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文檔簡介
9.3圓的方程INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INET【考試要求INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INET】1.理解確定圓的幾何要素,在平面直角坐標(biāo)系中,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INET【知識(shí)梳理INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INET】1.圓的定義和圓的方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心C(a,b)半徑為r一般x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2)))半徑r=eq\f(1,2)eq\r(D2+E2-4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0,y0)與圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2之間存在著下列關(guān)系:(1)|MC|>r?M在圓外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2?M在圓外;(2)|MC|=r?M在圓上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2?M在圓上;(3)|MC|<r?M在圓內(nèi),即(x0-a)2+(y0-b)2<r2?M在圓內(nèi).INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INET【常用結(jié)論INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INET】1.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.3.圓心在任一弦的垂直平分線上.INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INET】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(√)(2)圓x2+y2=a2的半徑為a.(×)(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.(√)(4)若點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則xeq\o\al(2,0)+yeq\o\al(2,0)+Dx0+Ey0+F>0.(√)INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INET【教材題改編INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INET】1.圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A.(2,3),3 B.(-2,3),eq\r(3)C.(-2,-3),13 D.(2,-3),eq\r(13)答案D解析圓的方程可化為(x-2)2+(y+3)2=13,所以圓心坐標(biāo)是(2,-3),半徑r=eq\r(13).2.圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案D解析因?yàn)閳A心為(1,1)且過原點(diǎn),所以該圓的半徑r=eq\r(12+12)=eq\r(2),則該圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.3.若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(x-m)2+(y+m)2=4的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.答案(-eq\r(2),eq\r(2))解析∵原點(diǎn)(0,0)在圓(x-m)2+(y+m)2=4的內(nèi)部,∴(0-m)2+(0+m)2<4,解得-eq\r(2)<m<eq\r(2).題型一圓的方程例1(1)(2022·深圳模擬)已知圓M與直線3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圓心在直線y=-x-4上,則圓M的方程為()A.(x+3)2+(y-1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1答案C解析到兩直線3x-4y=0,3x-4y+10=0的距離都相等的直線方程為3x-4y+5=0,聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x-4y+5=0,,y=-x-4,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-3,,y=-1.))又兩平行線間的距離為2,所以圓M的半徑為1,從而圓M的方程為(x+3)2+(y+1)2=1.(2)已知圓的圓心在直線x-2y-3=0上,且過點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5),則圓的一般方程為________________.答案x2+y2+2x+4y-5=0解析方法一設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2-a2+-3-b2=r2,,-2-a2+-5-b2=r2,,a-2b-3=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=-1,,b=-2,,r2=10,))故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.方法二線段AB的垂直平分線方程為2x+y+4=0,聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x+y+4=0,,x-2y-3=0,))得交點(diǎn)坐標(biāo)O(-1,-2),又點(diǎn)O到點(diǎn)A的距離d=eq\r(10),所以圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INET】1.已知圓E經(jīng)過三點(diǎn)A(0,1),B(2,0),C(0,-1),則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(3,2)))2+y2=eq\f(25,4)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(3,4)))2+y2=eq\f(25,16)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(3,4)))2+y2=eq\f(25,16)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(3,4)))2+y2=eq\f(25,4)答案C解析方法一(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1+E+F=0,,4+2D+F=0,,1-E+F=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D=-\f(3,2),,E=0,,F=-1.))