清華大學微積分高等數(shù)學課件第8講微分中值定理

2023/9/261

作業(yè)P88習題4.15(1).7.8(2)(4).9(1).10(3).P122綜合題:4.5.復習：P80——88預習：P89——952023/8/71作業(yè)P88習題4.1復習：P80—2023/9/262應用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)局部性態(tài)—未定型極限函數(shù)的局部近似整體性態(tài)—在某個區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值函數(shù)的凸性、漸近性、圖形2023/8/72應用導數(shù)研究函數(shù)性態(tài)局部性態(tài)—未定型極限2023/9/263微分中值定理，包括：羅爾定理、拉格朗中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理

微分中值定理是微分學的理論基礎。是利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。

微分中值定理的共同特點是：在一定的條件下，可以斷定在所給區(qū)間內(nèi)至少有一點，使所研究的函數(shù)在該點具有某種微分性質(zhì)。2023/8/73微分中值定理，包括：微分中值定理2023/9/264第八講微分中值定理一、費爾馬

(Fermat)定理二、羅爾

(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)定理四、柯西

(Cauchy)定理2023/8/74第八講微分中值定理一、費爾馬(Fe2023/9/265一、費爾馬

(Fermat)定理（一）極值的定義：2023/8/75一、費爾馬(Fermat)定理（一）2023/9/266極值的研究是微積分產(chǎn)生的主要動力之一2023/8/76極值的研究是微積分產(chǎn)生的主要動力之一2023/9/267（二）費爾馬定理(極值必要條件)2023/8/77（二）費爾馬定理(極值必要條件)2023/9/2682023/8/782023/9/269[證]2023/8/79[證]2023/9/26102023/8/7102023/9/2611微分中值定理的引入(((2023/8/711微分中值定理的引入(((2023/9/26122023/8/7122023/9/26132023/8/7132023/9/2614

2023/8/7142023/9/2615二、羅爾

(Rolle)定理2023/8/715二、羅爾(Rolle)定理2023/9/2616怎樣證明羅爾定理？先利用形象思維去找出一個C點來！想到利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理！2023/8/716怎樣證明羅爾定理？先利用形象思維想到利2023/9/2617羅爾定理的證明：2023/8/717羅爾定理的證明：2023/9/26182023/8/7182023/9/2619三、拉格朗日(Lagrange)定理2023/8/719三、拉格朗日(Lagrange)定理2023/9/2620怎樣證明拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加條件:則收縮為羅爾定理；羅爾定理若放棄條件:則推廣為拉格朗日定理。

知識擴張所遵循的規(guī)律之一就是將欲探索的新問題轉(zhuǎn)化為已掌握的老問題。因此想到利用羅爾定理！2023/8/720怎樣證明拉格朗日定理？拉格朗日定理若添2023/9/2621滿足羅爾定理條件弦線與f(x)在端點處相等設函數(shù)2023/8/721滿足羅爾定理條件弦線與f(x)在端點處相2023/9/2622拉格朗日定理的證明：構(gòu)造輔助函數(shù)拉格朗日中值公式2023/8/722拉格朗日定理的證明：構(gòu)造輔助函數(shù)拉格朗日2023/9/2623拉格朗日公式各種形式有限增量公式2023/8/723拉格朗日公式各種形式有限增量公式2023/9/26242023/8/7242023/9/2625推論1：[證]2023/8/725推論1：[證]2023/9/2626推論2：推論3：推論4：2023/8/726推論2：推論3：推論4：2023/9/2627四、柯西

(Cauchy)定理2023/8/727四、柯西(Cauchy)定理2023/9/2628柯西中值定理的證明：構(gòu)造輔助函數(shù)2023/8/728柯西中值定理的證明：構(gòu)造輔助函數(shù)2023/9/2629費爾馬定理羅爾定理拉格朗日定理柯西定理2023/8/729費爾馬定理羅爾定理拉格朗日定理柯西定理2023/9/2630零點問題以下證明恰好有三個根該方程實根個數(shù)就是兩條曲線2023/8/730零點問題以下證明恰好有三個根該方程實根個2023/9/2631首先證明至少有三個根計算表明根據(jù)介值定理因此方程至少有三個根然后證明方程最多有三個根用反證法2023/8/731首先證明至少有三個根計算表明根據(jù)介值定理2023/9/2632根據(jù)洛爾定理矛盾！綜上所述，方程恰好有三個實根352023/8/732根據(jù)洛爾定理矛盾！綜上所述，方程恰好有三2023/9/2633直觀觀察可以啟發(fā)思路在第一種情形,都不是最小值所以最小值一定在區(qū)間內(nèi)部達到2023/8/733直觀觀察可以啟發(fā)思路在第一種情形,都不是2023/9/2634[證]2023/8/734[證]2023/9/2635證明思路直觀分析[例3]2023/8/735證明思路直觀分析[例3]2023/9/2636[證]根據(jù)連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理2023/8/736[證]根據(jù)連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理2023/9/2637[證]2023/8/737[證]2023/9/2638442023/8/738442023/9/2639[證]2023/8/739[證]2023/9/26402023/8/7402023/9/2641[證]2023/8/741[證]2023/9/26422023/8/7422023/9/26432023/8/7432023/9/2644[證]2023/8/744[證]2023/9/26452023/8/7452023/9/2646[證