三高考()高考數(shù)試題分項解析專題28離散性隨機變量與期望理(含解析)

PAGEPAGE6。。。內(nèi)部文件，版權(quán)追溯專題28離散性隨機變量與期望考綱解讀明方向考點內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測熱度1.離散型隨機變量及其分布列①理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性;②理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程,并能進行簡單的應(yīng)用理解2017課標(biāo)全國Ⅲ,18;2016課標(biāo)全國Ⅰ,19;2015天津,16;2013課標(biāo)全國Ⅰ,19解答題★★★2.離散型隨機變量的均值與方差理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念,能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題掌握2017浙江,8;2014湖南,17;2015福建,16選擇題解答題★★★分析解讀1.會求簡單的離散型隨機變量的分布列,理解超幾何分布.2.理解數(shù)學(xué)期望與方差的概念,熟練掌握期望與方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均為高考的必考內(nèi)容.本節(jié)在高考中一般以解答題形式出現(xiàn),分值約為12分,屬中高檔題.1.條件概率、相互獨立事件及二項分布了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布,考綱解讀考點內(nèi)容解讀要求高考示例常考題型預(yù)測熱度并能解決一些簡單的實際問題掌握2017課標(biāo)全國Ⅱ,13;2015課標(biāo)Ⅰ,4;2014課標(biāo)Ⅱ,5選擇題解答題★★★2.正態(tài)分布及其應(yīng)用利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義了解2017課標(biāo)全國Ⅰ,19;2015湖南,7;2015湖北,4選擇題解答題★☆☆分析解讀1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,掌握求條件概率的步驟,會求條件概率.2.掌握獨立事件的概率求法,能用二項分布解決實際問題.3.了解正態(tài)分布與正態(tài)曲線的概念,掌握正態(tài)曲線的性質(zhì).4.獨立事件的概率及正態(tài)分布均為近幾年高考的熱點.本節(jié)在高考中一般以選擇題、解答題形式出現(xiàn),難度為易或中等,分值約為5分或12分.2018年高考全景展示1.【2018年浙江卷】設(shè)0<p<1，隨機變量ξ的分布列是ξ012P則當(dāng)p在（0，1）內(nèi)增大時，A.D（ξ）減小B.D（ξ）增大C.D（ξ）先減小后增大D.D（ξ）先增大后減小【答案】D【解析】分析:先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性.詳解：，，，∴先增后減,因此選D.點睛：2．【2018年全國卷Ⅲ理】某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3【答案】B點睛：本題主要考查二項分布相關(guān)知識，屬于中檔題。3．【2018年理數(shù)天津卷】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）．C．>，< D．>，>【答案】A【解析】試題分析：，選A．【考點】兩點分布【名師點睛】求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識求出取各個值時的概率．對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．由已知本題隨機變量服從兩點分布，由兩點分布均值與方差公式可得A正確．2.【2017課標(biāo)II，理13】一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項分布，即，由二項分布的期望公式可得?！究键c】二項分布的期望與方差【名師點睛】判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：一是是否為n次獨立重復(fù)試驗。在每次試驗中事件A發(fā)生的概率是否均為p。二是隨機變量是否為在這n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的次數(shù)。且表示在獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率。3.【2017山東，理18】（本小題滿分12分）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.【答案】（I）(II)X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是.【解析】試題分析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計算即得(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計算公式得X的分布列為X01234P進一步計算X的數(shù)學(xué)期望.試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是=【考點】1.古典概型.2.隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.3.超幾何分布.【名師點睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計算公式、隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運算求解能力等.4.【2017北京，理17】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機.選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）；（Ⅲ）【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.【解析】（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2..所以的分布列為012故的期望.（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差.【考點】1.古典概型；2.超幾何分布；3.方差的定義.【名師點睛】求分布列的三種方法1．由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量的分布列；2．由古典概型求出離散型隨機變量的分布列；3．由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列．5.【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.（Ⅰ）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),的所有可能取值為0,1,2,3.分別求出相應(yīng)的概率值，列出隨機變量的分布列并計算數(shù)學(xué)期望，表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，這2輛車共遇到1個紅燈就是包括第一輛遇到1次紅燈且第2輛沒遇上和第一輛沒遇上紅燈且第2輛遇上1次紅燈兩個事件的概率的和.試題解析：（Ⅰ）隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3.，，，.所以，隨機變量的分布列為0123隨機變量的數(shù)學(xué)期望.（Ⅱ）設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為.所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.【考點】離散型隨機變量概率分布列及數(shù)學(xué)期望【名師點睛】求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可取值有那些？當(dāng)隨機變量取這些值時所對應(yīng)的事件的概率有是多少，計算出概率值后，列出離散型隨機變量概率分布列，最后按照數(shù)學(xué)期望公式計算出數(shù)學(xué)期望.；列出離散型隨機變量概率分布列及計算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)必考問題.6.【2017課標(biāo)3，理18】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【答案】(1)分布列略；(2)n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.【解析】試題分析：(1)所有的可能取值為200,300,500，利用題意求得概率即可得到隨機變量的分布列；(2)由題中所給條件分類討論可得n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值520元.試題解析：（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，，.因此的分布列為0.20.40.4 ⑵由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮當(dāng)時，若最高氣溫不低于25，則，若最高氣溫位于區(qū)間，則;若最高氣溫低于20，則;因此.當(dāng)時，若最高氣溫不低于20，則;若最高氣溫低于20，則;因此.所以n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.【考點】離散型隨機變量的分布列；數(shù)學(xué)期望；【名師點睛】離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量X的取值范圍以及取各值的概率；要理解兩種特殊的概率分布——兩點分布與超幾何分布；并善于靈活運用兩性質(zhì)：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗分布列的正誤.7.【2017江蘇，23】已知一個口袋有個白球,個黑球(),這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為的抽屜內(nèi)，其中第次取出的球放入編號為的抽屜.123（1）試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率;（2）隨機變量表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù),是的數(shù)學(xué)期望,證明:【答案】（1）（2）見解析【解析】解:(1)

