電工基礎(chǔ)（第五版） 課件 第8、9章 線性電路的過渡過程、磁路與鐵芯線圈+附錄 常用電工儀表簡介

第8章線性電路的過渡過程8.1換路定律與初始條件8.2一階電路的零輸入響應(yīng)8.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)8.4一階電路的全響應(yīng)8.5一階電路的三要素法*8.6RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)本章小結(jié)習(xí)題 8.1換路定律與初始條件

8.1.1過渡過程的概念

前面各章介紹的是電路的穩(wěn)定狀態(tài),有關(guān)電路的分析叫穩(wěn)態(tài)分析。本章介紹電路的過渡過程及分析。

為了了解電路產(chǎn)生過渡過程的內(nèi)因和外因,我們觀察一個(gè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。圖8.1所示的電路中,三個(gè)并聯(lián)支路分別為電阻、電感、電容與燈泡串聯(lián),S為電源開關(guān)。當(dāng)閉合開關(guān)S時(shí)我們發(fā)現(xiàn)電阻支路的燈泡L1立即發(fā)光,且亮度不再變化,說明這一支路沒有經(jīng)歷過渡過程,立即進(jìn)入了新的穩(wěn)態(tài);電感支路的燈泡L2由暗漸漸變亮,最后達(dá)到穩(wěn)定,說明電感支路經(jīng)歷了過渡過程;電容支路的燈泡L3由亮變暗直到熄滅,說明電容支路也經(jīng)歷了過渡過程。

當(dāng)然,若開關(guān)S狀態(tài)保持不變(斷開或閉合),我們就觀察不到這些現(xiàn)象。由此可知,產(chǎn)生過渡過程的外因是接通了開關(guān),但接通開關(guān)并非都會(huì)引起過渡過程,如電阻支路。產(chǎn)生過

渡過程的兩條支路都存在有儲(chǔ)能元件(電感或電容),這是產(chǎn)生過渡過程的內(nèi)因。在電路理論中,通常把電路狀態(tài)的改變(如通電、斷電、短路、電信號(hào)突變、電路參數(shù)的變化等)統(tǒng)稱

為換路,并認(rèn)為換路是立即完成的。綜上所述,產(chǎn)生過渡過程的原因有兩個(gè)方面,即外因和內(nèi)因。換路是外因,電路中有儲(chǔ)能元件(也叫動(dòng)態(tài)元件)是內(nèi)因。

研究電路中的過渡過程是有實(shí)際意義的。例如,電子電路中常利用電容器的充放電過程來完成積分、微分、多諧振蕩等,以產(chǎn)生或變換電信號(hào)。而在電力系統(tǒng)中,由于過渡過程

的出現(xiàn)將會(huì)引起過電壓或過電流,若不采取一定的保護(hù)措施,就可能損壞電氣設(shè)備,因此,我們需要認(rèn)識(shí)過渡過程的規(guī)律,從而利用它的特點(diǎn),防止它的危害。

8.1.2換路定律

1.具有電感的電路

在電阻R和電感L相串聯(lián)的電路與直流電源Us接通之前,電路中的電流i=0。當(dāng)閉合開關(guān)后,若Us為有限值,則電感中電流不能躍變,必定從0逐漸增加到Us/R。其原因

是:若電流可以躍變,即dt=0,則電感上的電壓,這顯然與電源電壓為有限值是矛盾的。若從能量的觀點(diǎn)考慮,電感的電流突變,意味著磁場能量突變,則

電路的瞬時(shí)功率p=dw/dt→∞,說明電路接通電源瞬間需要電源供給無限大的功率,這對(duì)任一實(shí)際電源來說都是不可能的。所以RL串聯(lián)電路接通電源瞬間,電流不能躍變。為分析方便,我們約定換路時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn),即t=0,并把換路前的最后時(shí)刻計(jì)為t=0-,換路后的初始時(shí)刻計(jì)為t=0+,則在換路瞬間將有如下結(jié)論:在換路后的一瞬間,電感中的電流應(yīng)保持換路前一瞬間的原有值而不能躍變,即

（8.1）

這一規(guī)律稱為電感電路的換路定律。

推理:對(duì)于一個(gè)原來沒有電流流過的電感,在換路的一瞬間,i

L(0+)=iL(0-)=0,電感相當(dāng)于開路。2.具有電容的電路

在電阻R和電容C相串聯(lián)的電路與直流電源Us接通前,電容上的電壓uC=0。當(dāng)閉合開關(guān)后,若電源輸出電流為有限值,電容兩端電壓不能躍變,必定從0逐漸增加到Us。

