基本不等式得獎

34基本不等式ICM2002會標(biāo)如圖，這是在北京召開的第22屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)．會標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。ADBCEFGHba圖中的不等關(guān)系：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。ABCDEFGHab如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）證明：1．不等式適用范圍：2．強(qiáng)調(diào)取“=”的條件：重要不等式所得不等式推廣：例1.已知求證：

證：∵以上三式相加：∴

思考：若a,b,c不全相等，所求證的結(jié)論有何變化？如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）證明：重要不等式所得不等式推廣：注意：1．這個定理適用的范圍：

2．語言表述：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。3掌握公式的正用、逆用、變形用。稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)。如果那么是正數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）均值不等式關(guān)于“平均數(shù)”的概念：1．如果

則：

叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)。2.均值定理：

≥

語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。aboABPQ均值不等式的幾何意義:如圖,AB是圓o的直徑，Q是AB上任一點，AQ=a,BQ=b,過點Q作垂直于AB的弦PQ，連AP,BP,則PQ=____,半徑AO=_____問題：請比較半弦長PQ與半徑AO的關(guān)系？幾何意義：圓的半徑不小于圓內(nèi)半弦長例2：（1）用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？解：設(shè)矩形菜園的長為m，寬為ym，則y=100，籬笆的長為2（y）m等號當(dāng)且僅當(dāng)=y時成立，此時=y=10因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m結(jié)論1：兩個正變量積為定值，則和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時取最值簡記“積定和最小”（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)矩形菜園的長為m，寬為ym，則2（y）=36,y=18矩形菜園的面積為ym2=18/2=9得y81當(dāng)且僅當(dāng)=y,即=y=9時，等號成立因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最大面積是81m2結(jié)論2：兩個正變量和為定值，則積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時取最值簡記“和定積最大”如果那么是正數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）均值不等式應(yīng)用均值不等式求最值的條件:a與b為正實數(shù)若等號成立，a與b必須能夠相等“一正”“二定”“三等”積定和最小和定積最大練習(xí)、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值解:即的最小值為過程中兩次運用了均值不等式,而這兩次取“=”號的條件是不同的，故結(jié)果錯。錯因：對么？正解:當(dāng)且僅當(dāng)即:時取“=”號即此時練習(xí)、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值“1的代換”例2:某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低最低總造價是多少解:設(shè)底面的長為m,寬為ym,水池總造價為元根據(jù)題意,有:由容積為4800m3,可得:3y=4800，因此y=1600由基本不等式與不等式的性質(zhì),可得當(dāng)=y,即=y=40時,等號成立

所以,將水池的地面設(shè)計成邊長為40m的正方形時總造價最低,最低總造價為297600元即：2、已知則y的最大值是。1、當(dāng)>0時，的最小值為，此時=。213、求函數(shù)的最小值練習(xí)1兩個不等式（1）（2）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立注意：1兩公式條件，前者要求a,b為