四川省資陽市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題

資陽市2022-2023學(xué)年度高中二年級第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、考號填寫在答題卡上，并認(rèn)真校準(zhǔn)條形碼上的考號、姓名等信息，在規(guī)定的位置貼好條形碼。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在區(qū)間隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則取到的滿足的概率為（）A． B． C． D．2．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3．某公司有職工340人，其中男職工180人，用分層抽樣的方法從該公司全體職工中抽取一個(gè)容量為68的樣本，則此樣本中男職工人數(shù)為（）A．40 B．36 C．34 D．324．已知圓的圓心為，且與直線相切，則圓的方程是（）A． B．C． D．5．已知甲、乙兩位同學(xué)在一次射擊練習(xí)中各射靶10次，射中環(huán)數(shù)頻率分布如圖所示：令，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的均值；，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的方差，則（）A．， B．，C．， D．，6．已知過原點(diǎn)的直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A．6 B． C． D．7．設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（）A．133 B．85 C．70 D．509．“木桶效應(yīng)”是一個(gè)有名的心理效應(yīng)，是指木桶盛水量的多少，取決于構(gòu)成木桶的最短木板的長度，而不取決于構(gòu)成木桶的長木板的長度，常被用來寓意一個(gè)短處對于一個(gè)團(tuán)隊(duì)或者一個(gè)人的影響程度．某同學(xué)認(rèn)為，如果將該木桶斜放，發(fā)揮長板的作用，在短板存在的情況下，也能盛較多的水．根據(jù)該同學(xué)的說法，若有一個(gè)如圖①所示圓柱形木桶，其中一塊木板有缺口，缺口最低處與桶口的距離為2，若按圖②的方式盛水，木桶傾斜到與水平面成60°時(shí)，水面剛好與左邊缺口最低處M和右側(cè)桶口N齊平，并形成一個(gè)橢圓水面，且為橢圓的長軸，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．某四面體的三視圖如右圖所示（3個(gè)三角形都是直角邊為1的等腰直角三角形），則該四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．已知是橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（）A． B．5 C．10 D．1112．如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是四邊形的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，為四邊形的中心，則的最大值為（）A．5 B．6 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“”的否定是________．14．如圖，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，則與側(cè)面所成角的正弦值為________．15．蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，蟋蟀鳴叫的頻率（單位：次數(shù)/分鐘）與氣溫（單位：）有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．某同學(xué)在當(dāng)?shù)赝ㄟ^觀測，得到如下數(shù)據(jù)，并利用最小二乘法建立了關(guān)于的線性回歸方程．當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫52次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為________．（次數(shù)/分鐘）243640602628.63035.416．已知曲線的方程是，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線與坐標(biāo)軸至少有一個(gè)公共點(diǎn)；②曲線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形；③若點(diǎn)P，Q在曲線上，則無最大值；④曲線圍成圖形的面積為．其中，所有正確結(jié)論的序號是________．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知．（1）求證：是關(guān)于的方程有解的一個(gè)充分條件；（2）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件．18．（12分）某中學(xué)為了解高中一年級學(xué)生對《生涯規(guī)劃》讀本學(xué)習(xí)情況，在該年級1500名學(xué)生中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生作為樣本，對他們一周內(nèi)對《生涯規(guī)劃》讀本學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些時(shí)間全部介于10至60（單位：分鐘）之間．現(xiàn)將數(shù)據(jù)分組，并制成如圖所示的頻率分布直方圖．為了研究的方便，該年級規(guī)定，若一周學(xué)習(xí)《生涯規(guī)劃》讀本時(shí)間多于50分鐘的學(xué)生稱為“精生涯生”，若一周學(xué)習(xí)《生涯規(guī)劃》讀本時(shí)間小于20分鐘的學(xué)生稱為“泛生涯生”．（1）求圖中a的值，并估計(jì)該年級學(xué)生一周內(nèi)對《生涯規(guī)劃》讀本學(xué)習(xí)時(shí)間的均值；（2）用樣本估計(jì)總體，估計(jì)該年級“精生涯生”和“泛生涯生”的數(shù)量各為多少人？