其原因是:若電容兩端電壓可以躍變,即dt=0,則電路中的電流這與電源的電流為有限值是矛盾的。若從能量的角度考慮,電容上電壓突變意味著電場能量突變,則電路的瞬時(shí)功率p=dw/dt→∞,說明電路接通瞬間需要電源提供無窮大的功率,這同樣是不可能的。

所以RC串聯(lián)電路接通電源瞬間,電容上電壓不能躍變。因此,在換路后的一瞬間,電容上的電壓應(yīng)保持換路前一瞬間的原有值而不能躍變,即

uC(0+)=uC(0-)(8.2)

這一規(guī)律稱為電容電路的換路定律。

推理:對(duì)于一個(gè)原來未充電的電容,在換路的一瞬間uC(0+)=uC(0-)=0,電容相當(dāng)于短路。8.1.3初始值的計(jì)算

換路后的最初一瞬間(即t=0+時(shí)刻)的電流、電壓值統(tǒng)稱為初始值。研究線性電路的過渡過程時(shí),電容電壓的初始值uC(0+)及電感電流的初始值iL(0+)可按換路定律來確定。其它可以躍變的量的初始值要根據(jù)uC(0+)、iL(0+)和應(yīng)用KVL、KCL及歐姆定律來確定。

對(duì)于較復(fù)雜的電路,為了便于求得初始條件,在求得uC(

0+)和iL(0+)后,可將電容元件代之以電壓為uC(0+)的電壓源,將電感元件代之以電流為iL(0+)的電流源。經(jīng)這樣替換過的電路叫做原電路在t=0+時(shí)的等效電路,它為一個(gè)電阻性電路,可按電阻性電路進(jìn)行計(jì)算。例8.1圖8.2(a)所示電路中,已知Us=12V,R1=4kΩ,R2=8kΩ,C=1μF,開關(guān)S原來處于斷開狀態(tài),電容上電壓uC(0-)=0。求開關(guān)S閉合后t=0+時(shí)各電流及電容電壓的數(shù)值。解選定有關(guān)參考方向如圖8.2所示。

(1)由已知條件可知:uC(0-)=0。

(2)由換路定律可知:uC(0+)=uC(0-)=0。

(3)求其它各電流、電壓的初始值。

畫出t=0+時(shí)刻的等效電路,如圖8.2(b)所示。由于uC(0+)=0,因此在等效電路中電容相當(dāng)于短路。故有

由KCL有例8.2圖8.3(a)所示電路中,已知Us=10V,R1=6Ω,R2=4Ω,L=2mH,開關(guān)S原處于斷開狀態(tài)。求開關(guān)S閉合后t=0+時(shí)各電流及電感電壓uL的數(shù)值。

解選定有關(guān)參考方向如圖8.3所示。

(1)求t=0-時(shí)的電感電流iL(0-)。

由原電路已知條件得

(2)求t=0+時(shí)iL(0+)的值。

由換路定律知

iL(0+)=iL(0-)=1A

(3)求其它各電壓、電流的初始值。

畫出t=0+時(shí)的等效電路,如圖8.3(b)所示。由于S閉合,R2被短路,則R2兩端電壓為零,故

i2(0+)=0。

由KCL有

i3(0+)=i1(0+)-i2(0+)=i1(0+)=1A

由KVL有

Us=i1(0+)R1+uL(0+)故

例8.3圖8.4(a)所示電路中,已知Us=12V,R1=4Ω,R2=8Ω,R3=4Ω,uC(0-)=0,iL(0-)=0,當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)S閉合。求開關(guān)S閉合后各支路電流的初始值和電感上電壓的初始值。解(1)由已知條件可得

uC(0-)=0,iL(0-)=0

(2)求t=0+時(shí),uC(0+)和iL(0+)的值。

由換路定律知

uC(0+)=uC(0-)=0,iL(0+)=iL(0-)=0

(3)求其它各電壓、電流的初始值。

先畫出t=0+時(shí)的等效電路圖,如圖8.4(b)所示。此時(shí),因?yàn)閡C(0+)=0,iL(0+)=0,所以在等效電路中電容相當(dāng)于短路,而電感相當(dāng)于開路。故有思考題

1.由換路定律知,在換路瞬間電感上的電流、電容上的電壓不能躍變,那么對(duì)其余各物理量,如電容上的電流,電感上的電壓及電阻上的電壓、電流是否也遵循換路定律?

