山東省威海市乳山市銀灘高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一9月模塊考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿分150分，考試時間150分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將答卷紙和答題卡一并交回。第Ⅰ卷(共60分)注意事項(xiàng)1.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的班級、姓名、座號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上，并將答題卡上的考號、科目、試卷類型涂好。2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，答案不能答在試卷上。3.第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆在答卷紙各題的答題區(qū)域內(nèi)作答；不能寫在試題卷上，不按以上要求作答的答案無效。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則()A. B. C. D.2.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M為A1C1的中點(diǎn),若=a,=c,=b,則下列向量與相等的是()A.-a+b+c B.a+b+cC.-a-b+c D.a-b+c3.若平面α經(jīng)過三點(diǎn)O(0,0,0),A(2,2,0),B(0,0,2),則平面α的法向量可以是()A.(1,0,1) B.(1,0,-1)C.(0,1,1) D.(-1,1,0)4.設(shè)u=(2,2,-1)是平面α的一個法向量,a=(-3,4,2)是直線l的一個方向向量,則直線l與平面α的位置關(guān)系是()A.平行或直線在平面內(nèi)B.垂直C.相交但不垂直D.不能確定5．已知向量（2，0，1）為平面α的法向量，點(diǎn)A（﹣1，2，1）在a內(nèi)，則P（1，2，2）到a的距離為（）A． B．5 C．25 D．6.如圖,已知正方形ABCD和正方形ADEF的邊長均為6,且它們所在的平面互相垂直,O是BE的中點(diǎn),=,則線段OM的長為()A.3 B. C.2 D.7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若F,G分別是棱AB,CC1的中點(diǎn),則直線FG與平面A1ACC1所成角的正弦值為()A. B. C. D.8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=AD=PD=1,BC=2,PD⊥平面ABCD,則二面角A-PB-C的大小為()A.30° B.60° C.120° D.150°二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多個選項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分)9.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)命題，其中真命題為()A. B. C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.的虛部為10.下列命題中正確的是()A.A,B,M,N是空間中的四點(diǎn),若,,不能構(gòu)成空間向量的一組基底,則A,B,M,N四點(diǎn)共面B.已知{a,b,c}為空間向量的一組基底,若m=a+c,則{a,b,m}也是空間向量的一組基底C.若直線l的一個方向向量為e=(1,0,3),平面α的一個法向量為n=,則直線l∥αD.若直線l的一個方向向量為e=(1,0,3),平面α的一個法向量為n=(-2,0,2),則直線l與平面α所成角的正弦值為11.如圖,一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1,其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等,且它們彼此之間的夾角都是60°,則下列說法中正確的是()A.=2B.·(-)=0C.向量與的夾角是60°D.BD1與AC所成角的余弦值為12.若將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,則下列結(jié)論正確的有()A.AD與BC所成的角為45°B.AC與BD所成的角為90°C.BC與平面ACD所成角的正弦值為D.平面ABC與平面BCD所成角的正切值是第Ⅱ卷(共90分)三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題目中橫線上)13．已知空間向量（﹣1，0，3），（3，﹣2，x），若⊥，則實(shí)數(shù)x的值為．14.已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），點(diǎn)P（x，﹣1，3）在平面ABC內(nèi)，則x＝．15.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.如圖,在鱉臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=2,M為PC的中點(diǎn),則點(diǎn)P到平面MAB的距離為.

16.如圖,在三棱錐S-ABC中,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=,M、N分別是AB和SC的中點(diǎn),則異面直線SM與BN所成角的余弦值為,直線SM與平面SAC所成角的大小為.