（3）從樣本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任選2名學(xué)生，求這兩名學(xué)生一周內(nèi)對《生涯規(guī)劃》讀本學(xué)習(xí)時(shí)間的差不超過10分鐘的概率．19．（12分）已知的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為1．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．求直線的方程．20．（12分）如圖，四棱錐，平面，為等邊三角形，，B，D位于的異側(cè)，．（1）若，求證：平面平面；（2）若二面角的余弦為，求的長．21．（12分）如圖，多面體是將一個(gè)平行六面體截去三棱錐后剩下的幾何體，點(diǎn)為三角形的重心．四邊形是邊長為1的正方形，且，．（1）求證：；（2）求線段的長；（3）求異面直線與所成角的余弦值．22．（12分）已知橢圓經(jīng)過三點(diǎn)，，中的兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）過的右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．資陽市2022-2023學(xué)年度高中二年級第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測理科數(shù)學(xué)參考答案和評分意見評分說明：1．本解答給出了一種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分參考制定相應(yīng)的評分細(xì)則。2．對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。4．只給整數(shù)分。選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。1－5：BCBAD；6-10：DCBCA；11－12：DC二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（或填）14．15．3316．②③三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）（1）當(dāng)時(shí)，，顯然有解，故結(jié)論得證．（2）當(dāng)，是開口向上的二次函數(shù)，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，所以，即．反之，當(dāng)時(shí)，，且，所以有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，滿足條件．所以，當(dāng)，方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件為．18．（12分）（1）由直方圖可得，解得；由直方圖可得樣本均值為：，所以，該年級學(xué)生一周內(nèi)對《生涯規(guī)劃》讀本學(xué)習(xí)時(shí)間的均值為34.5．（2）由頻率分布直方圖可知，樣本“精生涯生”的頻率為0.1，所以估計(jì)該年級學(xué)生中“精生涯生”的數(shù)量為（人），該年級學(xué)生中“泛生涯生”的數(shù)量為（人）．（3）在這40名學(xué)生樣本中有2名“泛生涯生”，分別記為，；有4名“精生涯生”，分別記為，，，．從這6人中選取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)．這兩名學(xué)生一周學(xué)習(xí)《生涯規(guī)劃》的學(xué)習(xí)時(shí)間差不超過10分鐘所含的基本事件為，，，，，，共7個(gè)，故所求概率．19．（12分）（1）由題，的圓心到直線距離為，設(shè)的半徑為，則上的點(diǎn)到直線距離的最小值為，由，解得，所以，的方程為．（2）方法1：設(shè)切點(diǎn)，，由題知，切線，斜率存在，且均不為0，直線的斜率為，則切線斜率為，所以，切線方程為，化簡得，切線的方程為：，同理，切線的方程為：，由于切線，均過點(diǎn)，所以，，，所以，切點(diǎn)，在直線上，所以，直線的方程為．方法2：設(shè)切點(diǎn)，，經(jīng)過切點(diǎn)A，B的直線可以看作是以為直徑的圓與的公共弦所在的直線．以為直徑的圓的圓心為，又，則以為直徑的圓的半徑為，所以，以為直徑的圓的方程為：，即，與的方程聯(lián)立，得到，所以，直線的方程為．20．（12分）（1）證明：因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，又為等邊三角形，可得，四邊形為菱形，所以，因?yàn)槠矫?，所以，所以平面，又平面，所以，平面平面．?）取的中點(diǎn)，易知兩兩垂直，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)的長度為，則，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則由得令，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則由得令，得平面的一個(gè)法向量為，由，解得，即滿足題意．21．（12分）由題，設(shè)，則，．所以．（1）證明：因?yàn)?，所以，所以．?）可得，，所以，線段的長為．（3）設(shè)異面直線與所成的角為，因?yàn)椋?，所以，，則，所以，異面直線與所成角的余弦值為．【說明】本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決．參考上述解答評分．22．（12分）（1）方法1：根據(jù)橢圓的對稱性，橢圓只能經(jīng)過和這兩點(diǎn)，則，，此時(shí)，橢圓的方程為．方法2：若經(jīng)過，，則，且，此時(shí)無解；若經(jīng)過，，則，且，此時(shí)，與橢圓這一條件不符，不合題意；若經(jīng)過，，則，，此時(shí)，橢圓的方程為．（2）假設(shè)在直線上存在點(diǎn)，使得是以為斜邊的等腰直角三角形．①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，只有當(dāng)點(diǎn)為，才滿足以為底邊的等腰三角形，此時(shí)不妨取，，顯然與不垂直，則不是等腰直角三角形．此時(shí)，不