2.圖8.5所示電路中,已知R1=6Ω,R2=4Ω。開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài),求換路后瞬間各支路電流。

3.圖8.6所示電路中,開關(guān)閉合前已達(dá)穩(wěn)態(tài),已知R1=4Ω,R2=6Ω,求換路后瞬間各元件上的電壓和通過的電流。8.2一階電路的零輸入響應(yīng)

只含有一個(gè)儲(chǔ)能元件的電路稱為一階動(dòng)態(tài)電路。動(dòng)態(tài)電路與電阻性電路不同的是:電阻性電路中如果沒有獨(dú)立源就沒有響應(yīng);而動(dòng)態(tài)電路,即使沒有獨(dú)立源,只要電容元件的電壓

uC(0+)或電感元件的電流iL(0+)不為零,就會(huì)由它們的初始儲(chǔ)能引起響應(yīng)。我們把動(dòng)態(tài)電路在沒有獨(dú)立源作用的情況下,由初始儲(chǔ)能激勵(lì)而產(chǎn)生的響應(yīng)叫做

零輸入響應(yīng)。

在過渡過程中,電路中各元件的電壓、電流是隨時(shí)間變化而變化的,它們的變化規(guī)律常用求解電路微分方程的方法來求解,這種方法叫“經(jīng)典法”。8.2.1RC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

圖8.7(a)是電阻與電容串聯(lián)的電路,當(dāng)開關(guān)S接于“1”位置時(shí)電容器充電,電壓表的讀數(shù)為U0。下面我們討論當(dāng)S由“1”撥到“2”時(shí)電路中的響應(yīng)。

當(dāng)t=0+時(shí),由于電容上電壓不能突變,仍為U0,也就是R兩端加有電壓U0,因此換路瞬間電路中電流為U0/R,此后隨著電容放電,電容電壓逐漸下降,電容所儲(chǔ)存的電場能量經(jīng)電阻R轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮堋：雎噪妷罕韮?nèi)阻,根據(jù)KVL,

dt(式中負(fù)號(hào)表明iC與uC的參考方向相反)。將

式(8.3)是一個(gè)線性常系數(shù)一階齊次微分方程。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知,此方程的通解為

(8.4)

為了求出p的值,將式(8.4)代入式(8.3)得

或

即

（8.5）稱式(8.5)為式(8.3)的特征方程。其特征根為

于是有

（8.6）

下面利用初始條件求解A的值。由換路定律知: 代入式(8.6),得（8.7）

uC隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖8.8(a)所示,這是一條按指數(shù)規(guī)律變化的曲線。又由于其曲線如圖8.8(b)所示。從圖8.8可見,電容上電壓uC(t)、電路中電流i(t)都是按同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的。理論上要t=∞才停止。若在式(8.7)中,令τ=RC,當(dāng)R的單位為Ω,C的單位為F時(shí),則τ的單位是s。τ的數(shù)值大小反映了電路過渡過程的快慢,故把τ叫做RC電路的時(shí)間常數(shù)。t=0-時(shí),uC=U0,i≤0;t=0+時(shí),uC=U0,i=U0/R。換路時(shí),uC沒有躍變,i發(fā)生了躍變。

為了研究過渡過程與時(shí)間常數(shù)τ之間的關(guān)系,將不同時(shí)刻電容電壓uC和電流i的數(shù)值列表,如表8.1所示。由表8.1可知,時(shí)間常數(shù)τ是電容器上的電壓(或電感中的電流)衰減到原來值的36.8%所需的時(shí)間。當(dāng)t=3τ時(shí),電壓(或電流)只有原來值的5%。一般當(dāng)t=(3~5)τ時(shí),就可以認(rèn)為過渡過程基本結(jié)束了。

時(shí)間常數(shù)τ=RC僅由電路的參數(shù)決定。在一定的U0下,當(dāng)R越大時(shí),電路放電電流就越小,放電時(shí)間就越長;當(dāng)C越大時(shí),儲(chǔ)存的電荷就越多,放電時(shí)間就越長。實(shí)際中常合理選擇RC的值來控制放電時(shí)間的長短。例8.4供電局向某一企業(yè)供電電壓為10kV,在切斷電源瞬間,電網(wǎng)上遺留有102kV的電壓。已知送電線路長L=30km,電網(wǎng)對(duì)地絕緣電阻為500MΩ,電網(wǎng)的分布每千米電容為C0=0.008μF/km,問:

(1)拉閘后1分鐘,電網(wǎng)對(duì)地的殘余電壓為多少?

(2)拉閘后10分鐘,電網(wǎng)對(duì)地的殘余電壓為多少?