四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,E為棱PC的中點(diǎn).(1)證明:BE⊥PD;(2)若F為棱PC上一點(diǎn),滿足BF⊥AC,求線段PF的長.18.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,BC∥AD,AB⊥BC,∠ADC=45°,PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=3.(1)求異面直線PB與CD所成角的大小;(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離.19.如圖1,在邊長為5的菱形ABCD中,AC=8,現(xiàn)沿對角線BD把△ABD折起,折起后(如圖2)使∠ADC的余弦值為.(1)求證:平面ABD⊥平面CBD;(2)若M是AB的中點(diǎn),求折起后AC與平面MCD所成角的正弦值.20.在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥BE,AB=PA=4,BE=2.(1)求證:CE∥平面PAD;(2)在棱AB上是否存在一點(diǎn)F,使得平面DEF⊥平面PCE?如果存在,求的值;如果不存在,說明理由.21.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是梯形,AB∥CD,BC⊥CD,AB=PD=4,CD=2,AD=2,M為CD的中點(diǎn),N為PB上一點(diǎn),且=λ(0<λ<1).(1)當(dāng)λ=時,求證:MN∥平面PAD;(2)若直線AN與平面PBC所成角的正弦值為,求異面直線AD與CN所成角的余弦值.22.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,AD⊥DC,平面PDC⊥平面ABCD,△PDC是等邊三角形,AB=AD=CD=1,E,F,G分別是棱PD,PC,BC的中點(diǎn).(1)求證:PA∥平面EFG;(2)求二面角G-EF-D的大小;(3)若線段PB上存在一點(diǎn)Q,使得PC⊥平面ADQ,且=λ,求λ的值.

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一9月模塊考試數(shù)學(xué)試題答案全解全析一、單項(xiàng)選擇題1.A復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，。2.A=+=+(+)=+(+)=c+(-a+b)=-a+b+c.3.D設(shè)平面α的法向量為n,對于A選項(xiàng),n·=2,故A選項(xiàng)錯誤;對于B選項(xiàng),n·=-2,故B選項(xiàng)錯誤;對于C選項(xiàng),n·=2,故C選項(xiàng)錯誤;對于D選項(xiàng),由于n·=0,n·=0,且不共線向量,有共同的始點(diǎn),故D選項(xiàng)正確.故選D.4.A因?yàn)閡·a=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以u⊥a,故直線l∥平面α或直線l?平面α.故選A.5．B．解：∵向量（2，0，1）為平面a的法向量，點(diǎn)A（﹣1，2，1）在a內(nèi)，P（1，2，2），∴（2，0，1），∴P（1，2，2）到a的距離d．6.B由題意可得DA,DC,DE兩兩互相垂直.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則E(0,0,6),F(6,0,6),B(6,6,0).因?yàn)镺是BE的中點(diǎn),所以O(shè)(3,3,3).因?yàn)?,所以M(6,0,4),所以||==,即線段OM的長為.故選B.7.D解法一:過F作BD的平行線交AC于點(diǎn)M,連接MG,易證得FM⊥平面A1ACC1,所以FM⊥MG,∠MGF即為直線FG與平面A1ACC1所成的角,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,易得FM=,FG=,所以sin∠MGF==.解法二:以A為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,易得平面A1ACC1的一個法向量n=(-1,1,0),F,G,所以=.設(shè)直線FG與平面A1ACC1所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,>|===.8.C取BC中點(diǎn)M,連接DM,由已知可得四邊形ADMB為正方形,易得DM,DA,DP兩兩互相垂直,故以點(diǎn)D為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,-1,0),P(0,0,1),所以=(0,-1,1),=(1,0,0),設(shè)平面PAB的一個法向量為n1=(x,y,z),則即令z=1,則y=1,所以n1=(0,1,1).