江西省宜春市高三高考模擬數學（文科）試卷（2021-04）

2021年江西省宜春市高三高考數學模擬試卷（文科）（4月份）一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，則A∪B＝（）A．（2，3） B．（﹣1，3） C．（2，+∞） D．（﹣1，+∞）2．已知a+bi（a，b∈R）是的共軛復數，則a+b＝（）A．﹣1 B．﹣ C． D．13．已知a＝3，b＝log32，c＝cos4，則（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．數列﹣1，a，b，c，﹣9成等比數列，則實數b的值為（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．以上都不對5．人口普查是世界各國所廣泛采用的搜集人口資料的一種科學方法，是提供全國基本人口數據的主要來源．根據人口普查的基本情況，可以科學的研究制定社會、經濟、科教等各項發(fā)展政策，是國家科學決策的重要基礎工作，人口普查資料是制定人口政策的依據和前提．截止2020年10月10日，我國共進行了六次人口普查，如圖是這次人口普查的人數和增幅情況，下列說法正確的是（）A．人口數逐次增加，第二次增幅最大 B．第六次普查人數最多，第四次增幅最小 C．第六次普查人數最多，第三次增幅最大 D．人口數逐次增加，從第二次開始增幅減小6．已知向量，的模為1，且|+|＝1，則向量，的夾角為（）A． B． C． D．7．已知直線x+y+1＝0與圓C相切，且直線mx﹣y﹣2m﹣1＝0（m∈R）始終平分圓C的面積，則圓C的方程為（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2 D．（x﹣2）2+（y+1）2＝28．“m＜4”是“函數f（x）＝2x2﹣mx+lnx在（0，+∞）上單調遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．1927年德國漢堡大學的學生考拉茲提出一個猜想：對于任意一個正整數，如果它是奇數，對它乘3加1，如果它是偶數，對它除以2，這樣循環(huán)，最終結果都能得到1．有的數學家認為“該猜想任何程度的解決都是現代數學的一大進步，將開辟全新的領域”，這大概與其蘊含的“奇偶歸一”思想有關．如圖是根據考拉茲猜想設計的一個程序框圖，則輸出i的值為（）A．8 B．7 C．6 D．510．點P是雙曲線右支上的一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，點I是△PF1F2的內切圓圓心，記△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面積分別為S1，S2，S3，若S1﹣S2≤恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．（0，2] B．[2，+∞） C．（1，2] D．11．將函數f（x）＝2（cosx+sinx）?cosx﹣1的圖象向左平移個單位后得到函數g（x）的圖象，且當x∈[]時，關于x的方程g2（x）﹣（a+2）g（x）+2a＝0有三個不等實根，則實數a的取值范圍為（）A．[﹣1，0] B．（﹣，﹣1] C．[﹣1，] D．[﹣，﹣1]12．已知數列{an}滿足a1＝1，an+1﹣an＞，則下列關系一定成立的是（）A．a2021＞ln2022 B．a2021＜ln2021 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知2m＝5n＝10，則＝．14．一只螞蟻在最小邊長大于4，且面積為24的三角形內自由爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的任意一個頂點的距離不超過2的概率為．15．在△ABC中，三邊長為連續(xù)的正整數，且最大角是最小角的2倍，則此三角形的周長為．16．向棱長為2的正方體密閉容器內注入體積為x（0＜x＜8）的水，旋轉容器，若水面恰好經過正方體的某條體對角線，則水面邊界周長的最小值為．三、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答第22，23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知某中學高三文科班學生共有800人參加了數學與地理的水平測試，現學校決定利用隨機數表法從中抽取100人進行成績抽樣統(tǒng)計，先將800人按001，002，003，…，800進行編號．（Ⅰ）如果從第8行第7列的數開始向右讀，請你依次寫出最先檢測的3個人的編號；（下面摘取了第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954（Ⅱ）抽的100人的數學與地理的水平測試成績如下表：人數數學優(yōu)秀良好及格地理優(yōu)秀7205良好9186及格a4b成績分為優(yōu)秀、良好、及格三個等級，橫向、縱向分別表示地理成績與數學成績，例如：表中數學成績?yōu)榱己玫墓灿?0+18+4＝42人，若在該樣本中，數學成績優(yōu)秀率為30%，求a，b的值．（Ⅲ）將a≥10，b≥8的a，b表示成有序數對（a，b），求“在地理成績?yōu)榧案竦膶W生中，數學成績?yōu)閮?yōu)秀的人數比及格的人數少”的數對（a，b）的概率．