人教B版（2023）必修第一冊《3.1.3 函數(shù)的奇偶性》同步練習（word含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，則

A.B.C.D.

2.（5分）設的定義域為，圖象關于軸對稱，且在上為增函數(shù)，則，，的大小順序是

A.B.

C.D.

3.（5分）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上是增函數(shù)的是

A.B.C.D.

4.（5分）設函數(shù)的定義域為，如果，，使得成立，則稱函數(shù)為“函數(shù)”給出下列四個函數(shù)：

①；

②；

③；

④，

則其中“函數(shù)”共有．

A.個B.個C.個D.個

5.（5分）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的為

A.B.C.D.

6.（5分）函數(shù)在上的圖象大致為

A.B.

C.D.

7.（5分）設函數(shù)，則是

A.奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)

8.（5分）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，都有，當時，，則

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，若，，則下列說法正確的是

A.函數(shù)是偶函數(shù)

B.是函數(shù)的一個周期

C.對任意的，都有

D.函數(shù)的圖象關于直線對稱

10.（5分）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)有

A.B.C.D.

11.（5分）關于函數(shù)，下列結論正確的是

A.其圖象關于軸對稱

B.的最小值是

C.在上是單調(diào)減函數(shù)

D.的增區(qū)間是，

12.（5分）下列函數(shù)，是偶函數(shù)的是

A.B.

C.D.

13.（5分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是區(qū)間上增函數(shù)的有

A.B.C.D.

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則在上的解析式為______.

15.（5分）函數(shù)為上的奇函數(shù)，若對任意的，且，都有已知，則不等式的解集為______．

16.（5分）已知奇函數(shù)在定義域上遞減，且，則實數(shù)的取值范圍是______．

17.（5分）定義在上的偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則使得不等式成立的取值范圍是______．

18.（5分）已知函數(shù)，則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍為______.

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．

求，的值；

判斷并用定義證明在的單調(diào)性．

20.（12分）已知和分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且滿足

求和的解析式；

若函數(shù)的最小值為，求的值．

21.（12分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，，時，有．

求證：在上為增函數(shù)；

求不等式的解集；

若對所有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

22.（12分）已知函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)．

Ⅰ求函數(shù)的定義域；

Ⅱ當時，關于的不等式有解，求的取值范圍．

23.（12分）已知函數(shù)且函數(shù)是奇函數(shù)．

求的值；

是否存在這樣的實數(shù)，使對所有的均成立？若存在，求出適合條件的實數(shù)的值或范圍；若不存在，說明理由．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)是偶函數(shù)，且，

則，

故；

故選：

根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性可得的值，進而計算可得答案．

此題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應用，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎題．

2.【答案】B;

【解析】解：圖象關于軸對稱，故為偶函數(shù)，

，，

在上是增函數(shù)，，

，

，

故選：．

先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，，再利用在上是增函數(shù)，得到結論．

該題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應用，體現(xiàn)轉化的數(shù)學思想．

3.【答案】D;

【解析】解：函數(shù)為偶函數(shù)，不滿足題意；

函數(shù)為偶函數(shù)，不滿足題意；

函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；

函數(shù)奇函數(shù)，又在區(qū)間上是增函數(shù)，滿足題意；

故選：．

分析給定四個函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可得答案．

此題主要考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應用，難度不大，屬于基礎題．

4.【答案】C;

【解析】

這道題主要考查函數(shù)與方程之間的關系，將條件轉化為是解決本題的關鍵．

解：若，，使得成立，

即等價為，，使得成立．

①函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，

，即，當時，等式成立，①為“函數(shù)”．

②，，則等式不成立，②不是“函數(shù)”．

③函數(shù)的定義域為，由得，即，

，即，當時，，當時，等式成立，③為“函數(shù)”．

④函數(shù)的定義域為，由得，即，即當時，等式成立，④為“函數(shù)”．

綜上滿足條件的函數(shù)是①，③，④，共個．

故選C．

5.【答案】B;

【解析】

此題主要考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題．

逐一分析給定四個函數(shù)的奇偶性，及函數(shù)在上的單調(diào)性，可得答案．

解：函數(shù)為偶函數(shù)，不滿足題意；

B.函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，滿足題意；

C.函數(shù)為偶函數(shù)，不滿足題意；

D.函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足題意.