解電網(wǎng)拉閘后,儲(chǔ)存在電網(wǎng)電容上的電能逐漸通過對(duì)地絕緣電阻放電,這是一個(gè)RC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)問題。

由題意知,長30km的電網(wǎng)總電容量為放電電阻為R=500MΩ=5×108Ω

時(shí)間常數(shù)為τ=RC=5×108×2.4×10-7=120s

電容上初始電壓為

在電容放電過程中,電容電壓(即電網(wǎng)電壓)的變化規(guī)律

為

故

由此可見,電網(wǎng)斷電,電壓并不是立即消失,此電網(wǎng)斷電經(jīng)歷1分鐘,仍有8.6kV的高壓,當(dāng)t=5τ=5×120=600s時(shí),即在斷電10分鐘時(shí)電網(wǎng)上仍有95.3V的電壓。

8.2.2RL串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

電路如圖8.9所示,當(dāng)開關(guān)S閉合前,由電流表觀察到,電感電路中電流為穩(wěn)定值I0,電感中存儲(chǔ)有一定的磁場能。在t=0時(shí)將開關(guān)S閉合,由電流表觀察到:電感電路中電流沒有立即消失,而是經(jīng)歷一定的時(shí)間后逐漸變?yōu)榱恪Ｓ捎赟閉合后,電感電路沒有外電源作用,因此此時(shí)的電路電流屬零輸入響應(yīng)。

換路后列L所在網(wǎng)孔的方程,在所選各量參考方向下,忽略電流表內(nèi)阻,由KVL得

uR+uL=0

而

這也是一個(gè)線性常系數(shù)一階齊次微分方程,與RC電路的零輸入響應(yīng)微分方程相類似,其解為

(8.9)

電感上的電壓為

（8.10）

式(8.10)中負(fù)號(hào)表示電感實(shí)際電壓方向與圖中參考方向相反。畫出式(8.8)、式(8.9)、式(8.10)對(duì)應(yīng)的曲線,分別如圖8.10(a)、(b)、(c)所示。

圖8.10中的電壓、電流變化規(guī)律與圖8.8所示的RC電路一樣,也是按指數(shù)規(guī)律變化的。同樣,τ=L/R反映了過渡過程進(jìn)行的快慢。τ越大,電感電流變化越慢,反之越快。

即換路時(shí),iL、uR沒有發(fā)生躍變,uL發(fā)生了躍變。由以上分析可知:

(1)一階電路的零輸入響應(yīng)都是按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化而衰減到零的,這反映了在沒有電源作用的情況下,動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能逐漸被電阻值耗掉的物理過程。電容電壓或電

感電流從一定值減小到零的全過程就是電路的過渡過程。

(2)零輸入響應(yīng)取決于電路的初始狀態(tài)和電路的時(shí)間常數(shù)。思考題

1.有一40μF的高壓電容器從電路中斷開,斷開時(shí)電容器的電壓為3.5kV,斷開后電容器經(jīng)本身的漏電阻放電。如漏電阻R=100MΩ,經(jīng)過30分鐘后,電容上的電壓為多少?若從高壓電路上斷開后,馬上要接觸它,應(yīng)如何處理?

2.圖8.11所示電路中,已知R1=10Ω,則電路中開關(guān)S打開瞬間電壓表(設(shè)電壓表內(nèi)阻為1MΩ)所承受的電壓為多少?斷開開關(guān)后,若在電壓表兩端并聯(lián)1Ω的電阻,此時(shí)電壓表所承受的電壓又是多少?8.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

若在一階電路中,換路前儲(chǔ)能元件沒有儲(chǔ)能,即uC(0-),iL(0-)都為零,則此情況下由外加激勵(lì)而引起的響應(yīng)叫做零狀態(tài)響應(yīng)。

8.3.1RC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)

圖8.12所示的電路中,開關(guān)閉合前,電容C上沒有充電。t=0時(shí)刻開關(guān)S閉合。在圖示參考方向下,由KVL有

uR+uC=Us(8.11)

將各元件的伏安關(guān)系uR=iR和i=CduCdt代入式(8.11）得式(8.12)是一個(gè)線性常系數(shù)一階非齊次微分方程,由數(shù)學(xué)知識(shí)可知,該微分方程的解由兩部分組成,即

uC=u‘C+u″C(8.13)

