剛體定軸轉(zhuǎn)動定律課件

第六章剛體定軸轉(zhuǎn)動2021/12/21剛體定軸轉(zhuǎn)動定律復(fù)習(xí)質(zhì)點的角動量力矩角動量定理角動量守恒定律若2021/12/22剛體定軸轉(zhuǎn)動定律本章主要內(nèi)容1剛體的運動2剛體的角動量3剛體受到的力矩4剛體定軸轉(zhuǎn)動定律5剛體的動能定理6剛體的角動量守恒定律2021/12/23剛體定軸轉(zhuǎn)動定律6.1剛體的運動與描述

質(zhì)點的運動只代表物體的平動，物體實際上是有形狀、大小的，它可以平動、轉(zhuǎn)動，甚至更復(fù)雜的運動。因此，對于機械運動的研究，只限于質(zhì)點的情況是不夠的。

剛體是一種特殊的質(zhì)點系，無論在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終保持不變。即物體的形狀、大小都不變的固體稱為剛體（rigidbody

）。

剛體考慮了物體的形狀和大小，但不考慮它的形變，剛體同質(zhì)點一樣，也是一個理想化模型。2021/12/24剛體定軸轉(zhuǎn)動定律一、剛體的運動

固聯(lián)在剛體上的任一條直線，在各個時刻的位置始終保持彼此平行的運動，叫做剛體的平動。1.平動

剛才的動畫演示了一個圓柱體的平動。在運動過程中，我們看到，剛體中所有質(zhì)點的位移都是相同的。

而且在任何時刻，各個質(zhì)點的速度和加速度也都相同。這時我們可以選取剛體上任一點的運動來代表剛體的運動。2021/12/25剛體定軸轉(zhuǎn)動定律2.轉(zhuǎn)動

如果剛體上所有各點繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運動，則稱為剛體的轉(zhuǎn)動。

轉(zhuǎn)動時，軸外各點在同一時間間隔內(nèi)走過的弧長雖然不一樣，但角位移全同。2021/12/26剛體定軸轉(zhuǎn)動定律固定轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸不隨時間變化——剛體定軸轉(zhuǎn)動瞬時轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸隨時間變化——一般轉(zhuǎn)動2021/12/27剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.剛體的一般運動

例如，一個車輪的滾動，可以分解為車輪隨著轉(zhuǎn)軸的平動和整個車輪繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動。

在研究剛體一般運動時，我們一般將它分解為質(zhì)心的平動（應(yīng)用質(zhì)心運動定理）和剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動（應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律）。2021/12/28剛體定軸轉(zhuǎn)動定律一個汽車輪子在地上的滾動A、B、C、…各點的運動都不相同繞過o

軸的轉(zhuǎn)動o

A

B

C

o

o

輪子的平動ABCoABCo

ABA

B

C

Co剛體的運動＝平動＋轉(zhuǎn)動平動：剛體上所有點運動狀態(tài)都相同轉(zhuǎn)動：各質(zhì)元均作圓周運動2021/12/29剛體定軸轉(zhuǎn)動定律二.剛體平動的描述

剛體的平動可用質(zhì)心運動來代表整體的運動1。質(zhì)心的位矢設(shè)N個質(zhì)點m1,m2,

,mN，對應(yīng)的位矢定義：質(zhì)心的位矢質(zhì)心

重心2021/12/210剛體定軸轉(zhuǎn)動定律2。質(zhì)心運動定理質(zhì)心的速度：質(zhì)心的加速度：設(shè)mi受力則：對所有質(zhì)點求和：0——質(zhì)心運動定理即：質(zhì)心運動如同一質(zhì)點，只是將質(zhì)量全部集中于該點，所受的力是質(zhì)點系受的所有外力。注：質(zhì)心上可能既無質(zhì)量，又未受力。22021/12/211剛體定軸轉(zhuǎn)動定律角位置θ角速度ω角加速度α

·pro轉(zhuǎn)動平面

三.剛體（定軸）轉(zhuǎn)動的角量描述2021/12/212剛體定軸轉(zhuǎn)動定律6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律一.剛體定軸轉(zhuǎn)動所受力矩

