人教B版（2023）必修第二冊《6.2 向量基本定理與向量的坐標》同步練習（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）已知平面向量，若，則

A.B.C.D.

2.（5分）如圖，在中，設(shè)，，的中點為，的中點為，的中點為，若，則

A.B.C.D.

3.（5分）已知：，，，點在內(nèi)，且與的夾角為，設(shè)，則的值為

A.B.C.D.

4.（5分）在平面直角坐標系中，已知，，為第一象限內(nèi)一點，，且，若，則等于

A.B.C.D.

5.（5分）設(shè)，，向量，，且，，則等于

A.B.C.D.

6.（5分）古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：將一線段分為兩線段，使得其中較長的一段是全長與另一段的比例中項，即滿足，后人把這個數(shù)稱為黃金分割數(shù)，把點稱為線段的黃金分割點，在中，若點為線段的兩個黃金分割點，設(shè)，，則

A.B.C.D.

7.（5分）已知向量，，，則實數(shù)

A.B.C.D.

8.（5分）已知向量，，，且，則

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）已知向量，且，則下列說法正確的是

A.B.

C.D.的最大值為

10.（5分）下列命題正確的是

A.若復數(shù)，的模相等，則，是共軛復數(shù)

B.，都是復數(shù)，若是虛數(shù)，則不是的共軛復數(shù)

C.復數(shù)是實數(shù)的充要條件是是的共軛復數(shù)

D.已知復數(shù)，，是虛數(shù)單位，它們對應(yīng)的點分別為，，，為坐標原點，若，則

11.（5分）若、、是空間的非零向量，則下列命題中的假命題是

A.

B.若，則

C.若，則

D.若，則

12.（5分）下列各組向量中，一定能推出的是

A.

B.

C.

D.

13.（5分）已知的面積為，在所在的平面內(nèi)有兩點，，滿足，，記的面積為，則下列說法正確的是

A.B.

C.D.

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）已知向量，，且，則______.

15.（5分）正方形的邊長為，為中點，為線段上的動點，則的取值范圍是．

16.（5分）設(shè)為實數(shù)，若向量，，且，則的值為______.

17.（5分）已知向量，若，則實數(shù)______．

18.（5分）已知向量，，若，則______．

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）在中，，，，分別為角，，的對邊，已知向量與向量的夾角為．

Ⅰ角的大小；

Ⅱ求的取值范圍．

20.（12分）已知向量，的夾角為，，，又，

求與的夾角；

設(shè)，，若，求實數(shù)的值．

21.（12分）如圖，在四邊形中，，，是線段上的點，直線與直線相交于點，設(shè)，，

若，，，是線段的中點，求與同向的單位向量的坐標；

若，用，表示，并求出實數(shù)的值．

22.（12分）平面內(nèi)給定三個向量，，

求滿足的實數(shù)，；

設(shè)，滿足，且，求向量

23.（12分）［2023蘇州中學高二月考］如圖，射線OA，OB分別與x軸的正半軸成45°和30°角，過點P(1,0)作直線分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線上時，求直線AB的方程.

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：，

，解得．

故選：．

根據(jù)即可得出，解出即可．

該題考查了平行向量的坐標關(guān)系，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】C;

【解析】

這道題主要考查平面向量基本定理及其幾何意義，屬于中檔題．

根據(jù)平面向量基本定理及其幾何意義，結(jié)合條件可得及，解方程求得，由此求得、的值，即可求得的值．

解：由題意可得，，

，①

，②

由①②解方程求得．

再由可得，，．

故選C．

3.【答案】C;

【解析】

由已知建立平面直角坐標系，得到的坐標，結(jié)合求得的坐標，再由與的夾角為求解．

該題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，利用坐標法使問題變得簡單化，是中檔題．

解：，，，

建立平面直角坐標系如圖：

則，，

，

又與的夾角為，

，則的值為．

故選：．

4.【答案】A;

【解析】【分析】

本題考查平面向量的坐標運算，以及相等向量．

由題意可得點的坐標，進而可得向量的坐標，由向量相等可得，的值，可得答案．

【解答】

解：點在第一象限內(nèi)，，且，

點的橫坐標為，縱坐標，

故，

而，，

則

由，，

，

故選

5.【答案】C;

【解析】

由平面向量的垂直與平行求出，的值，即可得出結(jié)論.

解：，，，

由，得，，

由，得，，

故選

6.【答案】C;

【解析】

此題主要考查平面向量的基本定理及其應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)題意得出，，即可求出結(jié)果.

解：在中，若點，為線段的兩個黃金分割點，

，

，

，

，

，

故選

7.【答案】D;

【解析】解：因為向量，，，

則，

所以且，

解得、

故選：

利用向量數(shù)乘的坐標表示以及向量相等的充要條件，列式求解即可．

本題考查了平面向量的坐標運算，主要考查了向量數(shù)乘的坐標表示以及向量相等的充要條件的應(yīng)用，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】C;

【解析】

該題考查平行向量的坐標關(guān)系，弦切互化，三角函數(shù)的誘導公式，三角函數(shù)在各象限的符號，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)即可得出，從而求出，根據(jù)的范圍即可求出，這樣即可求出的值．

解：；

；

；

；

；

．

故選：．

9.【答案】BC;

【解析】

此題主要考查了平面向量的坐標運算和三角恒等變換的應(yīng)用問題，屬于中檔題．

根據(jù)平面向量的定義與性質(zhì)坐標運算法則，結(jié)合三角恒等變換運算，對選項中的命題真假性判斷即可．解：因為向量，，

所以，選項錯誤；

因為，所以，

所以，

所以，選項正確；

因為，

所以，

解得，，

又因為，且，

所以，，，選項正確

因為是定值，

所以

，

所以，選項錯誤.