式中,u’C為方程式的特解,電路動(dòng)態(tài)過程結(jié)束時(shí),uC=Us是它的穩(wěn)態(tài)解,即

u‘C=Us(8.14)

u″C是方程當(dāng)Us=0時(shí)的解,即齊次方程的通解,也叫暫態(tài)解,其形式與式(8.6)相同,即（8.15）

上式中τ=RC。將式(8.14)、式(8.15)代入式(8.13),得

式中,常數(shù)A可利用換路定律求得,即

于是

(8.17)

式中,Us為電容充電電壓的最大值,稱為穩(wěn)態(tài)分量或強(qiáng)迫分量。Use-tτ是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的分量,稱為暫態(tài)分量或自由分量。將式(8.17)改寫為

式(8.18)為RC串聯(lián)電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)方程式。利用電容元件的伏安關(guān)系,可求得RC串聯(lián)電路的狀態(tài)電流的響應(yīng)表達(dá)式為

式中,I0=Us/R為充電電流的初始值i(0+)。容易理解,換路瞬間由于uC=0,電源電壓Us全部加在電阻R上,則i(0+)=Us/R。

利用歐姆定律可以求得電阻上電壓的響應(yīng)為畫出式(8.18)、式(8.19)、式(8.20)對(duì)應(yīng)的曲線,如圖8.13所示。8.3.2RL串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)

圖8.15所示電路中,開關(guān)S未接通時(shí)電流表讀數(shù)為0,即iL(0-)=0。當(dāng)t=0時(shí),S接通,電流表讀數(shù)由零增加到一穩(wěn)定值。這是電感線圈儲(chǔ)存磁場能量的物理過程。S閉合后,在電路給定的參考方向下,不計(jì)電流表內(nèi)阻,由KVL有

uR+uL=Us

根據(jù)元件的伏安關(guān)系得

iLR+LdiLdt=Us

即這也是一個(gè)線性常系數(shù)一階齊次微分方程,仿照式(8.12)求解得

式中,τ=L/R為電路的時(shí)間常數(shù);A可由換路定律來求解,將iL(0+)=iL(0-)=0代入式(8.22),得

即

將A=-Us/R代入式(8.22),得式中,I=Us/R。

根據(jù)電感元件上的伏安特性,求得電感上的電壓為

電阻上的電壓為

畫出iC、uL、uR的曲線,如圖8.16所示。思考題

1.在實(shí)驗(yàn)測試中,常用萬用表的R×1kΩ擋來檢查電容量較大的電容器質(zhì)量。測量前,先將被測電容器短路放電測量時(shí),如果:①指針擺動(dòng)后,再返回到無窮大(∞)刻度處,說明電容器是好的;②指針擺動(dòng)后,返回速度較慢,則說明被測電容器的電容量較大。試根據(jù)RC電路的充放電過程解釋上述現(xiàn)象。

2.RC串聯(lián)電路中,已知R=100Ω,C=10μF,接到電壓為100V的直流電源上,接通前電容上電壓為零。求接通電源后1.5ms時(shí)電容上的電壓和電流。

3.RL串聯(lián)電路中,已知R=10Ω,L=0.5mH時(shí),接到電壓為100V的直流電源上,接通前電感中電流為零。求接通電源后電流達(dá)到9A所經(jīng)歷的時(shí)間。8.4一階電路的全響應(yīng)

當(dāng)一個(gè)非零初始狀態(tài)的一階電路受到激勵(lì)時(shí),電路中所產(chǎn)生的響應(yīng)叫做一階電路的全響應(yīng)。圖8.19所示電路中,如果開關(guān)S閉合前,電容器上已充有U0的電壓,即電容處于非零初始狀態(tài),t=0時(shí)開關(guān)S閉合(有關(guān)電壓和電流的參考方向如圖所示)。由KVL有

uR+uC=Us

或

RCduCdt+uC=UsuC的穩(wěn)態(tài)值Us可看做uC的特解,即u‘C=Us;uC

的暫態(tài)分量即對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解為u″

C=Ae-tRC。于是有uC=u’C+u″C=Us+Ae-tRC將初始條件uC(0+)=uC(0-)=U0代入上式有U0=Us+A,即A=U0-Us。所以,電容上電壓的表達(dá)式為

uC=Us+(U0-Us)e-tτ

(8.26)

由式(8.26)可見,Us為電路的穩(wěn)態(tài)分量,(U0-Us)e-tτ為電路的暫態(tài)分量,即全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量波形如圖8.20所示,有三種情況:(a)U0<Us;(b)U0=Us;(c)U0>Us。

電路中的電流為可見,電路中電流i只有暫態(tài)分量,而穩(wěn)態(tài)分量為零。

我們也可以將式(8.26)改寫為

式中,Us(1-e-tτ)是電容初始值電壓為零時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng),