所以圓E的一般方程為x2+y2-eq\f(3,2)x-1=0,即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(3,4)))2+y2=eq\f(25,16).方法二(幾何法)因?yàn)閳AE經(jīng)過點(diǎn)A(0,1),B(2,0),所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y-eq\f(1,2)=2(x-1)上.由題意知圓E的圓心在x軸上,所以圓E的圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4),0)).則圓E的半徑為|EB|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2-\f(3,4)))2+0-02)=eq\f(5,4),所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(3,4)))2+y2=eq\f(25,16).2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線x-by+2b+1=0相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2+(y-1)2=4 B.x2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8 D.x2+(y-1)2=16答案B解析由直線x-by+2b+1=0可得該直線過定點(diǎn)A(-1,2),設(shè)圓心為B(0,1),由題意可知要使所求圓的半徑最大,則rmax=|AB|=eq\r(-1-02+2-12)=eq\r(2),所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=2.思維升華(1)直接法:直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,寫出方程.(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出a,b,r的值;②選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,進(jìn)而求出D,E,F(xiàn)的值.跟蹤訓(xùn)練1(1)圓心在y軸上,半徑長為1,且過點(diǎn)A(1,2)的圓的方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=4答案A解析根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為x2+(y-b)2=1,因?yàn)閳A過點(diǎn)A(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=2,所以所求圓的方程為x2+(y-2)2=1.(2)(2022·長春模擬)若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.(x-3)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=1答案B解析設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b)(a>0,b>0),由圓與直線4x-3y=0相切,可得圓心到直線的距離d=eq\f(|4a-3b|,5)=r=1,化簡得|4a-3b|=5,①又圓與x軸相切,可得|b|=r=1,解得b=1或b=-1(舍去),把b=1代入①得4a-3=5或4a-3=-5,解得a=2或a=-eq\f(1,2)(舍去),所以圓心坐標(biāo)為(2,1),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=1.題型二與圓有關(guān)的軌跡問題例2已知Rt△ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程;(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.解(1)方法一設(shè)C(x,y),因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC,且BC,AC斜率均存在,所以kAC·kBC=-1,又kAC=eq\f(y,x+1),kBC=eq\f(y,x-3),所以eq\f(y,x+1)·eq\f(y,x-3)=-1,化簡得x2+y2-2x-3=0.因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(y≠0).方法二設(shè)AB的中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|CD|=eq\f(1,2)|AB|=2.由圓的定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0).(2)設(shè)M(x,y),C(x0,y0),因?yàn)锽(3,0),M是線段BC的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=eq\f(x0+3,2),y=eq\f(y0+0,2),所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0),將x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1(y≠0).因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(y≠0).INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INET】已知圓x2+y2=4上一定點(diǎn)A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程;(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.解(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)P坐標(biāo)為(2x-2,2y).因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON(圖略),則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí),根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法:(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)列方程.(4)相關(guān)點(diǎn)代入法:找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.跟蹤訓(xùn)練2(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)時(shí),連接它與定點(diǎn)Q(3,0),則線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是()A.