吉林省通化市梅河口五中高二下學期期中數學試卷（理科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學年吉林省通化市梅河口五中高二（下)期中數學試卷（理科）一、選擇題（共12道小題,每小題5分,共60分）1．若復數z滿足z（1+i)=4﹣2i（i為虛數單位），則｜z|=（）A． B． C． D．2．下列值等于1的積分是(）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx3．已知Cn+17﹣Cn7=Cn8，那么n的值是(）A．12 B．13 C．14 D．154．某人射擊一次擊中的概率為0。6，經過3次射擊,此人至少有兩次擊中目標的概率為（)A． B． C． D．5．一組數據的平均數是2.8,方差是3.6，若將這組數據中的每一個數據都乘以2后再加上60，得到一組新數據，則所得新數據的平均數和方差分別是（）A．62.8，3。6 B．62.8，14.4 C．65。6，3.6 D．65。6，14。46．已知f（x)是定義在R上偶函數且連續(xù)，當x＞0時，f′（x)＜0,若f（lg（x)）＞f（1)，則x的取值范圍是（)A．（，1) B．(0，）∪（1，+∞） C．（，10） D．（0，1)∪(10，+∞）7．設隨機變量ξ～B(2,p），η～B(4，p），若，則P（η≥2）的值為（）A． B． C． D．8．過曲線y=x3+bx+c上一點A(1，2）的切線方程為y=x+1，則bc的值為(）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．49．兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱,則A郵箱的信件數ξ的數學期望Eξ=（）A． B． C． D．10．已知函數f（x)=x?sinx,x∈R,則及的大小關系是（）A． B． C． D．11．定義在R上的函數f（x)滿足：f（x）+f′(x）＞1,f(0）=4，則不等式exf（x）＞ex+3（其中e為自然對數的底數)的解集為（)A．（0,+∞） B．（﹣∞,0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0)∪(0,+∞） D．(3,+∞)12．已知f(x）=x3﹣x2+ax+m,其中a＞0，如果存在實數t，使f′（t）＜0，則f′（t+2）?f′（）的值（)A．必為正數 B．必為負數 C．必為非負 D．必為非正二、填空題（共4道小題,每小題5分，共20分）13．（+x）（1﹣)6的展開式中x的系數是．14．把一枚硬幣任意拋擲三次，事件A=“至少一次出現反面”，事件B=“恰有一次出現正面”，求P（B|A）=．15．若函數f（x）=lnx+x+﹣a有零點，則a的取值范圍是．16．由正整數組成的一組數據x1,x2,x3，x4,其平均數和中位數都是2，且標準差等于1，則這組數據為．(從小到大排列）三、解答題（共計70分，要求書寫解答過程)17．已知（x+1)n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n，(其中n∈N＊）．（1）求a0及sn=a1+a2+…+an；（2）試比較sn與（n﹣2）?2n+2n2的大小，并用數學歸納法給出證明過程．18．某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有60％,參加過計算機培訓的有75%，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的,且各人的選擇相互之間沒有影響．（1）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；（2）任選3名下崗人員,記X為3人中參加過培訓的人數,求X的概率分布和期望．19．已知函數f（x）=ax+lnx，x∈（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若f(x）≤0恒成立，求a的取值范圍．20．某學生參加某高校的自主招生考試，須依次參加A、B、C、D、E五項考試，如果前四項中有兩項不合格或第五項不合格,則該考生就被淘汰，考試即結束；考生未被淘汰時，一定繼續(xù)參加后面的考試．已知每一項測試都是相互獨立的，該生參加A、B、C、D四項考試不合格的概率均為,參加第五項不合格的概率為，（1）求該生被錄取的概率;（2）記該生參加考試的項數為X，求X的分布列和期望．21．已知函數f（x）=（x＞0）．（Ⅰ）試判斷函數f（x）在(0，+∞）上單調性并證明你的結論；（Ⅱ）若f（x）＞對于?x∈(0，+∞)恒成立，求正整數k的最大值；（Ⅲ）求證：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…＞e2n﹣3．