2023=2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè) 第4章4指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較（含解析）

第第頁(yè)2023=2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)第4章4指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較（含解析）第4章4指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較

一、選擇題

1．下列函數(shù)中y隨x的增大而增大，且增長(zhǎng)速度最快的是()

A．y＝2020lnxB．y＝ex

C．y＝2020xD．y＝2020·2x

2．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%，要增長(zhǎng)到原來(lái)的x倍，需經(jīng)過(guò)y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()

ABCD

3．有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車，其跑車時(shí)間均為x小時(shí)，跑過(guò)的路程分別滿足關(guān)系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，則5個(gè)小時(shí)以后跑在最前面的為()

A．甲B．乙

C．丙D．丁

4．某學(xué)校開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：

x1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()

A．y＝2x－2B．y＝x

C．y＝log2xD．y＝(x2－1)

5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當(dāng)2y2>y3B．y2>y1>y3

C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1

6．在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得列變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：

x0.500.992.013.98

y－0.990.010.982.00

則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()

A．y＝2xB．y＝x2－1

C．y＝2x－2D．y＝log2x

7．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，則有()

A．f(bx)≥f(cx)B．f(bx)≤f(cx)

C．f(bx)0且a≠1)的圖象．

有以下說(shuō)法：

①第4個(gè)月時(shí)，剩留量就會(huì)低于；

②每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等；

③當(dāng)剩留量為，，時(shí)，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3.

其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是________．

12．甲、乙兩地相距500km，一輛運(yùn)輸汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度v不能超過(guò)120km/h.已知運(yùn)輸汽車每小時(shí)運(yùn)輸成本為元，則全程運(yùn)輸成本y與速度v的函數(shù)關(guān)系是y＝________，當(dāng)運(yùn)輸汽車的行駛速度為_(kāi)_______km/h時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小．

三、解答題

13．畫(huà)出函數(shù)f(x)＝與函數(shù)g(x)＝x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關(guān)系．

14．某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元的利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制訂一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且資金y(單位：萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但資金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)資金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？

15．某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)預(yù)測(cè)可知，進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng)．記2023年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬(wàn)件)之間的關(guān)系如下表所示：

x1234

f(x)4.005.587.008.44

若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝x＋a.

(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由，然后選取2023年和2023年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；

(2)因遭受某國(guó)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行反傾銷的影響，2023年的年產(chǎn)量比預(yù)計(jì)減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2023年的年產(chǎn)量．

第4章4指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較

一、選擇題

1．下列函數(shù)中y隨x的增大而增大，且增長(zhǎng)速度最快的是()

A．y＝2020lnxB．y＝ex

C．y＝2020xD．y＝2020·2x

B[由于指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)是爆炸式增長(zhǎng)，所以當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，函數(shù)y＝ex與y＝2020·2x的增長(zhǎng)越來(lái)越快，由于e>2，當(dāng)x超過(guò)某一個(gè)值時(shí)，函數(shù)y＝ex的值會(huì)超過(guò)y＝2020·2x的值，故選B.]

2．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%，要增長(zhǎng)到原來(lái)的x倍，需經(jīng)過(guò)y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()

ABCD

D[設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中圖象，故選D.]

3．有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車，其跑車時(shí)間均為x小時(shí)，跑過(guò)的路程分別滿足關(guān)系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，則5個(gè)小時(shí)以后跑在最前面的為()

A．甲B．乙

C．丙D．丁

D[法一：分別作出四個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，利用數(shù)形結(jié)合，知5個(gè)小時(shí)后丁車在最前面．

法二：由于4個(gè)函數(shù)均為增函數(shù)，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5個(gè)小時(shí)后丁車在最前面，故選D.]

4．某學(xué)校開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：

x1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()

A．y＝2x－2B．y＝x

C．y＝log2xD．y＝(x2－1)

D[法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.

法二：比較四個(gè)函數(shù)值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)易知選D.]

5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當(dāng)2y2>y3B．y2>y1>y3

C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1

B[在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)內(nèi)，從上到下圖象依次對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]

6．在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得列變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：

x0.500.992.013.98

y－0.990.010.982.00

則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()

A．y＝2xB．y＝x2－1

C．y＝2x－2D．y＝log2x

D[將x＝0.50，y＝－0.99，代入計(jì)算，可以排除A；將x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．故選D.]

7．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，則有()

A．f(bx)≥f(cx)B．f(bx)≤f(cx)

C．f(bx)0時(shí)，3x>2x>1，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(bx)0且a≠1)的圖象．

有以下說(shuō)法：

①第4個(gè)月時(shí)，剩留量就會(huì)低于；

②每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等；

③當(dāng)剩留量為，，時(shí)，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3.

其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是________．

①③[由于函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故函數(shù)的關(guān)系式為y＝t.

當(dāng)t＝4時(shí)，y＝g(x)；

當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x>4時(shí)，f(x)<g(x)．

14．某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元的利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制訂一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且資金y(單位：萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但資金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)資金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？

[解]作出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(如圖)．

觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5和y＝0.25x的下方，這說(shuō)明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求．

15．某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)預(yù)測(cè)可知，進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng)．記2023年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬(wàn)件)之間的關(guān)系如下表所示：

x1234

f(x)4.005.587.008.44

若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝x＋a.

(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并說(shuō)明理由，然后選取2023年和2023年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；

(2)因遭受某國(guó)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行反傾銷的影響，2023年的年產(chǎn)量比預(yù)計(jì)減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2023年的年產(chǎn)量．

[解](1)符合條件的是f(x)＝ax＋b，

若模型為f(x)＝2x＋a，

則由f(1)＝21＋a＝4，

得a＝2，即f(x)＝