(x+3)2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=1答案C解析設(shè)M(x,y),P(x0,y0),因?yàn)镻Q的中點(diǎn)為M,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(x0+3,2),,y=\f(y0+0,2),))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=2x-3,,y0=2y,))又因?yàn)镻在圓x2+y2=1上,所以(2x-3)2+4y2=1,所以M的軌跡方程即為(2x-3)2+4y2=1.(2)自圓C:(x-3)2+(y+4)2=4外一點(diǎn)P(x,y)引該圓的一條切線,切點(diǎn)為Q,PQ的長度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離,則點(diǎn)P的軌跡方程為()A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0答案D解析由題意得,圓心C的坐標(biāo)為(3,-4),半徑r=2,連接PC,CQ(圖略),因?yàn)閨PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以點(diǎn)P的軌跡方程為6x-8y-21=0.題型三與圓有關(guān)的最值問題命題點(diǎn)1利用幾何性質(zhì)求最值例3已知M(x,y)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)求eq\f(y-3,x+2)的最大值和最小值;(3)求y-x的最大值和最小值.解(1)由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=2eq\r(2).又|QC|=eq\r(2+22+7-32)=4eq\r(2),∴|MQ|max=4eq\r(2)+2eq\r(2)=6eq\r(2),|MQ|min=4eq\r(2)-2eq\r(2)=2eq\r(2).(2)可知eq\f(y-3,x+2)表示直線MQ的斜率k.設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.∵直線MQ與圓C有交點(diǎn),∴eq\f(|2k-7+2k+3|,\r(1+k2))≤2eq\r(2),可得2-eq\r(3)≤k≤2+eq\r(3),∴eq\f(y-3,x+2)的最大值為2+eq\r(3),最小值為2-eq\r(3).(3)設(shè)y-x=b,則x-y+b=0.當(dāng)直線y=x+b與圓C相切時(shí),截距b取到最值,∴eq\f(|2-7+b|,\r(12+-12))=2eq\r(2),∴b=9或b=1.∴y-x的最大值為9,最小值為1.命題點(diǎn)2利用函數(shù)求最值例4(2022·湘潭質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓x2+(y-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(2,0),B(-2,0).則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________.答案12解析由題意,得eq\o(PA,\s\up6(→))=(2-x,-y),eq\o(PB,\s\up6(→))=(-2-x,-y),所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))=x2+y2-4,由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn),故其坐標(biāo)滿足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以當(dāng)y=4時(shí),eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大,最大值為6×4-12=12.延伸探究若將本題改為“設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓(x-3)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(0,2),B(0,-2)”,則|eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值為________.答案10解析由題意,知eq\o(PA,\s\up6(→))=(-x,2-y),eq\o(PB,\s\up6(→))=(-x,-2-y),所以eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))=(-2x,-2y),由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn),故其坐標(biāo)滿足方程(x-3)2+y2=4,故y2=-(x-3)2+4,所以|eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))|=eq\r(4x2+4y2)=2eq\r(6x-5).由圓的方程(x-3)2+y2=4,易知1≤x≤5,所以當(dāng)x=5時(shí),|eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))|的值最大,最大值為2eq\r(6×5-5)=10.INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\張夢夢\\2022\\大一輪\\數(shù)學(xué)\\數(shù)學(xué)人教A版老教材(理)\\右括.TIF"INET】1.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點(diǎn)A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則m的最大值為()A.7B.6C.5D.4答案B解析∵在Rt△APB中,原點(diǎn)O為斜邊中點(diǎn),|AB|=2m(m>0),∴|OC|-r≤m=|OP|≤|OC|+r,又C(3,4),r=1,∴4≤|OP|≤6,即4≤m≤6.2.若點(diǎn)P為圓x2+y2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),A(-1,0),B(1,0)為兩個(gè)定點(diǎn),則|PA|+|PB|的最大值為()A.2B.2eq\r(2)C.4eq\r(2)D.4答案B解析由已知得線段AB為圓的直徑.所以|PA|2+|PB|2=4,由基本不等式得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PA|+|PB|,2)))2≤eq\f(|PA|2+|PB|2,2)=2,所以|PA|+|PB|≤2eq\r(2),當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=eq\r(2)時(shí),等號(hào)成立.思維升華與圓有關(guān)的最值問題的求解方法(1)借助幾何性質(zhì)求最值:形如μ=eq\f(y-b,x-a),t=ax+by,(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題.