請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．作答時請寫清題號．22．如圖，已知PE切圓O于點E，割線PBA交圓O于A，B兩點,∠APE的平分線和AE、BE分別交于點C，D(Ⅰ)求證：CE=DE；（Ⅱ）求證:=．23．在直角坐標系xoy中,曲線C1的參數方程為，（α為參數），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為．（1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；（2）設P為曲線C1上的動點,求點P到C2上點的距離的最小值．24．已知函數f（x）=｜2x﹣a｜+a．(1)若不等式f（x）≤6的解集為｛x|﹣2≤x≤3｝，求實數a的值；（2)在（1）的條件下，若存在實數n使f（n）≤m﹣f(﹣n)成立，求實數m的取值范圍．

2016-2017學年吉林省通化市梅河口五中高二(下）期中數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12道小題,每小題5分,共60分)1．若復數z滿足z（1+i)=4﹣2i（i為虛數單位），則｜z|=（）A． B． C． D．【考點】A8：復數求模．【分析】把已知的等式變形,然后利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的公式計算．【解答】解：由z（1+i)=4﹣2i，得，∴．故選：D．2．下列值等于1的積分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx【考點】69：定積分的簡單應用．【分析】分別求出被積函數的原函數，然后根據定積分的定義分別計算看其值是否為1即可．【解答】解：選項A，xdx=x2=，不滿足題意;選項B,（x+1）dx=(x2+x）=+1=，不滿足題意；選項C,1dx=x=1﹣0=1，滿足題意；選項D，dx=x=﹣0=，不滿足題意；故選C．3．已知Cn+17﹣Cn7=Cn8，那么n的值是（)A．12 B．13 C．14 D．15【考點】D5：組合及組合數公式．【分析】根據題意，由組合數的性質,可得Cn8+Cn7=Cn+18,即Cn+17=Cn+18，再結合組合數的性質，分析可得答案．【解答】解：根據題意，Cn+17﹣Cn7=Cn8，變形可得，Cn+17=Cn8+Cn7，由組合數的性質，可得Cn8+Cn7=Cn+18，即Cn+17=Cn+18，進而可得8+7=n+1，解可得n=14，故選C．4．某人射擊一次擊中的概率為0。6,經過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標的概率為（)A． B． C． D．【考點】CA：n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率．【分析】本題是一個n次獨立重復試驗恰好發(fā)生k次的概率,至少有兩次擊中目標包括兩次擊中目標或三次擊中目標,這兩種情況是互斥的，根據獨立重復試驗概率公式和互斥事件的概率公式得到結果．【解答】解：由題意知，本題是一個n次獨立重復試驗恰好發(fā)生k次的概率，射擊一次擊中的概率為0.6，經過3次射擊,∴至少有兩次擊中目標包括兩次擊中目標或三次擊中目標，這兩種情況是互斥的，∴至少有兩次擊中目標的概率為C320。62×0。4+C330.63==故選A．5．一組數據的平均數是2.8，方差是3。6，若將這組數據中的每一個數據都乘以2后再加上60，得到一組新數據，則所得新數據的平均數和方差分別是（)A．62.8，3.6 B．62。8，14.4 C．65.6，3。6 D．65。6，14。4【考點】BB：眾數、中位數、平均數；BC：極差、方差與標準差．【分析】首先寫出原來數據的平均數表示式和方差的表示式，把數據都乘以2后再加上60，再表示出新數據的平均數和方差的表示式，兩部分進行比較，得到結果．【解答】解：設這組數據分別為x1,x2，xn，則=（x1+x2+…+xn），方差為s2==3.6，每一組數據都乘以2后再加上60,′=（2x1+2x2+…+2xn+60n）=2+60=2。8×2+60=65.6，方差s′2═=4［]=4s2=4×3.6=14.4．故選D6．已知f(x）是定義在R上偶函數且連續(xù),當x＞0時，f′(x）＜0,若f(lg（x)）＞f（1)，則x的取值范圍是(）A．(，1） B．(0,）∪（1，+∞) C．(,10） D．（0，1）∪（10,+∞）【考點】3N：奇偶性與單調性的綜合；4O:對數函數的單調性與特殊點．