18．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求b的值；（2）若，求△ABC面積的最大值．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分別為PC，CD的中點，DE＝EC．（1）求證：平面ABE⊥平面BEF；（2）設PA＝a，若三棱錐B﹣PED的體積V＝，求實數a．20．已知橢圓C：?＝1（a＞b＞0），直線l：x﹣4?y+＝0過橢圓的左焦點F，與橢圓C在第一象限交于點M，三角形MFO的面積為?，A、B分別為橢圓的上、下頂點，P、Q是橢圓上的兩個不同的動點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線PA的斜率為kPA，直線QB的斜率為kQB，若2kPA+kQB＝0，問直線PQ是否過定點，若過定點，求出定點；否則說明理由．21．已知函數f（x）＝xeax﹣lnx，其中e是自然對數的底數，a＞0．（1）若曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為2e﹣1，求a的值；（2）對于給定的常數a，若f（x）≥bx+1對x∈（0，+∞）恒成立，求證：b≤a．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修44：坐標系與參數方程]22．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（t為參數）以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，且在兩坐標系下長度單位相同．曲線C2的極坐標方程為2ρcosθ﹣8ρsinθ+5＝0．（1）當k＝1時，C1是什么曲線？（2）當k＝4時，求C1與C2的公共點的直角坐標．[選修45：不等式選講]23．已知函數f（x）＝|x﹣a|+|x+2b|，a，b∈R．（1）若a＝1，b＝﹣1，求不等式f（x）≤5的解集；（2）若ab＞0，且f（x）的最小值為2，求|+|的最小值．參考答案一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，則A∪B＝（）A．（2，3） B．（﹣1，3） C．（2，+∞） D．（﹣1，+∞）解：∵集合A＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．故選：D．2．已知a+bi（a，b∈R）是的共軛復數，則a+b＝（）A．﹣1 B．﹣ C． D．1解：＝＝＝﹣i，∴a+bi＝﹣（﹣i）＝i，∴a＝0，b＝1，∴a+b＝1，故選：D．3．已知a＝3，b＝log32，c＝cos4，則（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a解：∵3＞30＝1，0＝log31＜log32＜log33＝1，，cos4＜0；∴c＜b＜a．故選：C．4．數列﹣1，a，b，c，﹣9成等比數列，則實數b的值為（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．以上都不對解：∵數列﹣1，a，b，c，﹣9成等比數列，∴a1＝﹣1，a5＝﹣9，∴（﹣1）q4＝﹣9，q2＝3，b＝（﹣1）q2＝﹣3．故選：C．5．人口普查是世界各國所廣泛采用的搜集人口資料的一種科學方法，是提供全國基本人口數據的主要來源．根據人口普查的基本情況，可以科學的研究制定社會、經濟、科教等各項發(fā)展政策，是國家科學決策的重要基礎工作，人口普查資料是制定人口政策的依據和前提．截止2020年10月10日，我國共進行了六次人口普查，如圖是這次人口普查的人數和增幅情況，下列說法正確的是（）A．人口數逐次增加，第二次增幅最大 B．第六次普查人數最多，第四次增幅最小 C．第六次普查人數最多，第三次增幅最大 D．人口數逐次增加，從第二次開始增幅減小解：根據柱狀圖：對于A：人口逐次增加，第三次增幅最大，故A錯誤；對于B：第六次人口數最多，第六次增幅最小，故B錯誤；對于C：第六次普查人數最多，第三次增幅最大，故C正確；對于D：人口數逐次增加，從第三次開始增幅減小，故D錯誤．故選：C．6．已知向量，的模為1，且|+|＝1，則向量，的夾角為（）A． B． C． D．解：向量，的模為1，且|+|＝1，可得+＝1，可得cos＝，所以向量，的夾角為：．故選：A．7．已知直線x+y+1＝0與圓C相切，且直線mx﹣y﹣2m﹣1＝0（m∈R）始終平分圓C的面積，則圓C的方程為（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2 D．（x﹣2）2+（y+1）2＝2解：∵直線mx﹣y﹣2m﹣1＝0始終平分圓C的面積，∴直線mx﹣y﹣2m﹣1＝0始終過圓的圓心（2，﹣1），又圓C與直線x+y+1＝0相切，則圓的半徑r＝＝，∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y+1）2＝2．故選：D．8．“m＜4”是“函數f（x）＝2x2﹣mx+lnx在（0，+∞）上單調遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：若f（x）＝2x2﹣mx+lnx在（0，+∞）上單調遞增，則，即，即，因為，當且僅當，即時取等號，故m≤4，因為（4，+∞）?