隨機(jī)過程論（第3版）課件 ch02鞅論初步

鞅論初步“隨機(jī)過程論新工科建設(shè)之路第二章01上鞅、下鞅的概念、簡單性質(zhì)與分解定理1.概念與簡單性質(zhì)設(shè)在概率空間上有一個(gè)非降的σ-代數(shù)族和實(shí)隨機(jī)過程。定義2.1定義2.21.概念與簡單性質(zhì)命題2.11.概念與簡單性質(zhì)命題2.22.分解定理對(duì)于上鞅和下鞅，Doob和Meyer給出了有名的分解定理，它是論的基本定理之一特別是連續(xù)參數(shù)的鞅分解定理是現(xiàn)代鞅論的開端，由于后者的敘述需要過多的準(zhǔn)備知識(shí)與篇幅，我們只能略去它，而僅給出離散參數(shù)的鞅分解定理。鞅分解定理的基本思想可以從例2與例3看出。事實(shí)上，我們可將

做如下分解:2.分解定理令其中2.分解定理定理2.1(離散參數(shù)下鞅分解)這種分解是唯一的。整明2.分解定理定理2.1(離散參數(shù)下鞅分解)2.分解定理定理2.1(離散參數(shù)下鞅分解)將定理2.1用于例3，可以得出:一個(gè)有利的不公平博弈，可以視為一個(gè)公平博弈與一個(gè)以前各次平均盈利之和。02停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)顯然，τ=t(常數(shù)時(shí)間)是一個(gè)停時(shí)。可見停時(shí)是對(duì)時(shí)間的一個(gè)推廣，下面我們給出停時(shí)的非平凡例子，以期讀者對(duì)停時(shí)有一個(gè)直觀的了解。粗略地講，停時(shí)是一個(gè)不依賴“將來”的隨機(jī)時(shí)間，這里的過去、現(xiàn)在和將來是由參考族

決定的，下面我們給出停時(shí)的確切定義。定義2.3(停時(shí))停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)命題2.3停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)命題2.4停時(shí)一定也是寬停時(shí);反之，若可見，τ也是寬停時(shí)。停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)命題2.4當(dāng)σ是寬停時(shí)，我們有停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)定義2.4(a以前的-代數(shù))停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)命題2.5設(shè)a和β是相對(duì)于的停時(shí)，則停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)命題2.5及停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)命題2.6停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)命題2.7證明用測度論的典型方法(見附錄A)容易證明:停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)命題2.7停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)定理2.2停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)定理2.2停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)定理2.2停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)定理2.2停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)定理2.2正如前面所指出的，停時(shí)是一種隨機(jī)時(shí)間，那么它在什么程度上與普通的時(shí)間有相同的性質(zhì)呢?定理2.3告訴我們，在某些條件下用一列停時(shí)代人一個(gè)鞅(上鞅或下鞅)的時(shí)間參數(shù)，仍能保持鞅(上鞅或下鞅)性。停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)定理2.3停時(shí)與鞅的停止定理(有限時(shí)間)定理2.3定理2.3只是停止定理的一個(gè)簡單的特例，對(duì)一般的T=Z+和T=R+，也有相應(yīng)的結(jié)果,但它要用到鞅的一致可積性與收斂性方面的一些結(jié)果，我們只能在2.4節(jié)中再進(jìn)一步討論。03不等式和收斂定理1.鞅不等式(Doob極值不等式)對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)變量和序列，有著名的Kolmogorov不等式，鞅作為獨(dú)立和的推廣，也有相應(yīng)的結(jié)果。定理2.41.鞅不等式(Doob極值不等式)定理2.41.鞅不等式(Doob極值不等式)定理2.41.鞅不等式(Doob極值不等式)定理2.41.鞅不等式(Doob極值不等式)推論1推論22.下鞅(上鞅)極限的存在性鞅收斂定理是利用鞅理論解決許多領(lǐng)域中的問題的主要工具之一，在概率論中十分重要。本節(jié)中，我們討論

的存在性。我們知道，任何一個(gè)實(shí)數(shù)列不存在有窮或無窮的極限就是也就是存在有理數(shù)a和b，使得2.下鞅(上鞅)極限的存在性2.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.12.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.12.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.12.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.52.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.52.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.62.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.6立即得到對(duì)下鞅的情況，相應(yīng)地得到定理2.6的結(jié)果說明在幾乎處處收斂的意義下，上鞅(下)的反向極限一定存在,這一事實(shí)在以離散參數(shù)去逼近連續(xù)參數(shù)上(下)鞅時(shí)很有用。因?yàn)橹灰?.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.72.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.72.下鞅(上鞅)極限的存在性定理2.704停止定理(一般情形)停止定理(一般情形)現(xiàn)在我們有了足夠的工具將2.2節(jié)中的停止定理從T為有限集的情況推廣到一般情況在推廣過程中，我們將遇到兩個(gè)問題:從有界停時(shí)到無界停時(shí)以及從離散取值停時(shí)到連續(xù)取值停時(shí)。定理2.8I停止定理(一般情形)定理2.8I停止定理(一般情形)定理2.8I停止定理(一般情形)定理2.8Ⅱ停止定理(一般情形)定理2.8Ⅱ停止定理(一般情形)定理2.8Ⅲ05修正定理修正定理在2.4節(jié)