【分析】由已知中函數f（x）是定義在R上偶函數且連續(xù),當x＞0時，f′（x)＜0，結合函數單調性與導數的關系及偶函數在對稱區(qū)間上單調性相反,我們可以判斷出函數的單調性，進而將不等式f（lg（x）)＞f（1），轉化為一個對數不等式,再根據常用對數的單調性，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）是定義在R上偶函數當x＞0時,f′（x）＜0，此時函數為減函數則x＜0時,函數為增函數若f（lg（x））＞f（1），則﹣1＜lg（x）＜1則＜x＜10故選C．7．設隨機變量ξ～B（2，p）,η~B（4，p），若，則P（η≥2）的值為（）A． B． C． D．【考點】CN：二項分布與n次獨立重復試驗的模型．【分析】根據隨機變量ξ～B(2,p），，寫出概率的表示式，求出其中P的值,把求得的P的值代入η～B（4,p），求出概率．【解答】解：∵隨機變量ξ～B(2，p)，，∴1﹣p0?（1﹣p)2=，∴P=，∴η～B（4，)，∴P（η≥2）=+=,故選B．8．過曲線y=x3+bx+c上一點A（1，2）的切線方程為y=x+1,則bc的值為(）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】由點A(1，2）在曲線上,和點A處的導數值為1可建立關于b、c的方程組，解之代入可得答案．【解答】解：求導可得y′=3x2+b，由題意可得，解得，則bc=﹣6．故選A．9．兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱,則A郵箱的信件數ξ的數學期望Eξ=（）A． B． C． D．【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差．【分析】先求出兩封信隨機投入A，B，C三個空郵箱的所有情況，再求出投入A郵箱的信件數分別是0，1，2的情況及其概率，進而即可得出數學期望．【解答】解：兩封信隨機投入A,B，C三個空郵箱,共有32=9種情況．則投入A郵箱的信件數ξ的概率P(ξ=2）==,P（ξ=1）==,∴P(ξ=0)=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=1）=．∴其分布列為：∴Eξ=0+1×+=．故選B．10．已知函數f（x）=x?sinx，x∈R，則及的大小關系是(）A． B． C． D．【考點】H5：正弦函數的單調性．【分析】判斷函數f(x）=xsinx是偶函數，推出f()=f（），利用導數說明函數在時，得y′＞0,函數是增函數，從而判斷三者的大?。窘獯稹拷猓阂驗閥=xsinx,是偶函數，所以f（)=f(），又x∈時，得y′=sinx+xcosx＞0，所以此時函數是增函數,所以＜f（1)＜故選C．11．定義在R上的函數f（x）滿足：f（x)+f′(x）＞1,f（0)=4，則不等式exf（x）＞ex+3（其中e為自然對數的底數)的解集為（）A．（0,+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪(0,+∞） D．（3，+∞)【考點】6B：利用導數研究函數的單調性;63:導數的運算．【分析】構造函數g（x）=exf（x）﹣ex，(x∈R），研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值,即可求解【解答】解：設g（x）=exf(x)﹣ex，（x∈R）,則g′(x）=exf（x）+exf′（x)﹣ex=ex,∵f（x)+f′（x）＞1,∴f（x）+f′(x）﹣1＞0，∴g′(x）＞0，∴y=g（x)在定義域上單調遞增，∵exf(x）＞ex+3，∴g（x)＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故選：A．12．已知f（x）=x3﹣x2+ax+m，其中a＞0,如果存在實數t，使f′(t）＜0,則f′（t+2）?f′()的值(）A．必為正數 B．必為負數 C．必為非負 D．必為非正【考點】63:導數的運算．【分析】先對f(x）求導，由已知條件a＞0,如果存在實數t，使f'(t）＜0，求出t與a的取值范圍，進而比較出、f′（t+2）與0的關系，從而得出答案．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣2x+a．∵存在實數t，使f'（t)＜0，a＞0,∴t2﹣2t+a＜0的解集不是空集，∴△=4﹣4a＞0，解得a＜1,因此0＜a＜1．令t2﹣2t+a=0,解得，∴t2﹣2t+a＜0的解集是{x｜0＜＜2｝．∵f′（t+2）=(t+2）2﹣2（t+2)+a=t（t+2）+a，∴f′（t+2）＞0；∵==，∵==≥0，∴，∴＜0,故選B．二、填空題（共4道小題,每小題5分，共20分）13．（+x）（1﹣）6的展開式中x的系數是31．【考點】DB：二項式系數的性質．