隨機(jī)過(guò)程論(錢敏平第3版)-習(xí)題及答案 【ch05】Brown運(yùn)動(dòng)

第五章Brown運(yùn)動(dòng)1.略2.略3.略4.略5.略6.Brown運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程，其在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的增量是獨(dú)立的、具有零均值和方差為時(shí)間間隔的標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布。平移一個(gè)Brown運(yùn)動(dòng)意味著在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)將其增量移動(dòng)tμt，其中t是時(shí)間點(diǎn)，μt是Brown運(yùn)動(dòng)在時(shí)間點(diǎn)t的均值。我們知道，高斯馬氏過(guò)程具有下列性質(zhì)：連續(xù)性：平移后的過(guò)程仍然是連續(xù)的，因?yàn)锽rown運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的。獨(dú)立增量：平移后的過(guò)程的增量仍然是獨(dú)立的，因?yàn)樵嫉腂rown運(yùn)動(dòng)增量是獨(dú)立的。高斯性：由于原始的Brown運(yùn)動(dòng)增量是高斯分布的，平移后的過(guò)程的增量仍然是高斯分布的。因此，平移后的{B,tμt;t∈R+}仍然是一個(gè)高斯馬氏過(guò)程。接下來(lái)，我們求解平移后的過(guò)程的轉(zhuǎn)移密度。設(shè)平移后的過(guò)程為{Bt′,t∈R+}，其中Bt′=Bt+tμt。要計(jì)算轉(zhuǎn)移密度，我們需要考慮在時(shí)刻t的觀測(cè)值Bt和時(shí)刻s的觀測(cè)值Bs之間的條件概率分布P(Bs|Bt)。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)Bt，該條件概率分布服從正態(tài)分布：P(Bs|Bt)=N(Bs;Bt,(s-t))對(duì)于平移后的過(guò)程Bt′，我們需要考慮時(shí)刻t的觀測(cè)值Bt′和時(shí)刻s的觀測(cè)值Bs之間的條件概率分布P(Bs|Bt′)。我們可以將Bt′表示為Bt′=Bt+tμt，則有：P(Bs|Bt′)=P(Bs|Bt+tμt)由于Bt和tμt是獨(dú)立的，我們可以將條件概率分布拆分為兩個(gè)獨(dú)立的概率分布的乘積：P(Bs|Bt′)=P(Bs|Bt+tμt)=P(Bs|Bt)*P(tμt)根據(jù)前面提到的布朗運(yùn)動(dòng)的條件概率分布的性質(zhì)，我們知道P(Bs|Bt)=N(Bs;Bt,(s-t))。對(duì)于P(tμt)，由于μt是常數(shù)，其分布為一個(gè)常數(shù)，即P(tμt)=δ(μt)（δ表示狄拉克函數(shù)）。因此，我們可以求得轉(zhuǎn)移密度為：P(Bs|Bt′)=P(Bs|Bt)*δ(μt)綜上所述，平移后的{B,tμt;t∈R+}仍然是一個(gè)高斯馬氏過(guò)程，并且其轉(zhuǎn)移密度為：P(Bs|Bt′)=N(Bs;Bt,(s-t))*δ(μt)7.8.9.略10.設(shè)ξ={N(t),t∈R*}為參數(shù)為λ的Poisson過(guò)程，其中N(t)表示在時(shí)間點(diǎn)t之前的事件數(shù)量。首先證明ξ隨機(jī)連續(xù)：對(duì)于任意的t1>t0，考慮時(shí)間區(qū)間[t0,t1]。