設(shè)平面PBC的一個法向量為n2=(a,b,c),易得=(0,-2,0),=(1,-1,-1),所以即令c=1,則a=1,所以n2=(1,0,1),所以cos<n1,n2>==.易知二面角A-PB-C的平面角為鈍角,所以二面角A-PB-C的大小為120°.故選C.二、多項(xiàng)選擇題9.BD。解析：解：，，A錯誤；，B正確；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯誤；的虛部為，D正確.10.ABD對于A,A,B,M,N是空間中的四點(diǎn),若,,不能構(gòu)成空間向量的一組基底,則,,共面,則A,B,M,N四點(diǎn)共面,故A正確;對于B,已知{a,b,c}為空間向量的一組基底,所以a,b,c不共面,若m=a+c,則a,b,m也不共面,故{a,b,m}也是空間向量的一組基底,故B正確;對于C,因?yàn)閑·n=1×(-2)+0×0+3×=0,所以e⊥n,所以l?α或l∥α,故C錯誤;對于D,因?yàn)閏os<e,n>===,所以直線l與平面α所成角的正弦值為,故D正確.故選ABD.11.AB由題意可知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各棱長均相等,設(shè)棱長為1,則·=·=·=1×1×cos60°=,所以=+++2·+2·+2·=1+1+1+3×2×=6,而2=2=2(++2·)=2×=2×3=6,所以A正確.·(-)=(++)·(-)=·-·+-·+·-=0,所以B正確.向量=,顯然△AA1D為等邊三角形,故∠AA1D=60°,所以向量與的夾角是120°,即向量與的夾角是120°,所以C不正確.因?yàn)?+-,=+,所以||==,||==,·=(+-)·(+)=1,所以cos<,>===,所以D不正確.故選AB.12.BCD取BD中點(diǎn)O,連接AO,CO.若將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,則OA⊥BD,OC⊥BD,OA⊥OC,∴以O(shè)為原點(diǎn),OC所在直線為x軸,OD所在直線為y軸,OA所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)OC=1,則A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),∴=(0,1,-1),=(1,1,0),∴cos<,>===,∴AD與BC所成的角為60°,故A不正確;易得=(1,0,-1),=(0,2,0),∵·=0,∴AC⊥BD,故B正確;設(shè)平面ACD的一個法向量為t=(x,y,z),則取z=1,則x=y=1,∴t=(1,1,1),又=(1,1,0),設(shè)BC與平面ACD所成的角為θ,∴sinθ=|cos<,t>|===,故C正確;易知平面BCD的一個法向量n=(0,0,1),=(0,1,1),=(1,1,0),設(shè)平面ABC的一個法向量為m=(x',y',z'),則取x'=1,則y'=-1,z'=1,∴m=(1,-1,1),設(shè)平面ABC與平面BCD所成的角為α,則cosα=|cos<m,n>|==,∴sinα=,tanα=,∴平面ABC與平面BCD所成角的正切值是,故D正確.故選BCD.三、填空題13．解：向量（﹣1，0，3），（3，﹣2，x），若⊥，則3+3x＝0，解得x＝1．故答案為：1．14．解：由共面向量定理，可設(shè)，其中x，y∈R，于是代入點(diǎn)的坐標(biāo)有：（x﹣4，﹣2，0）＝y(tǒng)（﹣2，2，﹣2）+z（﹣1，6，﹣8），得方程組：得，故答案為：1115.答案解析易知PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,故以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA,BC所在直線分別為x軸,y軸,過點(diǎn)B且與平面ABC垂直的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A(2,0,0),P(2,0,2),C(0,2,0),由M為PC的中點(diǎn)可得M(1,1,1),=(1,1,1),=(2,0,0),=(2,0,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面MBA的一個法向量,則即令z=-1,則y=1,所以n=(0,1,-1),所以點(diǎn)P到平面MAB的距離d==.16.答案;解析因?yàn)椤螦SB=∠BSC=∠CSA=,所以以S為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)SA=SB=SC=2,則S(0,0,0),B(0,2,0),A(2,0,0),C(0,0,2),M(1,1,0),N(0,0,1),所以=(1,1,0),=(0,-2,1),所以cos<,>==-,所以異面直線SM與BN所成的角的余弦值為.