編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為:.

(2)

隨機變量

X

的概率分布為:X……P……隨機變量

X

的期望為：.所以.【考點】古典概型概率、隨機變量及其分布、數(shù)學(xué)期望【名師點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.2016年高考全景展示1.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).（I）求的分布列；（II）若要求,確定的最小值；（III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個？【答案】（I）見解析（II）19（III）【解析】試題分析：（I）先確定X的取值分別為16,17,18,18,20,21,22,,再用相互獨立事件概率模型求概率,然后寫出分布列；（II）通過頻率大小進行比較；（III）分別求出n=9,n=20的期望,根據(jù)時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值,應(yīng)選.試題解析：（Ⅰ）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而；；；；；；.所以的分布列為16171819202122（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值為19.（Ⅲ）記表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）.當(dāng)時,.當(dāng)時,.可知當(dāng)時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值,故應(yīng)選.考點：概率與統(tǒng)計、隨機變量的分布列【名師點睛】本題把隨機變量的分布列與統(tǒng)計及函數(shù)結(jié)合在一起進行考查,有一定綜合性但難度不是太大大,求解關(guān)鍵是讀懂題意,所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問題.2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費0.851.251.51.752設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)互斥事件的概率公式求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（Ⅱ）一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，由條件概率公式求解；（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為，求的分布列，再根據(jù)期望公式求解.（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為考點：條件概率，隨機變量的分布列、期望.【名師點睛】條件概率的求法：(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，求P(B|A)；(2)基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).求離散型隨機變量均值的步驟：(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)求X的每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值定義求出E(X)．3.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分）A、B、C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）；A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5（1）試估計C班的學(xué)生人數(shù)；（2）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（3）再從A、B、C三個班中各隨機抽取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，試判斷和的大小，（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）40；（2）；（3）.【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)圖表判斷C班人數(shù)，由分層抽樣的抽樣比計算C班的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)題意列出“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”的所有事件，由獨立事件概率公式求概率.（Ⅲ）根據(jù)平均數(shù)公式進行判斷即可.設(shè)事件為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”，由題意知，因此（3）根據(jù)平均數(shù)計算公式即可知，.考點：1.分層抽樣；2.獨立事件的概率；3.平均數(shù)【名師點睛】求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法：一是直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件概率的和，運用互斥事件的求和公式計算；二是間接法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式，即運用逆向思維的方法(正難則反)求解，應(yīng)用此公式時，一定要分清事件的對立事件到底是什么事件，不能重復(fù)或遺漏.特別是對于含“至多”“至少”等字眼的題目，用第二種方法往往顯得比較簡便.4.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：（I）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，【解析】試題分析：（Ⅰ）找出“星隊”至少猜對3個成語所包含的基本事件，由獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得到X的分布列，根據(jù)期望公式求解.試題解析：(Ⅰ)記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E