故選

6.【答案】C;

【解析】

此題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)的奇偶性，對稱性以及零點個數(shù)，特殊值的符號進行排除是解決本題的關鍵．

判斷函數(shù)的奇偶性，函數(shù)零點個數(shù)以及函數(shù)值的符號是否對應進行排除即可．

解：，

則函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除，

由得，即，即，此時，，即函數(shù)在有三個零點，排除，

，排除，

故選：．

7.【答案】D;

【解析】解：由題意，，函數(shù)是偶函數(shù)，

在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，

故選D．

確定函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，即可得出結論．

此題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．

8.【答案】C;

【解析】解：對任意，都有，且為偶函數(shù)，

，

故選：．

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)以及周期函數(shù)性質(zhì)可將的函數(shù)值化為的函數(shù)值，再代入已知解析式．

該題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．屬中檔題．

9.【答案】BCD;

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于，，，又由函數(shù)是偶函數(shù)，則，

即函數(shù)為奇函數(shù)，錯誤

對于，由于是偶函數(shù)，且，得，即，

則是周期為的周期函數(shù)，故正確；

對于，，

，

而是周期為的周期函數(shù)，則，

則，故正確；

對于，，

所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，正確；

故選：

根據(jù)題意，依次分析選項，綜合即可得答案．

此題主要考查函數(shù)的奇偶性與周期性的判斷以及應用，注意函數(shù)奇偶性、周期性的定義，屬于基礎題．

10.【答案】CD;

【解析】

此題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題.

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義分別進行判斷即可.

解：，，則是奇函數(shù)，故錯誤；

，，所以不是偶函數(shù)，故錯誤；

，由得，此時，則

是偶函數(shù)，故正確；

，，則是偶函數(shù)，故正確.

故選

11.【答案】ABD;

【解析】

此題主要考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬于基礎題.

根據(jù)函數(shù)的奇偶性可以判斷，當時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，再結合函數(shù)的奇偶性可以判斷

解：函數(shù)定義域為，

，故為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，對；

當時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

因為是偶函數(shù)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

可得，當且僅當時等號成立，對；

故錯，對.

故選

12.【答案】AB;

【解析】

此題主要考查了函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題，難度不大.

利用奇函數(shù)和偶函數(shù)定義判斷即可．

解：四個答案中函數(shù)的定義域均關于原點對稱，

A.因為，所以為偶函數(shù)，

B.因為，所以為偶函數(shù)，

C.令，，，，所以不是偶函數(shù)，

D.令，則，，，所以不是偶函數(shù)，

故選

13.【答案】BC;

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于，，是偶函數(shù)，但在上是減函數(shù)，不符合題意；

對于，為偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，符合題意；

對于，為偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，符合題意；

對于，，是奇函數(shù)，不符合題意；

故選：

根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．

此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷，關鍵是掌握函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎題．

14.【答案】;

【解析】解：當時，，

當時，，則，

又為奇函數(shù)，

，

由奇函數(shù)的定義可得，由已知區(qū)間上的解析式，計算時，的解析式，可得所求的解析式；

此題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．

15.【答案】（2，4）;

【解析】解：根據(jù)題意，若對任意的，且，都有，

則在上為增函數(shù)，

又由，則在上，，則上，，

又由為奇函數(shù)，則在上，，則上，，

或，

分析可得：，

即不等式的解集為；

故答案為：

根據(jù)題意，分析可得上為增函數(shù)，結合可得在上，，則上，，結合函數(shù)的奇偶性可得在上，，則上，，又由或，分析可得答案．

該題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，涉及不等式的解法，屬于基礎題．

16.【答案】（1，）;

【解析】解：因為奇函數(shù)在定義域上遞減，

所以，

由可得，

所以，

即

解可得，

故答案為：

根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關系，即可得到結論．

這道題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關系是解決本題的關鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應用．

17.【答案】;

