向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

223向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義1掌握向量的數(shù)乘運(yùn)算及幾何意義；2掌握向量數(shù)乘運(yùn)算律，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算；3理解兩個(gè)向量共線的條件，能表示與某個(gè)非零向量共線的向量，能判斷兩個(gè)向量共線；4通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)類(lèi)比和化歸思想．如何用三角形法則求作兩個(gè)非零向量的和向量？首尾相接連端點(diǎn)OAB如何用三角形法則求作兩個(gè)非零向量的差向量？共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量OAB問(wèn)題：一條細(xì)繩橫貫東西，一只螞蟻在細(xì)繩上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，若螞蟻向東方向一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量為，那么它在同一方向上3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量怎樣表示？螞蟻向西3秒鐘的位移對(duì)應(yīng)的向量又怎樣表示？你能用圖形表示嗎？定義：一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘記作λ，該向量的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0時(shí),λ與方向相同；λ<0時(shí),λ與方向相反；λ=0時(shí),λ=學(xué)習(xí)新知思考：如圖，設(shè)點(diǎn)M為△ABC的重心，D為BC的中點(diǎn)，那么向量與，與分別有什么關(guān)系？ABCDM向量數(shù)乘的運(yùn)算律及共線向量基本定理思考1：你認(rèn)為－2×（5

），

，2

（

＋）

可分別轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？-2×

(5

)=-10

；(3＋)

=3

＋2

（

＋

）=

2

+

2

；數(shù)乘運(yùn)算律：一般地，設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則λ(μ

)=(λμ)

；(λ＋μ)

=λ

＋μ

；λ(

＋

)=λ

＋λ

.思考2：你能理解上述運(yùn)算律的幾何意義嗎？思考1：對(duì)于向量（≠）和，若存在實(shí)數(shù)λ，使=λ，則向量與的方向有什么關(guān)系？思考2：若向量

（

≠）與

共線，則一定存在實(shí)數(shù)λ，使

=λ

成立嗎？思考3：若

＝，上述定理成立嗎？共線向量基本定理：向量

（

≠）與

共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

=λ

.共線向量基本定理ABPO思考4：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？A、B、C三點(diǎn)共線思考5：如圖，若P為AB的中點(diǎn)，則與、的關(guān)系如何？向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量、，以及任意實(shí)數(shù)λ、、y，恒有λ(x

±y

）=λx

±λy

.例1計(jì)算（1）（－3）×4；（2）3（＋）－2（－）－；（3）（2＋3－）－（3－2＋）23O例2如圖，已知任意兩個(gè)非零向量試作你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ABCA、B、C三點(diǎn)共線例3如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且=，=，試用,表示向量、、、MABDC1計(jì)算：2若向量方程，則向量等于（）3在中，已知是邊上的一點(diǎn)，若，則等于（）ABCDA4根據(jù)下列各小題中給出的條件，分別判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明簡(jiǎn)析:（1）平行四邊形，一組對(duì)邊平行且相等（2）梯形，一組對(duì)邊平行且不相等（3）菱形，一組對(duì)邊平行且相等，一組鄰邊相等5如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段BD上，且