U0e-tτ是電容初始值電壓為U0時(shí)的零輸入響應(yīng)。故又有

全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)思考題

1.如圖8.24所示電路,已知R1=10Ω,R2=20Ω,R3=10Ω,L=0.5H,t=0時(shí)開關(guān)S閉合,開關(guān)閉合前電路處于穩(wěn)態(tài),試求電感上電流和電壓的變化規(guī)律。

2.如圖8.25所示電路,已知R1=10Ω,R2=40Ω,R3=10Ω,C=0.2F,換路前電路處于穩(wěn)態(tài),求換路后的iC和uC。 8.5一階電路的三要素法

三要素,由三要素可以直接寫出一階電路過渡過程的解。此方法叫三要素法。設(shè)f(0+)表示電壓或電流的初始值,f(∞)表示電壓或電流的新穩(wěn)態(tài)值,τ表示電路的時(shí)間常數(shù),f(

t)表示要求解的電壓或電流。這樣,電路的全響應(yīng)表達(dá)式為

將前面學(xué)習(xí)的RC、RL電路各類響應(yīng)用式(8.30)驗(yàn)證,如表8.2所示。三要素法簡單易算,特別是求解復(fù)雜的一階電路尤為方便。下面歸納出用三要素法解題的一般步驟:

(1)畫出換路前(t=0-)的等效電路,求出電容電壓uC(0-)或電感電流iL(0-)。

(2)根據(jù)換路定律uC(0+)=uC(0-),iL(0+)=iL(0-),畫出換路瞬間(t=0+)的等效電路,求出響應(yīng)電流或電壓的初始值i(0+)或u(0+),即f(0+)。

(3)畫出t=∞時(shí)的穩(wěn)態(tài)等效電路(穩(wěn)態(tài)時(shí)電容相當(dāng)于開路,電感相當(dāng)于短路),求出穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)電流或電壓的穩(wěn)態(tài)值i(∞)或u(∞),即f(∞)。(4)求出電路的時(shí)間常數(shù)τ。τ=RC或L/R,其中R值是換路后斷開儲(chǔ)能元件C或L,由儲(chǔ)能元件兩端看進(jìn)去,用戴維南或諾頓等效電路求得的等效內(nèi)阻。

(5)根據(jù)所求得的三要素,代入式(8.30)即可得響應(yīng)電流或電壓的動(dòng)態(tài)過程表達(dá)式。

例8.10電路如圖8.28所示,已知R1=1Ω,R2=1Ω,R3=2Ω,L=3H,t=0時(shí)開關(guān)由a撥向b,試求iL和i的表達(dá)式,并繪出波形圖。(假定換路前電路已處于穩(wěn)態(tài))

解(1)畫出t=0-時(shí)的等效電路,如圖8.28(b)所示。因換路前電路已處于穩(wěn)態(tài),故電感L相當(dāng)于短路,于是iL(0-)=UAB/R2。

(2)由換路定律iL(0+)=i(0-)得iL(0+)=-65A。

(3)畫出t=0+時(shí)的等效電路,如圖8.28(c)所示,求i(0+)。對(duì)3V電源,R1、R3回路有3=i(0+)R1+i2(0+)R3對(duì)節(jié)點(diǎn)A有i(0+)=i2(0+)+iL(0+)將上式代入回路方程,得

3=i(0+)R1+[i(0+)-iL(0+)]R3

即

解得

(4)畫出t=∞時(shí)的等效電路,如圖8.28(d)所示,求i(∞)和iL(∞)。(5)畫出電感開路時(shí)求等效內(nèi)阻的電路,如圖8.28(e)所示。

于是有

(6)代入三要素法表達(dá)式,得

畫出i(t)和iL(t)的波形,如圖8.28(f)所示。*8.6RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

前面我們研究的電路都是一階的,即只含有一個(gè)儲(chǔ)能元件。含有兩個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的電路叫二階電路。本書只討論二階電路中RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)。圖8.32所示的電路,開關(guān)起始位置在a點(diǎn),且電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài),當(dāng)t=0時(shí)將開關(guān)S撥到b,此時(shí)電容C會(huì)經(jīng)過電感L和電阻R放電。應(yīng)用KVL得

上式對(duì)t求導(dǎo),得

式(8.32)為一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程。求解此方程,可先設(shè)i=Aept,然后再確定p、A。若i=Aept,則將上述關(guān)系代入式(8.32)得到特征方程為

p2+2δp+ω20=0

解出特征根

式(8.32)的解為

i=Aep1t+ep2t(8.33)

p1、p2僅與電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)有關(guān),常數(shù)A、B取決于i的初始條件。當(dāng)t=0時(shí),回路電流i(0-)=0,于是i(0+)=0,電容上初始電壓為Us,與電感上電壓相等,即