【分析】求出（1﹣）6的展開式,可得（+x）(1﹣）6的展開式中x的系數．【解答】解：∵(1﹣）6=?+?+…+?，∴(+x)（1﹣）6的展開式中x的系數是2×+1=31，故答案為:31．14．把一枚硬幣任意拋擲三次，事件A=“至少一次出現反面”，事件B=“恰有一次出現正面",求P(B｜A）=．【考點】CM：條件概率與獨立事件．【分析】由題意，先計算P（AB），P（A），再利用條件概率公式，即可求得結論．【解答】解：由題意,P(AB）==，P（A）=1﹣=∴P（B｜A）===故答案為:15．若函數f（x)=lnx+x+﹣a有零點,則a的取值范圍是=k2k+1+2（k+1)2+而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=(k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣3）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞（(k+1)﹣1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1時結論也成立,…∴當n≥4時，3n＞(n﹣1）2n+2n2成立．…18．某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓,以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓,已知參加過財會培訓的有60%，參加過計算機培訓的有75％,假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的,且各人的選擇相互之間沒有影響．（1）任選1名下崗人員,求該人參加過培訓的概率；（2）任選3名下崗人員,記X為3人中參加過培訓的人數，求X的概率分布和期望．【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；CH:離散型隨機變量的期望與方差．【分析】任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓"為事件A,“該人參加過計算機培訓”為事件B,由事件A,B相互獨立，且P（A)=0.6，P（（B)=0.75．(1）任選1名下崗人員,該人沒有參加過培訓的概率是：P1==．利用對立事件的概率計算公式即可該人參加過培訓的概率是P2=1﹣P1．（2）因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3人中參加過培訓的人數X服從二項分布B（3,0.9）．利用二項分布的概率計算公式即可得出．【解答】解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓”為事件A,“該人參加過計算機培訓”為事件B，由題意知,事件A，B相互獨立，且P（A)=0.6，P(（B）=0.75．(1）任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓的概率是：P1===0.4×0。25=0.1．所以該人參加過培訓的概率是P2=1﹣P1=1﹣0。1=0。9．（2）因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3人中參加過培訓的人數X服從二項分布B（3，0.9）．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．即X的概率分布列如下表：∴E（X)=3×0。9=2。7．19．已知函數f（x）=ax+lnx,x∈（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ)若f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．【考點】6E：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；6K：導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】(Ⅰ）求導數f′(x)，易判斷x∈時f′（x）的符號，從而得到函數f（x）的單調性，根據單調性即可求得函數的最大值；(Ⅱ）要使x∈，f（x）≤0恒成立，只需x∈時，f（x)max≤0，問題轉化為求函數的最大值,當a≥0時，由單調性易求最大值;當a＜0時,利用導數可求得極值點﹣，再按照極值點在區(qū)間的左側、內部、右側三種情況進行討論，由單調性可求得最大值，令最大值小于等于0可求得a的范圍;【解答】解：（Ⅰ)若a=1，則f(x）=x+lnx，=，∵x∈，∴f′（x)＞0，∴f(x）在上為增函數，∴f（x）max=f（e)=e+1;（Ⅱ）要使x∈，f（x）≤0恒成立，只需x∈時，f（x）max≤0,顯然當a≥0時，f（x）=ax+lnx在上單增,∴f（x）max=f（e）=ae+1＞0，不合題意；當a＜0時，f′（x）=a+=，令f′（x）=0，，當時，f′(x）＞0，當時，f′（x）＜0，①當時，即a≤﹣1時，f(x）在上為減函數，∴f（x）max=f(1）=a＜0,∴a≤﹣1；②當時,即時,f(x）在上為增函數，∴，∴;③當時,即時,f（x）在上單增，f（x）在上單減，∴,∵，∴，∴成立；由①②③可得．