故答案選：

10.【答案】BC;

【解析】【分析】

本題考查復數(shù)的基本概念、共軛復數(shù)以及復數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.

對各選項逐一求解，并判定正誤，即可得到答案.

【解答】

解：對于，和可能是相等的復數(shù)，也可能既不是相等復數(shù)也不是共軛復數(shù)，故錯誤；

對于，若和是共軛復數(shù)，則相加為實數(shù)，不會為虛數(shù)，故正確；

對于，由得，故正確；

對于，由題可知，，，，

建立等式，即解得

故錯誤.

故選

11.【答案】ACD;

【解析】

此題主要考查了命題的真假判斷，向量平行的判斷，屬于中檔題.

對于：是與共線的向量，是與共線的向量，即可判斷；對于：若，則與方向相反，則，即可判斷；對于：若，則，即，不能推出，即可判斷；對于：若，則，與方向不一定相同，即可判斷.

解：對于：是與共線的向量，

是與共線的向量，

與不一定共線，

所以錯，

對于：若，

則與方向相反，

，所以對，

對于：若，

則，

即，

不能推出，

所以錯，

對于：若，

則，

與方向不一定相同，

不能推出，

所以錯.

故選：

12.【答案】ABD;

【解析】【分析】

本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用和共線的條件，屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)，可確定，，正確，對于，如果與共線，則共線；若與不共線，則不共線.

【解答】

解：中，，所以

中，，所以

中，，若與共線，則與共線，若與不共線，則與不共線

中，，所以

故選

13.【答案】BD;

【解析】解：已知的面積為，在所在的平面內(nèi)有兩點，，滿足，所以，，三點共線．點為線段的三等分點，

由于，所以，，三點共線，且為線段的中點，

如圖所示：

所以

①不平行，故選項錯誤．

②根據(jù)三角形法則：

③

④的面積為，所以，則，，

且，

所以

故選：

直接利用向量的線性運算的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．

本題考查的知識要點：向量的線性運算的應(yīng)用，三角形的面積公式的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．

14.【答案】-;

【解析】解：向量，，且，

，求得，

故答案為：

由題意，利用兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算法則，求得的值．

此題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】;

【解析】試題分析：以為原點建立坐標系直線方程為

考點：向量的坐標運算；函數(shù)求最值

16.【答案】-4;

【解析】解：向量，，且，

可得，解得，所以

故答案為：

利用向量共線，求解，然后求解向量的數(shù)量積即可．

本題考查向量共線的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的求法，是基礎(chǔ)題．

17.【答案】-1;

【解析】解：向量，

，，

可得：，解得．

故答案為：．

求出，利用向量共線定理，求解即可．

該題考查向量共線定理的應(yīng)用，考查計算能力．

18.【答案】-4;

【解析】解：根據(jù)題意，向量，，

若，則有，解可得；

故答案為：

根據(jù)題意，由向量平行的坐標表示公式可得，解可得的值，即可得答案．

該題考查向量的坐標表示方法，涉及向量的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題

19.【答案】解：（I）∵向量向量與向量的夾角為．

∴1-cosB=，cosB=-

∴0＜B＜π，B=，

（II）由正弦定理得：=sinA+sin（-A）]=．

∵，∴，∴．

∴

故的取值范圍是（1，]．;

【解析】

利用向量的夾角公式可以得到，解三角方程即可；

由題意利用正弦定把化為角的三角函數(shù)式子，利用角的范圍及三角函數(shù)知識即可求得．

該題考查了兩向量平行的坐標表示的從要條件，還考查了解三角方程，正弦定理，已知角的范圍求三角函數(shù)的值域．

20.【答案】解：由題意可得，，，，，，，由于，

則若，由于不共線，利用兩個向量共線的性質(zhì)可得，解得

;

【解析】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量共線的性質(zhì)，用數(shù)量積表示兩個兩個向量的夾角，屬于中檔題．

由題意求得的值，可得、、的值，再根據(jù)

，的值，求得，的值．

由條件求得，再利用兩個向量共線的性質(zhì)求得求得值．

21.【答案】解：（1）因為BC∥AD，AD=3BC，所以==（2，1），

因為C（2，3），所以B（0，2），

又E是線段CD上的中點，所以E（，），

所以=（，），||=，

故與同向的單位向量為，其坐標為（，）．

（2）因為DE=2EC，所以=+=（+）+=（+）+=+=+，

因為=λ，

所以==（+）=+，

因為B，P，D三點共線，所以+=1，解得λ=．;

【解析】

由，可得，進而由中點坐標公式可得，再根據(jù)與同向的單位向量為，得解；

由，根據(jù)平面向量的線性運算法則，可用，表示，進而得，再由三點共線的條件，得解．

此題主要考查平面向量的線性運算，平面向量基本定理，熟練掌握平面向量的加法、減法和數(shù)乘的運算法則，理解三點共線的條件是解答該題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

22.【答案】解：，

，

即，

解得；

，，

又，且，

；

解得，或；

，或;

【解析】本題考查了平面向量的坐標表示與運算問題，也考查了解方程組的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．

根據(jù)向量相等與坐標運算，列出方程組，求出、的值；

根據(jù)平面向量的坐標運算，結(jié)合向量平行與模長的坐標表示，列出方程組，求出結(jié)果．

23.【答案】由題意，可得，

,

所以直線，.