力矩一般定義：此處即可是對某點也可是對某軸而言當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，力矩就可以用標(biāo)量來表示。o

o

習(xí)慣上把定軸用z表示力矩表示為2021/12/213剛體定軸轉(zhuǎn)動定律o

o

.P1）在垂直o

o

的平面內(nèi)2）不在垂直o

o

的平面內(nèi)o

o

.P對剛體繞o

o

軸轉(zhuǎn)動無貢獻計算力矩時只需考慮的力矩

總可分解成兩個分量：5合外力矩2021/12/214剛體定軸轉(zhuǎn)動定律o

o

1。一個質(zhì)點的情況

法向力對軸的矩為零切向力對軸的矩二.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律見右下平面圖2021/12/215剛體定軸轉(zhuǎn)動定律（剛體類似于多質(zhì)點系）設(shè)某剛體繞固定軸—Z軸轉(zhuǎn)動Zmi取質(zhì)量元mi，其到轉(zhuǎn)軸的距離ri受力如圖示，根據(jù)牛頓定律：各質(zhì)元加速度不同，但角加速度相同用ri乘以上式：將所有質(zhì)元相加：fifj0ro2。連續(xù)質(zhì)量分布剛體的情況2021/12/216剛體定軸轉(zhuǎn)動定律定義——剛體對定軸（z軸）的轉(zhuǎn)動慣量則有——定軸轉(zhuǎn)動定律由與牛頓定律比較：或Jmm反映質(zhì)點的平動慣性J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性2021/12/217剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3。理解注意是合外力矩

這條定律表明，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比。

內(nèi)力矩成對抵消，不能改變剛體的角動量，因而不能改變剛體的角速度。這是角動量定理在剛體定軸轉(zhuǎn)動情形下的特例（1）（2）（3）2021/12/218剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量離散分布對剛體定義—轉(zhuǎn)動慣量單質(zhì)點單位：kg?m2─質(zhì)量元─第i個質(zhì)點的質(zhì)量─到轉(zhuǎn)軸的距離─到轉(zhuǎn)軸的距離三.轉(zhuǎn)動慣量及計算2021/12/219剛體定軸轉(zhuǎn)動定律質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布

、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布

只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。2021/12/220剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

如圖套兩個質(zhì)點的細桿長l，桿繞空端轉(zhuǎn)動，分析整個系統(tǒng)繞o

點的轉(zhuǎn)動慣量。將兩質(zhì)點換位再作計算。解：普通物理學(xué)教案例題1：

o2m

m

由om2m結(jié)論：2021/12/221剛體定軸轉(zhuǎn)動定律J與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)J與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)

因為質(zhì)量分布是對轉(zhuǎn)軸而言的，上例也可看作質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸越遠轉(zhuǎn)動慣量越大。形狀和轉(zhuǎn)軸確定后，J與剛體的質(zhì)量有關(guān)AlFe討論影響轉(zhuǎn)動慣量的因素2021/12/222剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

求長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對端點軸和中垂軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題2：ABL/2L/2Cx取如圖坐標(biāo)取質(zhì)量元ABLx2021/12/223剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：普通物理學(xué)教案例題3：取質(zhì)量元Odm2021/12/224剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

求質(zhì)量為m、半徑為R均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：普通物理學(xué)教案例題4：這樣的一個圓盤可以視為半徑不等的有寬度的圓環(huán)拼接而成。任取其中一環(huán)利用前例環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量結(jié)果Rrdr2021/12/225剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

內(nèi)半徑為R1

外半徑為R2

質(zhì)量為m的勻質(zhì)中空圓柱繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題5：2021/12/226剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題6：在球面取一圓環(huán)帶，半徑2021/12/227剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題7：把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合

2021/12/228剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

如圖所示，滑輪半徑為r。（設(shè)繩與滑輪間無相對滑動）①若m2與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，求系統(tǒng)的加速度a及張力T1

與T2；②若桌面光滑，再求。解：普通物理學(xué)教案例題8：力和力矩分析、方法1

按隔離法建坐標(biāo)對質(zhì)點用牛頓定律對剛體用轉(zhuǎn)動定律限制性條件2021/12/229剛體定軸轉(zhuǎn)動定律解得：若桌面光滑，摩擦力矩為零2021/12/230剛體定軸轉(zhuǎn)動定律解法2由系統(tǒng)角動量定理取m1、m2、J為系統(tǒng)外力矩系統(tǒng)的角動量（任一時刻）（對滑輪轉(zhuǎn)軸）2021/12/231剛體定軸轉(zhuǎn)動定律由角動量定理由解得：再由牛頓定律可得張力。這也是定軸轉(zhuǎn)動定律(整體分析方法)2021/12/232剛體定軸轉(zhuǎn)動定律一根均質(zhì)細桿（m、L），一端可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。桿最初靜止在水平位置，由此下擺

角求角加速度和角速度。解：普通物理學(xué)教案例題9：

odm?gdm下擺過程重力矩做功以桿為對象取質(zhì)元當(dāng)桿處在下擺

角時，該質(zhì)量元所受重力對o點的矩為重力對整個棒的合力矩為：2021/12/233剛體定軸轉(zhuǎn)動定律代入轉(zhuǎn)動定律，可得：代入轉(zhuǎn)動動能定理2021/12/234剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

勻質(zhì)圓盤的質(zhì)量為m，半徑為R，在水平桌面上繞其中心旋轉(zhuǎn)。設(shè)圓盤與桌面之間的摩擦系數(shù)為μ，求圓