將初始條件代入式(8.33),得

解得

再將A、B代入式(8.33)得

或（8.34）

其中

在式(8.34)中e-δt是指數(shù)衰減的,由于α的取值不同,則會(huì)有三種情況:

δ>ω0,δ=ω0,δ<ω0

或下面分三種情況進(jìn)行討論。

1)R>2L/C(或δ>ω0)非振蕩放電過程此時(shí)特征根p1和p2是兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù),即p1,2=-δ±α,將p1、p2代入式(8.34),得

由于

故（8.35）

由于Us/αL已給定,因此電流隨時(shí)間變化的規(guī)律取決于兩個(gè)因子:e-δt和shαt。放電情況的曲線如圖8.33所示。由圖可見,回路中電流由零增加到某一最大值后,開始下降,最終又趨于零,并沒有改變方向,所以稱為非振蕩放電情況。由于電路中電阻較大,因此又叫過阻尼情況。

2)R<2L/C(或δ<ω0)振蕩放電過程這種情況下,特征根p1和p2是一對(duì)共軛復(fù)根:p1,2=-δ±j

（8.36）

（8.37）作出式(8.37)的曲線,如圖8.34所示。電路中電流按指數(shù)規(guī)律衰減振蕩,ω為振蕩角頻率,δ為衰減系數(shù)。電容的這種放電稱為阻尼振蕩放電,因R較小,故又叫欠阻尼情況。電路中電容和電感相互交換能量,f反映了每秒鐘交換能量的次數(shù)。由于電路中有電阻的存在,這種交換最終要因電阻消耗能量而停止。當(dāng)R=0時(shí),電路將一直振蕩下去,此

情況稱為無阻尼情況。電路振蕩頻率為ω0,稱為固有振蕩頻率。即

所以回路方程為

（8.38）

圖8.35畫出了式(8.38)對(duì)應(yīng)的波形。電流有一個(gè)最大值,但方向不變。這種情況是介于非振蕩放電和振蕩放電之間的狀態(tài),所以又叫臨界放電或臨界阻尼情況。臨界阻尼放電時(shí),電流的最大值發(fā)生在di/dt=0處,于是有

本章小結(jié)

由于電路中存在有儲(chǔ)能元件,當(dāng)電路發(fā)生換路時(shí)會(huì)出現(xiàn)過渡過程。

1.換路定律

電路換路時(shí),各儲(chǔ)能元件的能量不能躍變。具體表現(xiàn)在電容元件的電壓不能躍變,電感元件的電流不能躍變。換路定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

uC(0+)=uC(0-)

iL(0+)=iL(0-)

應(yīng)該注意,換路瞬間電容電流iC和電感電壓uL是可以躍變的。2.時(shí)間常數(shù)τ

過渡過程理論上要經(jīng)歷無限長時(shí)間才結(jié)束。實(shí)際的過渡過程長短可根據(jù)電路的時(shí)間常數(shù)τ來估算,一般認(rèn)為當(dāng)t=(3~5)τ時(shí),電路的過渡過程結(jié)束。一階RC電路τ=RC;一

階RL電路τ=L/R,τ的單位為s。τ的大小反映了電路參量由初始值變化到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時(shí)間。

3.經(jīng)典法

經(jīng)典法是求解過渡過程的基本方法,它的一般步驟如下:

(1)根據(jù)換路后的電路列出電路的微分方程;

(2)求微分方程的特解和通解;

(3)根據(jù)電路的初始條件,求出積分常數(shù),從而得到電路解。4.一階電路的全響應(yīng)

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量

或全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)

以上兩個(gè)表達(dá)式反映了線性電路的疊加定理。

5.三要素法

三要素法是基于經(jīng)典法的一種求解過渡過程的簡便方法。對(duì)于直流電源激勵(lì)的一階電路,可用三要素法求解。三要素的一般公式可以表示為

f(t)=f(∞)+[f(0+)-f(∞)]e-tτ

式中,f(∞)為待求量的穩(wěn)態(tài)值;f(0+)為待求量的初始值;τ為電路的時(shí)間常數(shù)。

6.二階電路

二階電路中RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng):

