江西省萬安中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)一、單選題（每題5分，共40分）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)（

）A．7 B．-7 C．1 D．-13．已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則（

）A．36 B．45 C．54 D．634．五一國際勞動(dòng)節(jié)，學(xué)校團(tuán)委舉辦“我勞動(dòng)，我快樂”的演講比賽．某班有甲、乙、丙等6名同學(xué)參加，抽簽確定出場順序，在“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”的條件下，學(xué)生甲、乙相鄰出場的概率為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．直線到平面的距離為（

）．

A． B． C． D．7．若，則（

）A． B．C． D．8．如圖，設(shè)直線與拋物線(為常數(shù))交于不同的兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.過點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，且直線過點(diǎn)，則直線過點(diǎn)（

）

A． B． C． D．二、多選題（每題5分，共20分）9．已知正方體，為對(duì)角線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作垂直于直線的平面，平面與正方體表面相交形成的多邊形記為，下列結(jié)論正確的是（

）A．只可能為三角形或六邊形B．直線與直線BD所成的角為C．當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，的周長最大D．當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，的面積最大10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的有（

）A． B．C． D．11．如圖，過雙曲線右支上一點(diǎn)P作雙曲線的切線l分別交兩漸近線于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)D，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．若存在點(diǎn)P，使，且，則雙曲線C的離心率12．已知函數(shù)，則以下判斷正確的是（

）A．函數(shù)的零點(diǎn)是B．不等式的解集是．C．設(shè)，則在上不是單調(diào)函數(shù)D．對(duì)任意的，都有．三、填空題（共20分）13．若將函數(shù)表示為，其中為實(shí)數(shù)，則=.14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若與均為等差數(shù)列，請寫出滿足題意的一個(gè)的通項(xiàng)公式，．15．已知為常數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有2個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．已知，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則的最小值為.四、解答題（共70分）17．的內(nèi)角的對(duì)邊長分別為，設(shè)(1)求；(2)若，求．18．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，且對(duì)任意的正整數(shù)，是和的等差中項(xiàng).(1)證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.19．如圖，在直四棱柱中，，，，，且P為的中點(diǎn).(1)設(shè)過B點(diǎn)的平面為，若平面平面，求平面與四邊形和四邊形交線的長度之和；(2)求平面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.20．全球變暖已經(jīng)是近在眼前的國際性問題，冰川融化?極端氣候的出現(xiàn)?生物多樣性減少等等都會(huì)給人類的生存環(huán)境帶來巨大災(zāi)難.某大學(xué)以對(duì)于全球變暖及其后果的看法為內(nèi)容制作一份知識(shí)問卷，并邀請40名同學(xué)(男女各占一半)參與問卷的答題比賽，將同學(xué)隨機(jī)分成20組，每組男女同學(xué)各一名，每名同學(xué)均回答同樣的五個(gè)問題，答對(duì)一題得一分，答錯(cuò)或不答得零分，總分5分為滿分.最后20組同學(xué)得分如下表：組別號(hào)12345678910男同學(xué)得分4554554455女同學(xué)得分3455545553組別號(hào)11121314151617181920男同學(xué)得分4444445543女同學(xué)得分5545435345（1）完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“該次比賽是否得滿分”與“性別”有關(guān)：男同學(xué)女同學(xué)總計(jì)該次比賽得滿分該次比賽未得滿分總計(jì)（2）隨機(jī)變量表示每組男生分?jǐn)?shù)與女生分?jǐn)?shù)的差，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式和數(shù)據(jù)：，.0.100.050.0102.7063.8416.63521．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)是右支上一點(diǎn)，的面積為4．(1)求的方程；(2)點(diǎn)A是在第一象限的漸近線上的一點(diǎn)，軸，點(diǎn)是右支在第一象限上的一點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．試判斷的值是否為定值？若為定值，求出它的值；若不為定值，請說明理由．22．已知函數(shù)，其中，(1)若，（i）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（ii）曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．(2)證明：當(dāng)時(shí)，存在直線，使直線是曲線的切線，也是曲線的切線．

1．B由可得，，所以，所以.所以，.所以，即.故選：B.2．B因，依題意，實(shí)部與虛部相等，而a是實(shí)數(shù)，則，解得，所以實(shí)數(shù).故選：B3．B設(shè)公差為，由，得，解得，所以，所以.故選：B.4．B設(shè)“學(xué)生甲、乙相鄰出場”為事件，“學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場”為事件，依題意共有種情況，學(xué)生甲必須在學(xué)生乙的前面出場的情況有種，所以，甲乙同學(xué)按出場順序一定，且相鄰出場的情況共有種，所以，則，故選：B．5．C由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?又因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞減.則由可得，解得，即原不等式的解集為.故選：C.6．D平面,平面,平面,因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.