[4，+∞），所以“m＜4”是“函數f（x）＝2x2﹣mx+lnx在（0，+∞）上單調遞增”的充分不必要條件．故選：A．9．1927年德國漢堡大學的學生考拉茲提出一個猜想：對于任意一個正整數，如果它是奇數，對它乘3加1，如果它是偶數，對它除以2，這樣循環(huán)，最終結果都能得到1．有的數學家認為“該猜想任何程度的解決都是現代數學的一大進步，將開辟全新的領域”，這大概與其蘊含的“奇偶歸一”思想有關．如圖是根據考拉茲猜想設計的一個程序框圖，則輸出i的值為（）A．8 B．7 C．6 D．5解：a＝3，a＝1不滿足，a是奇數滿足，a＝10，i＝2，a＝10，a＝1不滿足，a是奇數不滿足，a＝5，i＝3，a＝5，a＝1不滿足，a是奇數滿足，a＝16，i＝4，a＝16，a＝1不滿足，a是奇數不滿足，a＝8，i＝5，a＝8，a＝1不滿足，a是奇數不滿足，a＝4，i＝6，a＝4，a＝1不滿足，a是奇數不滿足，a＝2，i＝7，a＝2，a＝1不滿足，a是奇數不滿足，a＝1，i＝8，a＝1，a＝1滿足，輸出i＝8，故選：A．10．點P是雙曲線右支上的一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，點I是△PF1F2的內切圓圓心，記△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面積分別為S1，S2，S3，若S1﹣S2≤恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．（0，2] B．[2，+∞） C．（1，2] D．解：設△PF1F2的內切圓半徑為r，則，，，所以，所以2a≤c，所以e≥2，故選：B．11．將函數f（x）＝2（cosx+sinx）?cosx﹣1的圖象向左平移個單位后得到函數g（x）的圖象，且當x∈[]時，關于x的方程g2（x）﹣（a+2）g（x）+2a＝0有三個不等實根，則實數a的取值范圍為（）A．[﹣1，0] B．（﹣，﹣1] C．[﹣1，] D．[﹣，﹣1]解：將函數f（x）＝2（cosx+sinx）?cosx﹣1＝2cos2x﹣1+2sinxcosx＝cos2x+sin2x＝sin（2x+）的圖象，向左平移個單位后得到函數g（x）＝sin（2x+），方程g2（x）﹣（a+2）g（x）+2a＝0等價于[g（x）﹣a]?[g（x）﹣2]＝0，故g（x）＝a或g（x）＝2，∵g（x）＝sin（2x+），∴g（x）的最大值是，∴g（x）＝2無解，g（x）＝a有3個不相等的實數根，設t＝2x+，則函數化為y＝sint，t＝2x+∈[，]，函數y＝sint的圖象如圖示：則需滿足直線y＝a和函數y＝sint（t∈[，]）的圖象有3個交點，結合圖象可知a∈（﹣，﹣1]，故選：B．12．已知數列{an}滿足a1＝1，an+1﹣an＞，則下列關系一定成立的是（）A．a2021＞ln2022 B．a2021＜ln2021 C． D．解：∵，∴，，……，，將以上n個式子相加可得，，∵a1＝1，∴，即得，∴，故C，D錯誤．∵，∴a2021＞ln2022+＞ln2022，故B錯誤，A正確．故選：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知2m＝5n＝10，則＝1．解：2m＝5n＝10，可得＝lg2，＝lg5，＝lg2+lg5＝1．故答案為：1．14．一只螞蟻在最小邊長大于4，且面積為24的三角形內自由爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的任意一個頂點的距離不超過2的概率為．解：根據題意，三角形ABC的面積為24，若某時刻該螞蟻距離三角形的任意一個頂點的距離不超過2，則螞蟻在如圖三角形的陰影部分，它的面積為半徑為2的半圓面積S＝×π×22＝2π，所以某時刻該螞蟻距離三角形的任意一個頂點的距離不超過2的概率P＝＝，故答案為：．15．在△ABC中，三邊長為連續(xù)的正整數，且最大角是最小角的2倍，則此三角形的周長為15．解：設三邊分別為x﹣1，x，x+1，最小角α，最大角2α，由正弦定理得＝，因為sinα≠0，所以cosα＝，由余弦定理得cosα＝＝，整理得x2+3x﹣4＝x2﹣2x+1，故x＝5，所以三角形周長為x﹣1+x+x+1＝3x＝15．故答案為：15．16．向棱長為2的正方體密閉容器內注入體積為x（0＜x＜8）的水，旋轉容器，若水面恰好經過正方體的某條體對角線，則水面邊界周長的最小值為．解：如圖所示，當液面過DB1時，截面為四邊形B1NDG，將A1B1C1D1繞C1D1旋轉，此時B1N＝B1′N，則DN+B1N＝DN+B1′N≥，當且僅當D、N、B1′共線時等號成立．故水面邊界周長的最小值為．故答案為：．三、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答第22，23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知某中學高三文科班學生共有800人參加了數學與地理的水平測試，現學校決定利用隨機數表法從中抽取100人進行成績抽樣統(tǒng)計，先將800人按001，002，003，…，800進行編號．