根據(jù)Poisson過(guò)程的定義，我們知道在時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)的事件數(shù)量N(t1)-N(t0)服從參數(shù)為λ(t1-t0)的Poisson分布。因此，在時(shí)間點(diǎn)t0附近，我們有：P(N(t1)-N(t0)=0)=e^(-λ(t1-t0))當(dāng)t1→t0時(shí)，(t1-t0)→0，所以以上概率趨近于1。這意味著在時(shí)間點(diǎn)t0附近，ξ通常沒(méi)有事件發(fā)生。因此，ξ在隨機(jī)連續(xù)，即在任意時(shí)間點(diǎn)附近連續(xù)的概率接近于1。接下來(lái)證明ξ均方連續(xù)：我們知道，Poisson過(guò)程的增量是獨(dú)立的，并且具有相同的指數(shù)分布。對(duì)于任意的s>t>0，我們有：E[(N(s)-N(t))^2]=Var(N(s)-N(t))=λ(s-t)當(dāng)(s-t)→0時(shí)，E[(N(s)-N(t))^2]→0。這表明ξ在均方意義下連續(xù)。最后證明ξ不可能有連續(xù)軌道：假設(shè)存在時(shí)間區(qū)間[a,b]，在該區(qū)間內(nèi)ξ是連續(xù)的，即在任意時(shí)間點(diǎn)t∈[a,b]附近連續(xù)的概率接近于1?？紤]區(qū)間[a,a+δ]，其中δ>0。根據(jù)前面的證明，我們知道在時(shí)間點(diǎn)a附近，ξ沒(méi)有事件發(fā)生的概率趨近于1，因此在時(shí)間區(qū)間[a,a+δ]內(nèi)，ξ沒(méi)有事件發(fā)生的概率大于1-ε，其中ε是一個(gè)很小的正數(shù)。現(xiàn)在考慮區(qū)間[a+δ,a+2δ]，根據(jù)前面的證明，同樣可以得到ξ在時(shí)間點(diǎn)(a+δ)附近沒(méi)有事件發(fā)生的概率大于1-ε，因此在時(shí)間區(qū)間[a+δ,a+2δ]內(nèi)，ξ同樣不會(huì)有事件發(fā)生的概率大于1-ε。繼續(xù)進(jìn)行下去，可以推斷在[a,b]內(nèi)的任意子區(qū)間內(nèi)，ξ都不會(huì)有事件發(fā)生的概率大于1-ε。然而，根據(jù)Poisson過(guò)程的定義，事件在時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生或不發(fā)生是獨(dú)立事件，因此在[a,b]內(nèi)的任意子區(qū)間內(nèi)，ξ有事件發(fā)生和不發(fā)生的概率應(yīng)該是一樣的。這與前面的推斷相矛盾，因此假設(shè)不成立，ξ不可能有連續(xù)軌道。綜上所述，ξ是一個(gè)隨機(jī)連續(xù)的、均方連續(xù)的過(guò)程，但不可能有連續(xù)軌道。11.略12.略13.14.循序可測(cè)性的定義是：對(duì)于任意的時(shí)刻t1,t2,…,tn，對(duì)應(yīng)的事件{X(t1)≤x1},{X(t2)≤x2},…,{X(tn)≤xn}都是可測(cè)的。考慮一個(gè)特定的時(shí)刻t0，以及一個(gè)開(kāi)區(qū)間(a,b)，其中a<X(t0)<b。根據(jù)隨機(jī)過(guò)程{X(t)}的連續(xù)性，存在一個(gè)小的正數(shù)δ1，使得對(duì)于在區(qū)間(t0-δ1,t0+δ1)內(nèi)的所有時(shí)刻t，都有X(t)∈(a,b)。因此，我們可以構(gòu)造下列事件序列：對(duì)于n=1，取t1=t0。對(duì)于n=2，取t2=t0+δ1。對(duì)于n=3，取t3=t0-δ1。根據(jù)連續(xù)性的性質(zhì)，我們有：{X(t1)≤b}是可測(cè)的。{X(t2)≤a}是可測(cè)的。{X(t3)≤a}是可測(cè)的。然而，對(duì)于事件{X(t0)≤x0}，其中x0是任意實(shí)數(shù)，在上述事件序列中的每個(gè)事件都與{X(