則設(shè)平面的法向量為，則，令，則設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.故選：D.7．C對(duì)于A，令且，則，故在上單調(diào)遞增，則，即，所以，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，令且，則，故在上單調(diào)遞增，則，即，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，令且，則，故在上單調(diào)遞增，則，即，所以，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C.8．A直線，即，依題意，到直線的距離為，所以拋物線方程為，直線，由消去并化簡得，，且，設(shè)，則.由，直線的方程為，所以，即，則，故，所以，所以，直線的方程為，即，則，故，所以，也即直線過定點(diǎn).故選：A.9．ABD∵正方體，體對(duì)角線與平面垂直，則平面，若向點(diǎn)方向平移,則為三角形，若向點(diǎn)方向平移,則可能為六角形，A正確；∵平面，∴直線與直線BD的夾角為，B正確；∵當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，為正六邊形PQRSTW，而三角形為等邊三角形，根據(jù)中位線定理，，易得兩個(gè)截面周長相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，為正六邊形PQRSTW，設(shè)邊長，面積為，當(dāng)向下移動(dòng)時(shí)，為六邊形，結(jié)合圖形可知兩鄰邊一條增大，一條減小，且變化量相等，設(shè)，，，而且所有六邊形的高都相等，且等于，兩鄰邊夾角都為120°，則當(dāng)為三角形時(shí)，面積最大為，而，∴當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，故D正確.故選：ABD10．ABC因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以是奇函數(shù)，故，由，，得，即，所以是周期函數(shù)，且周期為4，，，所以，對(duì)選項(xiàng)A：由，令得，，所以，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B：由，令得，，故，所以B正確；對(duì)選項(xiàng)C：由，可得，又，所以，又是奇函數(shù)，，所以，又，所以，即，所以，，，所以函數(shù)為周期為4的偶函數(shù)，所以，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D：，由題得不出，所以不一定成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．ABD對(duì)于A項(xiàng)，先求雙曲線上一點(diǎn)的切線方程，不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對(duì)稱性同理可得）.由得：，所以，則在點(diǎn)的切線斜率為，所以在點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)?，所以在點(diǎn)的切線方程為：，不失一般性，設(shè)點(diǎn)是雙曲線在第一象限的一點(diǎn)，是切線與漸近線在第一象限的交點(diǎn)，是切線與漸近線在第四象限的交點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立，所以點(diǎn)，同理可得：，則，又因?yàn)?，所以，即：，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由A項(xiàng)知，，，所以點(diǎn)是A、B的中點(diǎn)，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)樵邳c(diǎn)的切線方程為：，令得，所以點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)在頂點(diǎn)時(shí)，仍然滿足，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)?，所以，解得：，即：，代入得，所以，，所以，解得：，所以，所以離心率為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.12．BD對(duì)于A項(xiàng)，零點(diǎn)是數(shù)不是點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，令，而恒成立，原不等式等價(jià)于，解之得，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，，所以，設(shè)，則，設(shè)即定義域上單調(diào)遞增，，即存在使得，即存在使得，所以時(shí)有，則，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，由C項(xiàng)結(jié)論可知在上單調(diào)遞增，所以有，又，即成立，故D正確.故選：BD13．1由題可知：而則故答案為：114．令數(shù)列的公差為，顯然，由是等差數(shù)列，得，即，兩邊平方得，兩邊平方并整理得，則，此時(shí)，，有為常數(shù)，即是等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，取，得.故答案為：15．因?yàn)殛P(guān)于的方程有且只有2個(gè)不同的解，所以的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又及的圖像如圖所示：當(dāng)時(shí)，因的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線與相切，與有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，從而，解得，．當(dāng)時(shí)，因的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同的解，即有兩個(gè)不同的解，即，所以，故，綜上，．故填．16．因?yàn)?，所以可化為，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，，，所以可化為，所以，在上恒成立，，，設(shè)，，則，令，得；，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即的最小值為．故答案為：．17．(1)(2)（1）根據(jù)題意，由正弦定理可得，即，所以根據(jù)余弦定理及中可得.（2）根據(jù)題意，由正弦定理可得，所以，解得①，因?yàn)棰?，①②?lián)立可解得或，又因?yàn)?，則，，（舍去），所以.18．(1)證明見解析；.(2).（1）證明：由題知，得，所以是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合題意，所以，又所以.（2）解：由題得，所以，所以所以，又時(shí)符合該式，故.19．(1)(2)（1）因?yàn)樵谥彼睦庵?，，，，，所以平面平?如圖，取的中點(diǎn)E，連接BE.在矩形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?取AB的中點(diǎn)G，PB的中點(diǎn)H，連接GH，則.取，，連接GD，DQ，HQ，EF，BF.因?yàn)椋?，，，所以，所以，?所以四邊形DGHQ為平行四邊形，所以.因?yàn)?，且，所以四邊形EDQF為平行四邊形.所以，所以，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?又，所以平面平面，所以平面即為平面BEF.所以BF，EF分別為平面與四邊形和四邊形的交線.因?yàn)椋?，所以平面與四邊形和四邊形交線的長度之和為.（2）以C為原點(diǎn)，CD所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即∴.取平面ABCD的一個(gè)法向量為，則.故平面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為.20．（1）列聯(lián)表答案見解析，沒有90%的把握認(rèn)為“該次大賽是否得滿分”與“性別”有關(guān)；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.（1）列聯(lián)表如下：男同學(xué)女同學(xué)總計(jì)該次比賽得滿分81119該次比賽未得滿分12921總計(jì)202040所以，，所以沒有90%的把握認(rèn)為“該次大賽是否得滿分”與“性別”有關(guān).（2）的可能取值為-2，-1，0，1，2.，則的分布列為-2-1012所以.21．(1)(2)是定值．（1）的面積為4，則，得．由離心率為，得，解得，所以，所以的方程為．（2）為定值．設(shè)，由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．由，可得，所以在第一象限內(nèi).所以，故．因?yàn)椋?，代入直線的方程，得.即．由，可得，所以直線的方程為，即．因?yàn)橹本€的方程為，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以..所以，即的值為定值．

22．(1)（i）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（ii）；(2)證明見解析（1）（i）由時(shí)，且，則，令，即，令，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（ii），兩側(cè)同時(shí)取對(duì)數(shù)，有，設(shè)函數(shù)，則，令，有，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，所以，又，且時(shí)，所以與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件為，即，所以的取值范圍為．（2）曲線