（Ⅰ）如果從第8行第7列的數開始向右讀，請你依次寫出最先檢測的3個人的編號；（下面摘取了第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954（Ⅱ）抽的100人的數學與地理的水平測試成績如下表：人數數學優(yōu)秀良好及格地理優(yōu)秀7205良好9186及格a4b成績分為優(yōu)秀、良好、及格三個等級，橫向、縱向分別表示地理成績與數學成績，例如：表中數學成績?yōu)榱己玫墓灿?0+18+4＝42人，若在該樣本中，數學成績優(yōu)秀率為30%，求a，b的值．（Ⅲ）將a≥10，b≥8的a，b表示成有序數對（a，b），求“在地理成績?yōu)榧案竦膶W生中，數學成績?yōu)閮?yōu)秀的人數比及格的人數少”的數對（a，b）的概率．解：（Ⅰ）依題意，最先檢測的3個人的編號依次為785，667，199．（Ⅱ）由，得a＝14，因為7+9+a+20+18+4+5+6+b＝100，所以b＝17．（Ⅲ）由題意，知a+b＝31，且a≥10，b≥8．故滿足條件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8），共14組．…其中數學成績?yōu)閮?yōu)秀的人數比及格的人數少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6組．∴數學成績優(yōu)秀的人數比及格的人數少的概率為：＝．18．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求b的值；（2）若，求△ABC面積的最大值．解：（1）由題意及正、余弦定理得：+＝，整理得＝，所以b＝．（2）由題意得cosB+sinB＝2sin（B+）＝2，所以sin（B+）＝1，因為B∈（0，π），所以B+＝，所以B＝．由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，所以3＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，即ac≤3，當且僅當a＝c＝時等號成立．所以△ABC的面積S△ABC＝acsinB＝ac≤，當且僅當a＝c＝時等號成立．故△ABC面積的最大值為．19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分別為PC，CD的中點，DE＝EC．（1）求證：平面ABE⊥平面BEF；（2）設PA＝a，若三棱錐B﹣PED的體積V＝，求實數a．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB，F分別為CD的中點，∴四邊形ABFD為矩形，∴AB⊥BF，∵DE＝EC，F分別為CD的中點，∴EF⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥EF，又BF∩EF＝F，BF、EF?平面BEF，∴AB⊥平面BEF，∵AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF．（2）解：由（1）知，EF⊥CD，∵E，F分別為PC，CD的中點，∴EF∥PD，∴PD⊥CD，∵CD⊥AD，PD∩AD＝D，PD、AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AB∥CD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，又PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB、AD?平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，∵E為PC的中點，∴點E到平面ABCD的距離為PA＝，∵三棱錐B﹣PED的體積V＝VB﹣CED＝VE﹣BCD＝，∴???2?2＝，∴a＝1．20．已知橢圓C：?＝1（a＞b＞0），直線l：x﹣4?y+＝0過橢圓的左焦點F，與橢圓C在第一象限交于點M，三角形MFO的面積為?，A、B分別為橢圓的上、下頂點，P、Q是橢圓上的兩個不同的動點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線PA的斜率為kPA，直線QB的斜率為kQB，若2kPA+kQB＝0，問直線PQ是否過定點，若過定點，求出定點；否則說明理由．解：（1）∵直線l：x﹣4過左焦點F，F（，0），c＝，又由，得，從而橢圓經過點（），由橢圓定義知2a＝，得a＝2．∴b2＝a2﹣c2＝1．故橢圓的方程為C：；（2）直線PQ過定點（0，3）．理由如下：設直線PA的方程為y＝kx+1，則QB的方程為y＝﹣2kx﹣1，由，得(4k2+1)x2+8kx＝0，從而點P坐標為（，）；由，得(16k2+1)x2+16kx＝0．從而點Q坐標為（，），由條件知k≠0，從而直線PQ的斜率存在，，∴直線PQ的方程為y﹣，即y＝，過定點（0，3）．故直線PQ過定點（0，3）．21．已知函數f（x）＝xeax﹣lnx，其中e是自然對數的底數，a＞0．（1）若曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為2e﹣1，求a的值；（2）對于給定的常數a，若f（x）≥bx+1對x∈（0，+∞）恒成立，求證：b≤a．【解答】（1）解：因為f′（x）＝（ax+1）eax﹣，所以切線斜率為k＝f′（1）＝（a+1）ea﹣1＝2e﹣1，即（a+1）ea﹣2e＝0，構造h（x）＝（x+1）ex﹣2e，x＞0由于h′（x）＝（x+2）ex＞0，所以h（x）在（0，+∞）上單調遞增，又