(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值:列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路:①“動(dòng)化定”,把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離;②“曲化直”,即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和,一般要通過對(duì)稱性解決.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知A(-2,0),B(2,0),點(diǎn)P是圓C:(x-3)2+(y-eq\r(7))2=1上的動(dòng)點(diǎn),則|AP|2+|BP|2的最小值為()A.9B.14C.16D.26答案D解析設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P(x,y),則|AP|2+|BP|2=(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=2(x2+y2)+8=2|PO|2+8.圓C的圓心為C(3,eq\r(7)),半徑為r=1,OC=4,所以|PO|2的最小值為(OC-r)2=(4-1)2=9,所以|AP|2+|BP|2的最小值為26.(2)已知x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則eq\f(2x+3y+3,x+3)的最大值為()A.2B.eq\f(17,4)C.eq\f(29,5)D.eq\f(13\r(13),4)答案B解析由x2+y2-4x-2y-4=0得(x-2)2+(y-1)2=9.eq\f(2x+3y+3,x+3)=2+3×eq\f(y-1,x+3)=2+3kPA,其中A(-3,1)為定點(diǎn),點(diǎn)P(x,y)為圓上一點(diǎn).設(shè)過定點(diǎn)A的直線l:y-1=k(x+3)與圓相切,則eq\f(|5k|,\r(1+k2))=3,解得k=±eq\f(3,4),所以-eq\f(3,4)≤kPA≤eq\f(3,4),所以eq\f(2x+3y+3,x+3)的最大值為2+3×eq\f(3,4)=eq\f(17,4).課時(shí)精練1.圓x2+y2+4x-6y-3=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為()A.(4,-6),16 B.(2,-3),4C.(-2,3),4 D.(2,-3),16答案C解析將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x+2)2+(y-3)2=16,則圓心坐標(biāo)為(-2,3),半徑為4.2.圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓的方程為()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y-2)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-1)2+(y+2)2=1答案A解析已知圓的圓心C(1,2)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)為C′(2,1),所以圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=1.3.已知圓C的半徑為2,圓心在x軸正半軸上,直線3x+4y+4=0與圓C相切,則圓C的方程為()A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2+2x-3=0D.x2+y2-4x=0答案D解析設(shè)圓心為(a,0)(a>0),由題意知圓心到直線3x+4y+4=0的距離d=eq\f(|3a+4|,\r(32+42))=eq\f(3a+4,5)=r=2,解得a=2,所以圓心坐標(biāo)為(2,0),則圓C的方程為(x-2)2+y2=4,化簡得x2+y2-4x=0.4.點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1答案A解析設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0,y0),PQ的中點(diǎn)為M(x,y),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(4+x0,2),,y=\f(-2+y0,2),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=2x-4,,y0=2y+2.))因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2+y2=4上,所以xeq\o\al(2,0)+yeq\o\al(2,0)=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化簡得(x-2)2+(y+1)2=1.5.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,2),B(2,1),C(3,4),則下列關(guān)于△ABC的外接圓圓M的說法不正確的是()A.圓M的圓心坐標(biāo)為(1,3)B.圓M的半徑為eq\r(5)C.圓M關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱D.點(diǎn)(2,3)在圓M內(nèi)答案C解析設(shè)△ABC的外接圓圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1+4-D+2E+F=0,,4+1+2D+E+F=0,,9+16+3D+4E+F=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D=-2,,E=-6,,F=5.))所以△ABC的外接圓圓M的方程為x2+y2-2x-6y+5=0,即(x-1)2+(y-3)2=5.故圓M的圓心坐標(biāo)為(1,3),圓M的半徑為eq\r(5),因?yàn)橹本€x+y=0不經(jīng)過圓M的圓心(1,3),所以圓M不關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱.因?yàn)?2-1)2+(3-3)2=1<5,故點(diǎn)(2,3)在圓M內(nèi).6.已知圓C:x2+y2+bx+ay-3=0(a,b為正實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l:x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上,則eq\f(1,a)+eq\f(3,b)的最小值為()A.1+eq\f(\r(3),2) B.eq\f(3,2)C.2 D.4+2eq\r(3)答案A解析由圓C:x2+y2+bx+ay-3=0可得圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2),-\f(a,2))),由題意可得,直線l經(jīng)過圓的圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2),-\f(a,2))),則-eq\f(b,2)-eq\f(a,2)+2=0,從而a+b=4,所以eq\f(1,a)+eq\f(3,b)=eq\f(1,4)(a+b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(3,b)))=eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4+\f(3a,b)+\f(b,a)))≥eq\f(1,4)×(4+2eq\r(3))=1+eq\f(\r(3),2),當(dāng)且僅當(dāng)a=2(eq\r(3)-1),b=2(3-eq\r(3))時(shí)等號(hào)成立.