易得平面SAC一個法向量為=(0,2,0),則由cos<,>==得<,>=,所以直線SM與平面SAC所成角的大小為.四、解答題17.解析(1)證明:易得AB,AD,AP兩兩互相垂直,故以A為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0),∴=(0,1,1),=(0,2,-2),∴·=0,∴BE⊥PD.(5分)(2)由(1)可得=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),由點(diǎn)F在棱PC上,設(shè)=λ=(-2λ,-2λ,2λ),0≤λ≤1,∴=+=(1-2λ,2-2λ,2λ).∵BF⊥AC,∴·=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=,∴||=||==,即線段PF的長為.(10分)18.解析(1)易得AB,AD,AP兩兩互相垂直,故以A為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,3,0),(2分)所以=(1,0,-1),=(-1,1,0).設(shè)異面直線PB與CD所成的角為θ,則cosθ==,(4分)所以異面直線PB與CD所成角的大小為.(6分)(2)設(shè)平面PBC的一個法向量為n=(u,v,w),由(1)可得=(0,2,0),則即取u=w=1,得n=(1,0,1),(9分)所以點(diǎn)D到平面PBC的距離d==.(12分)19.解析(1)證明:在菱形ABCD中,記AC,BD的交點(diǎn)為O,則OA=OC=4,∵AD=5,∴OB=OD=3.將△ABD折起后變成三棱錐A-BCD,在△ACD中,AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=25+25-2×5×5×=32.在△AOC中,OA2+OC2=32=AC2,∴∠AOC=90°,即AO⊥CO.又AO⊥BO,BO∩CO=O,∴AO⊥平面CBD.又AO?平面ABD,∴平面ABD⊥平面CBD.(5分)(2)由(1)知OC,OD,OA兩兩互相垂直,故以O(shè)為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,(7分)則A(0,0,4),B(0,-3,0),C(4,0,0),D(0,3,0),M,(8分)∴=,=(4,-3,0),=(4,0,-4).設(shè)平面MCD的一個法向量為n=(x,y,z),則即取y=4,則x=3,z=9,∴n=(3,4,9).(10分)設(shè)AC與平面MCD所成的角為θ,則sinθ=|cos<,n>|===,∴AC與平面MCD所成角的正弦值為.(12分)20.解析(1)證明:取PA的中點(diǎn)G,連接EG,DG.因?yàn)镻A∥BE,且PA=4,BE=2,所以BE∥AG,且BE=AG,所以四邊形BEGA為平行四邊形,所以EG∥AB,且EG=AB.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以CD∥AB,CD=AB,所以EG∥CD,且EG=CD,所以四邊形CDGE為平行四邊形,所以CE∥DG.因?yàn)镈G?平面PAD,CE?平面PAD,所以CE∥平面PAD.(4分)(2)易得AB,AD,AP兩兩互相垂直,故以A為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(4,0,0),C(4,4,0),E(4,0,2),P(0,0,4),D(0,4,0),(5分)所以=(4,4,-4),=(4,0,-2),=(0,4,-4).設(shè)平面PCE的一個法向量為m=(x,y,z),則?令x=1,則y=1,z=2,所以m=(1,1,2).(8分)假設(shè)存在點(diǎn)F(a,0,0)(0≤a≤4)滿足題意,如圖,連接EF,DF,DE,則=(4-a,0,2),=(4,-4,2).設(shè)平面DEF的一個法向量為n=(x',y',z'),則?令x'=2,則y'=,z'=a-4,所以n=.(10分)因?yàn)槠矫鍰EF⊥平面PCE,所以m·n=0,即2++2a-8=0,所以a=,故存在點(diǎn)F滿足題意,此時=.(12分)21.解析(1)證明:當(dāng)λ=時,=,在PA上取=,連接EN,DE.∵=,=,AB=4,∴EN∥AB,且EN=AB=1.∵M(jìn)為CD的中點(diǎn),CD=2,∴DM=CD=1.又∵AB∥CD,∴EN∥DM,EN=DM,∴四邊形DMNE是平行四邊形,∴MN∥DE,又∵DE?平面PAD,MN?平面PAD,∴MN∥平面PAD.(5分)(2)過點(diǎn)D作DH⊥AB于H,則DH⊥CD,故DH,DC,DP兩兩互相垂直.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,(6分)則D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),A(2,-2,0),P(0,0,4),∴