20．某學生參加某高校的自主招生考試，須依次參加A、B、C、D、E五項考試，如果前四項中有兩項不合格或第五項不合格，則該考生就被淘汰，考試即結束；考生未被淘汰時，一定繼續(xù)參加后面的考試．已知每一項測試都是相互獨立的，該生參加A、B、C、D四項考試不合格的概率均為，參加第五項不合格的概率為，(1）求該生被錄取的概率；（2)記該生參加考試的項數為X，求X的分布列和期望．【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；CH:離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）該生被錄取，則必須答對前四項中的三項和第五項或者答對所有的項．（2）分析此問題時要注意有順序,所以X的所有取值為：2，3，4，5．分別計算其概率得出分布列，以及它的期望值．【解答】解：（1）該生被錄取，則A、B、C、D四項考試答對3道或4道，并且答對第五項．所以該生被錄取的概率為P==,（2）該生參加考試的項數X的所有取值為:2，3，4,5．P（X=2）=×=；P（X=3）=C???=；P（X=4）=C??（）2?=;P（X=5）=1﹣﹣﹣=．該生參加考試的項數ξ的分布列為:X2345PEX=2×+3×+4×+5×=．21．已知函數f(x）=（x＞0）．（Ⅰ）試判斷函數f（x）在(0，+∞）上單調性并證明你的結論；（Ⅱ)若f（x）＞對于?x∈（0，+∞）恒成立，求正整數k的最大值；（Ⅲ）求證:（1+1×2)（1+2×3）（1+3×4)…＞e2n﹣3．【考點】R6：不等式的證明．【分析】(Ⅰ）對函數f（x）求導數,可判f′（x)＜0,進而可得單調性；(Ⅱ)問題轉化為h（x）=＞k恒成立,通過構造函數可得h（x）min∈（3，4），進而可得k值；(Ⅲ）由（Ⅱ）知＞(x＞0），可得ln（x+1）＞2﹣，令x=n（n+1)（n∈N＊）,一系列式子相加，由裂項相消法可得ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln＞2n﹣3，進而可得答案．【解答】(Ⅰ）解:∵f(x）=(x＞0）,∴f′(x）=﹣[+ln（x+1)]…∵x＞0，∴x2＞0，＞0，ln（x+1）＞0,∴f′（x）＜0，∴函數f(x）在（0，+∞)上是減函數．…（Ⅱ）解：f（x)＞恒成立，即h（x）=＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．…而h′（x）=，令g（x）=x﹣1﹣ln(x+1)(x＞0），則g′(x）=＞0,∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，又g（2）=1﹣ln3＜0,g(3）=2﹣2ln2＞0,∴g（x）=0存在唯一實根a，且滿足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）當x＞a時,g(x)＞0，h′（x）＞0，當0＜x＜a時，g(x)＜0，h′（x)＜0，∴h（x)min=h（a）=a+1∈(3，4)故正整數k的最大值是3…（Ⅲ）證明:由(Ⅱ）知＞（x＞0）∴l(xiāng)n(x+1）＞?x﹣1=2﹣＞2﹣…令x=n(n+1）（n∈N＊），則ln＞2﹣，∴l(xiāng)n（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln＞（2﹣）+(2﹣）+…+=2n﹣3［++…+］=2n﹣3（1﹣）=2n﹣3+＞2n﹣3∴（1+1×2）（1+2×3）…＞e2n﹣3…請考生在第22、23、24三題中任選一題作答,如果多做，則按所做的第一題計分．作答時請寫清題號．22．如圖，已知PE切圓O于點E，割線PBA交圓O于A,B兩點，∠APE的平分線和AE、BE分別交于點C，D(Ⅰ）求證:CE=DE；(Ⅱ)求證：=．【考點】NC：與圓有關的比例線段．【分析】（Ⅰ）通過弦切角定理以及角的平分線,直接證明三角形是等腰三角形，即可證明CE=DE；(Ⅱ)利用切割線定理以及角的平分線定理直接求證:=即可．【解答】證明:（Ⅰ）∵PE切圓O于E，∴∠PEB=∠A，又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA,∴∠CD