無窮級數(shù)整理

無窮級數(shù)整理一、數(shù)項級數(shù)（一）數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)1.收斂的必要條件：收斂級數(shù)的一般項必趨于0.2.收斂的充要條件（柯西收斂原理）：對任意給定的正數(shù)，總存在使得對于任何兩個大于的正整數(shù)m和n，總有.（即部分和數(shù)列收斂）3.收斂級數(shù)具有線性性（即收斂級數(shù)進行線性運算得到的級數(shù)仍然收斂），而一個收斂級數(shù)和一個發(fā)散級數(shù)的和與差必發(fā)散.4.對收斂級數(shù)的項任意加括號所成級數(shù)仍然收斂，且其和不變.5.在一個數(shù)項級數(shù)內(nèi)去掉或添上有限項不會影響斂散性.（二）數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)及斂散性判斷1.正項級數(shù)的斂散性判斷方法（1）正項級數(shù)基本定理：如果正項級數(shù)的部分和數(shù)列有上界，則正項級數(shù)收斂.（2）比較判別法（放縮法）：若兩個正項級數(shù)和之間自某項以后成立著關系：存在常數(shù)，使，那么（i）當級數(shù)收斂時，級數(shù)亦收斂；（ii）當級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)亦發(fā)散.推論：設兩個正項級數(shù)和，且自某項以后有，那么（i）當級數(shù)收斂時，級數(shù)亦收斂；（ii）當級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)亦發(fā)散.（3）比較判別法的極限形式（比階法）：給定兩個正項級數(shù)和，若，那么這兩個級數(shù)斂散性相同.（注：可以利用無窮小階的理論和等價無窮小的內(nèi)容）另外，若，則當級數(shù)收斂時，級數(shù)亦收斂；若，則當級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)亦發(fā)散.常用度量：①等比級數(shù)：，當時收斂，當時發(fā)散；②p-級數(shù)：，當時收斂，當時發(fā)散(時稱調(diào)和級數(shù))；③廣義p-級數(shù)：，當時收斂，當時發(fā)散.④交錯p-級數(shù)：，當時絕對收斂，當時條件收斂.（4）達朗貝爾判別法的極限形式（商值法）：對于正項級數(shù)，當時級數(shù)收斂；當時級數(shù)發(fā)散；當或時需進一步判斷.（5）柯西判別法的極限形式（根值法）：對于正項級數(shù)，設，那么時此級數(shù)必為收斂，時發(fā)散，而當時需進一步判斷.（6）柯西積分判別法：設為正項級數(shù)，非負的連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)下降，且自某項以后成立著關系：，則級數(shù)與積分同斂散.2.任意項級數(shù)的理論與性質(zhì)（1）絕對收斂與條件收斂：①絕對收斂級數(shù)必為收斂級數(shù)，反之不然；②對于級數(shù)，將它的所有正項保留而將負項換為0，組成一個正項級數(shù)，其中；將它的所有負項變號而將正項換為0，也組成一個正項級數(shù)，其中，那么若級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)和都收斂；若級數(shù)條件收斂，則級數(shù)和都發(fā)散.（2）常用的求和經(jīng)驗規(guī)律：①級數(shù)符號里的部分可以提到級數(shù)外；②系數(shù)中常數(shù)的冪中若含有，可以與的冪合并，如將和合并為；③對求導可消去分母因式里的,對積分可消去分子因式里的；④系數(shù)分母含可考慮的展開，含或等可考慮正余弦函數(shù)的展開；⑤有些和函數(shù)滿足特定的微分方程，可以考慮通過求導發(fā)現(xiàn)這個微分方程并求解.（二）傅里葉級數(shù)1.狄利克雷收斂定理（本定理為套話，不需真正驗證，條件在命題人手下必然成立）若以為周期，且在[-l,l]上滿足：①連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；②只有有限個極值點；則誘導出的傅里葉級數(shù)在[-l,l]上處處收斂.2.傅里葉級數(shù)與的關系：3.以為周期的函數(shù)的傅里葉展開展開：（1）在[-l,l]上展開：；（2）正弦級數(shù)與余弦級數(shù)：①奇函數(shù)（或在非對稱區(qū)間上作奇延拓）展開成正弦級數(shù)：；②偶函數(shù)（或在非對稱區(qū)間上作偶延拓）展開成余弦級數(shù)：；4.一些在展開時常用的積分：（1）（2）；（3）；（4）；；（5）；.注：①求多項式與三角函數(shù)乘積的積分時可采用列表