【解析】

根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)分析可得在上為減函數(shù)，結合可得在區(qū)間上，，在區(qū)間和上，，又由或，分析可得答案．

該題考查關于抽象函數(shù)的不等式問題，涉及函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應用，屬于基礎題．

解：根據(jù)題意，定義在上的偶函數(shù)在上是增函數(shù)，

則在上為減函數(shù)，

又由，則有，

在區(qū)間上，，在區(qū)間和上，，

則或

解可得：或，

即的取值范圍為；

故答案為：．

18.【答案】（）;

【解析】解：因為，

所以，即為偶函數(shù)，

當時，單調(diào)遞減且函數(shù)在處連續(xù)，根據(jù)偶函數(shù)對稱性可知，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，

由得，

所以，

解得，

故答案為：

先判斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，然后結合單調(diào)性及奇偶性及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求．

此題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關系是解決本題的關鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應用．

19.【答案】解：（1）根據(jù)題意，f（x）=是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=1，

則f（-1）=-f（1）=-1，

則有，解可得a=5，b=0；

（2）由（1）的結論，f（x）=，

設＜＜，

f（）-f（）=-=，

又由＜＜，則（1-4）＜0，（-）＜0，

則f（）-f（）＞0，

則函數(shù)f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞減．;

【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得，則可得，解可得、的值；

由的結論，，利用作差法分析可得答案．

該題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)以及應用，關鍵是求出、的值，屬于基礎題．

20.【答案】解：（1）根據(jù)題意，f（x）+g（x）=+x，①，則f（-x）+g（-x）=-x，

又由f（x）和g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則-f（x）+g（x）=-x，②

聯(lián)立①②得；

（2）根據(jù)題意，由（1）的結論，，

令+=t，則+=-2，且t≥2，

則，t≥2．

當即a≥-4時，，解可得：a=-3．

當即a＜-4時，，解可得：，不符合題意，舍去．

故a=-3．;

【解析】

由函數(shù)奇偶性可得，與，聯(lián)立解可得答案；

由的結論可得，利用換元法，令，分析可得，結合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．

此題主要考查函數(shù)的最值以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應用，關鍵是求出函數(shù)的解析式，屬于基礎題．

21.【答案】解：（1）證明：任取，∈[-1，1]且＜，則，

∴f（）＞f（），∴f（x）為增函數(shù)．

（2），等價于，求得0≤x＜，

即不等式的解集為．

（3）由于f（x）為增函數(shù)，

∴f（x）的最大值為對恒成立對的恒成立，

設，則．

又==1+taα+2tanα+2=（tanα+1）2+2，

∵α∈[-，]，∴tanα∈[-，1]，故當tanα=1時，

．

∴+t≥6，求得t≤-3t≥2，即為所求的實數(shù)t的取值范圍．;

【解析】

由條件利用增函數(shù)的定義證得結論．

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，把要解的不等式等價轉化為一個不等式組，求得此不等式的解集即可．

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的最大值，可得對的恒成立，再求得的最大值，從而求得的范圍．

這道題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的證明以及應用，函數(shù)的恒成立問題，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．

22.【答案】解：Ⅰ由為奇函數(shù)得，

即，

所以，解得，

經(jīng)檢驗符合題意，故，

所以的定義域是；

Ⅱ不等式等價于，

即在有解，

故只需，

函數(shù)在單調(diào)遞增，

所以，

所以的取值范圍是．;

【解析】Ⅰ根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域；

Ⅱ根據(jù)對數(shù)的運算法則和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可．

這道題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵．

23.【答案】解：（1）函數(shù)（a∈R）的定義域是R，

因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0．

即a+1=0，解得a=-1，f（x）=（-），

f（-x）+f（x）=（-）+（-）=0，即f（-x）=-f（x），

可得f（x）為奇函數(shù)，故a=-1；

（2）因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

因為f（3m-mcosθ）+f（cosθ-6）＞f（0）=0，

所以f（3m-mcosθ）＞-f（cosθ-6），

得f（3m-mcosθ）＞f（6-cosθ），

因為f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）為奇函