納入VAR模型中，允許變量之間存在當(dāng)期影響，形成“結(jié)構(gòu)VAR”的方法。

考慮如下二元?jiǎng)討B(tài)聯(lián)立方程組（忽略常數(shù)項(xiàng)）：!y1t=-a12y2t+Y11y1,t-1+Y12y2,t-1+￡1t

y=-a12y2t+Yy+yy+&2t2iit212t2iit211,t-1222,t-12t其中，擾動(dòng)項(xiàng)的分布滿足此方程組的顯著特征是在方程右邊的解釋變量中包含了當(dāng)期變量，即yit的解釋變量包括A?,，而y“的解釋變量也包括yit。一般認(rèn)為，方程組來自于經(jīng)濟(jì)理論對于經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的建模，故稱為“結(jié)構(gòu)VAR”(StructuralVAR,簡記SVAR)。假設(shè)結(jié)構(gòu)方程的擾動(dòng)項(xiàng)￡與￡相互獨(dú)立，稱為“結(jié)構(gòu)新息”TOC\o"1-5"\h\z1t2t(structuralinnovation)。例y為去勢(detrended)的實(shí)際GDP對數(shù)，y為去勢的名義貨1t2t幣供給對數(shù)；則結(jié)構(gòu)新息的假設(shè)意味著，對產(chǎn)出的意外沖擊(unexpectedshockstooutput)與對貨幣供給的意外沖擊不相關(guān)。例y為實(shí)際GDP增長率，y為失業(yè)率；則￡與￡可分別解釋1t2t1t2t為需求沖擊(demandshock)與供給沖擊(supplyshock)而需求沖擊(例如消費(fèi)者偏好變化)與供給沖擊(例如石油價(jià)格波動(dòng))不相關(guān)(BlanchardandQuah,1989)。

將方程組寫為矩陣形式：21V*Ay21V*Ay」y丿丿—21i21ytri=1y1112yI22丿\上式可寫為A^t=r1yt-1+S其中’矩陣A反映了A"與A?,的當(dāng)期互動(dòng)’即內(nèi)生性。假設(shè)矩陣A非退化，在方程兩邊同時(shí)左乘A-i，可得簡化式VAR(reduced-formVAR)：y=A-iry+A-i￡

tit—it其中，簡化式VAR的擾動(dòng)項(xiàng)u三A-^s的協(xié)方差矩陣為ttVar(u)=Var(A-1s)=A-1Var(?)a—\ttt其中，Var(s)為對角矩陣；Var(u)不是對角矩陣，包含3個(gè)參數(shù)。tt方程可識別的必要條件(階條件)是，結(jié)構(gòu)VAR的待估參數(shù)個(gè)數(shù)小于或等于簡化VAR的待估參數(shù)個(gè)數(shù)。在本例中，SVAR的待估參數(shù)為8個(gè)（6個(gè)系數(shù)，2個(gè)方差）而VAR的待估參數(shù)為7個(gè)（4個(gè)系數(shù)，3個(gè)協(xié)方差）。為了識別此SVAR,至少需要對方程施加一個(gè)約束，比如a=0（意味著y對y無直接影響）。122t1t考慮一般形式的SVAR。從p階簡化VAR出發(fā)：y=r1y1++ryt+utt1t—1pt—pt其中，y為Mxl向量；u為簡化式擾動(dòng)項(xiàng)，允許存在同期相關(guān)tt（contemporaneouscorrelation）。在方程兩邊同時(shí)左乘某非退化矩陣4:Ay=Ary+…+Ary+AuTOC\o"1-5"\h\zt1t—1pt—pt經(jīng)移項(xiàng)整理可得：A(Z—rLrLp)y=Au1ptt我們希望SVAR的擾動(dòng)項(xiàng)正交。一種簡單的作法為令A(yù)u=￡，其中￡為SVAR的結(jié)構(gòu)擾動(dòng)項(xiàng),ttt不存在同期相關(guān)。但此假定可能過強(qiáng)(矩陣4來自經(jīng)濟(jì)理論對經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的建模，未必能使A%同期不相關(guān))。t一般地，假設(shè)4%=尿，其中B為MxM矩陣；則方程可寫為ttA(I—rL——rL)y=Au=Be1pttt結(jié)構(gòu)擾動(dòng)項(xiàng)e的協(xié)方差矩陣被標(biāo)準(zhǔn)化為單位矩陣I。tM此方程稱為SVAR的“AB模型”(AB-Model)(AmisanoandGiannini,1997)。

對于傳統(tǒng)的聯(lián)立方程模型，分析的重點(diǎn)在于解釋變量的邊際效應(yīng)，故一般不要求結(jié)構(gòu)擾動(dòng)項(xiàng)正交。對于AB模型，分析的重點(diǎn)在于正交化沖擊的效應(yīng)，故一般假設(shè)結(jié)構(gòu)擾動(dòng)項(xiàng)￡正交。t如果令A(yù)=I，則為B模型。如果令〃=I，則為A模型。AMM模型與B模型都是AB模型的特例。在方程兩邊同時(shí)左乘A-1,可得簡化VAR：y=y=r兒i+…+rpy一p+A-iBs由于u=A-iBs，故簡化式擾動(dòng)項(xiàng)u的協(xié)方差矩陣為tttVar(u)=A-iBBA-1t結(jié)構(gòu)VAR模型的待估參數(shù)總數(shù)為M2(A的參數(shù)個(gè)數(shù))+M2(B的參數(shù)個(gè)數(shù))+pM2(r,???,「的參數(shù)個(gè)數(shù))”，即2M2+pM2。1p簡化VAR模型的待估參數(shù)總數(shù)為'M(M+1)p(Var(u)的參數(shù)個(gè)數(shù))+pM2(r］，…,r的參數(shù)個(gè)數(shù))”,即［M(M+1)2］+pM2。一般地，SVAR的參數(shù)比VAR的參數(shù)多［2M2-M(M+1)2］個(gè)。為識別AB模型，需對矩陣A與B施加［2M2-M(M+1)/2］個(gè)約束。即使將矩陣A的主對角線元素都標(biāo)準(zhǔn)化為1，還需附加[2M2—M-M(M+1)p]個(gè)約束條件。如果正好施加如此多約束，為恰好識別；如施加更多約束，為過度識別。此階條件(ordercondition)為識別AB模型的必要條件。為估計(jì)SVAR模型，一般假設(shè)結(jié)構(gòu)擾動(dòng)項(xiàng)￡服從多維正態(tài)分布，t即￡~N(0,I)，然后進(jìn)行帶約束條件的MLE。tM雖然此MLE估計(jì)量在多維正態(tài)的假設(shè)下導(dǎo)出，但在更弱的條件下，QMLE估計(jì)量依然一致。一般來說，應(yīng)從經(jīng)濟(jì)理論或?qū)喕絍AR的估計(jì)結(jié)果出發(fā)，來設(shè)置約束條件。較常用的方法沿用喬利斯基分解的思路，將矩陣A設(shè)為下三角矩陣且主對角線元素全部為1,并將矩附設(shè)為對角矩陣，稱為“喬利斯基約束”(Choleskyrestrict