所以eq\f(1,a)+eq\f(3,b)的最小值為1+eq\f(\r(3),2).7.已知圓C的圓心在x軸上,并且經(jīng)過點(diǎn)A(-1,1),B(1,3),若M(m,eq\r(6))在圓C內(nèi),則m的取值范圍為________.答案(0,4)解析設(shè)圓心為C(a,0),由|CA|=|CB|,得(a+1)2+12=(a-1)2+32,解得a=2.半徑r=|CA|=eq\r(2+12+12)=eq\r(10).故圓C的方程為(x-2)2+y2=10.由題意知(m-2)2+(eq\r(6))2<10,解得0<m<4.8.已知A(0,2),點(diǎn)P在直線x+y+2=0上,點(diǎn)Q在圓C:x2+y2-4x-2y=0上,則|PA|+|PQ|的最小值是________.答案2eq\r(5)解析因?yàn)閳AC:x2+y2-4x-2y=0,故圓C是以C(2,1)為圓心,半徑r=eq\r(5)的圓.設(shè)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為A′(m,n),故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m+0,2)+\f(n+2,2)+2=0,,\f(n-2,m-0)=1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=-4,,n=-2,))故A′(-4,-2).連接A′C交圓C于Q(圖略),由對(duì)稱性可知|PA|+|PQ|=|A′P|+|PQ|≥|A′Q|=|A′C|-r=2eq\r(5).9.已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,1))和Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,-2)),且圓心在直線l:x+y-1=0上.(1)求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在圓C上,點(diǎn)Q在直線x-y+5=0上,求|PQ|的最小值.解(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),∵圓經(jīng)過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,1))和Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,-2)),且圓心在直線l:x+y-1=0上,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-1-a2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-b))2=r2,,-2-a2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2-b))2=r2,,a+b-1=0,))解得a=3,b=-2,r=5,∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y+2)2=25.(2)∵圓心C到直線x-y+5=0的距離為d=eq\f(|3+2+5|,\r(2))=5eq\r(2)>5,∴直線與圓C相離,∴|PQ|的最小值為d-r=5eq\r(2)-5.10.已知點(diǎn)A(-3,0),B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|.(1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線C,求此曲線的方程;(2)若點(diǎn)Q在直線l1:x+y+3=0上,直線l2經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M,求|QM|的最小值.解(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則eq\r(x+32+y2)=2eq\r(x-32+y2),化簡可得(x-5)2+y2=16,此方程即為所求.(2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心,4為半徑的圓,如圖所示.由題意知直線l2是此圓的切線,連接CQ,則|QM|=eq\r(|CQ|2-|CM|2)=eq\r(|CQ|2-16),當(dāng)|QM|最小時(shí),|CQ|最小,此時(shí)CQ⊥l1,|CQ|=eq\f(|5+3|,\r(2))=4eq\r(2),則|QM|的最小值為eq\r(32-16)=4.11.點(diǎn)A為圓(x-1)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓的切線,|PA|=1,則點(diǎn)P的軌跡方程是()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.y2=2xD.y2=-2x答案B解析∵|PA|=1,∴點(diǎn)P和圓心的距離恒為eq\r(2),又圓心坐標(biāo)為(1,0),設(shè)P(x,y),∴由兩點(diǎn)間的距離公式,得(x-1)2+y2=2.12.等邊△ABC的面積為9eq\r(3),且△ABC的內(nèi)心為M,若平面內(nèi)的點(diǎn)N滿足|MN|=1,則eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值為()A.-5-2eq\r(3) B.-5-4eq\r(3)C.-6-2eq\r(3) D.-6-4eq\r(3)答案A解析設(shè)等邊△ABC的邊長為a,則面積S=eq\f(\r(3),4)a2=9eq\r(3),解得a=6.以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.由M為△ABC的內(nèi)心,則M在OC上,且OM=eq\f(1,3)OC,則A(-3,0),B(3,0),C(0,3eq\r(3)),M(0,eq\r(3)),由|MN|=1,則點(diǎn)N在以M為圓心,1為半徑的圓上.設(shè)N(x,y),則x2+(y-eq\r(3))2=1,即x2+y2-2eq\r(3)y+2=0,且eq\r(3)-1≤y≤1+eq\r(3),又eq\o(NA,\s\up6(→))=(-3-x,-y),eq\o(NB,\s\up6(→))=(3-x,-y),所以eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))=(x+3)(x-3)+y2=x2+y2-9=2eq\r(3)y-11≥2eq\r(3)×(eq\r(3)-1)-11=-5-2eq\r(3).13.已知圓C過點(diǎn)M(1,-2)且與兩坐標(biāo)軸均相切,則下列敘述不正確的是()A.滿足條件的圓C的圓心在一條直線上B.滿足條件的圓C有且只有一個(gè)C.點(diǎn)(2,-1)在滿足條件的圓C上D.滿足條件的圓C有且只有兩個(gè),它們的圓心距為4eq\r(2)答案B解析因?yàn)閳AC和兩個(gè)坐標(biāo)軸都
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