(1)當(dāng)R>2L/C時(shí),為非振蕩放電過程。

(2)當(dāng)R=2L/C時(shí),為臨界情況。

(3)當(dāng)R<2L/C時(shí),為振蕩放電過程。

第9章磁路與鐵芯線圈

9.1鐵磁性物質(zhì)

9.2磁路和磁路定律

9.3簡單直流磁路的計(jì)算

9.4交流鐵芯線圈及等效電路

9.5電磁鐵本章小結(jié)

習(xí)題 9.1鐵磁性物質(zhì)

9.1.1鐵磁性物質(zhì)的磁化

實(shí)驗(yàn)表明:將鐵磁性物質(zhì)(如鐵、鎳、鈷等)置于某磁場中,會(huì)大大加強(qiáng)原磁場。這是由于鐵磁性物質(zhì)會(huì)在外加磁場的作用下,產(chǎn)生一個(gè)與外磁場同方向的附加磁場,正是由于這個(gè)附加磁場促使了總磁場的加強(qiáng)。這種現(xiàn)象叫做磁化。

鐵磁性物質(zhì)具有這種性質(zhì),是由其內(nèi)部結(jié)構(gòu)決定的。研究表明:鐵磁性物質(zhì)內(nèi)部是由許多叫做磁疇的天然磁化區(qū)域所組成的。雖然每個(gè)磁疇的體積很小,但其中卻包含有數(shù)億個(gè)分子。但未被磁化的鐵磁性物質(zhì),磁疇排列是紊亂的,各個(gè)磁疇的磁場相互抵消,對(duì)外不顯磁性,如圖9.1(a)所示。

如果把鐵磁性物質(zhì)放入外磁場中,這時(shí)大多數(shù)磁疇都趨向于沿外磁場方向規(guī)則地排列,因而在鐵磁性物質(zhì)內(nèi)部形成了很強(qiáng)的與外磁場同方向的“附加磁場”,從而大大地加強(qiáng)

了磁感應(yīng)強(qiáng)度,即鐵磁性物質(zhì)被磁化了,如圖9.1(b)所示。當(dāng)外加磁場進(jìn)一步加強(qiáng)時(shí),所有磁疇的磁軸都幾乎轉(zhuǎn)向外加磁場方向,這時(shí)附加磁場不再加強(qiáng),這種現(xiàn)象叫磁飽和,如圖9.1(c)所示。非鐵磁性物質(zhì)(如鋁、銅、木材等)由于沒有磁疇結(jié)構(gòu),磁化程度很微弱。9.1.2磁化曲線

不同種類的鐵磁性物質(zhì),其磁化性能是不同的。工程上常用磁化曲線(或表格)表示各種鐵磁性物質(zhì)的磁化特性。磁化曲線是鐵磁性物質(zhì)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B與外磁場的磁場強(qiáng)度

H之間的關(guān)系曲線,所以又叫BH曲線。這種曲線一般由實(shí)驗(yàn)得到,其實(shí)驗(yàn)電路如圖9.2所示。圖中,Us為直流電源;Rw為可變電阻,用來調(diào)節(jié)回路電流I的大小;雙刀雙擲開關(guān)S用來改變流過線圈的電流方向;右邊的圓環(huán)是由被測鐵磁性物質(zhì)制成的,其截面積為S,平均長度為L;線圈繞在圓環(huán)上,匝數(shù)為N;磁通計(jì)Ф用來測量磁路中磁通的大小。

由于B=Φ/S,H=IN/L,依次改變I值,測量Φ值,可分別計(jì)算出B和H,繪出曲線,如圖9.3(a)所示。由于B=μH,故繪出μH曲線,如圖9.3(b)所示。1.起始磁化曲線

圖9.3(a)所示的BH曲線是在鐵芯原來沒有被磁化,即B和H均從零開始增加時(shí)所測得的。這種情況下作出的BH曲線叫起始磁化曲線。起始磁化曲線大體上可以分為四段,即OP、PQ、QR和R點(diǎn)以后。下面分別加以說明。

(1)OP段:此段斜率較小,當(dāng)H增加時(shí),B增加緩慢,這反映了磁疇有“慣性”,較小的外磁場不能使它轉(zhuǎn)向?yàn)橛行蚺帕小?/p>

(2)PQ段:此段可以近似看成是斜率較大的一段直線。在這段中,隨著H加大,B增大較快。這是由于原來不規(guī)則的磁疇在H的作用下,迅速沿著外磁場方向排列的結(jié)果。(3)QR段:此段的斜率明顯減小,即隨著H的加大,B增大緩慢。這是由于絕大部分磁疇已轉(zhuǎn)向?yàn)橥獯艌龇较?所以B增大的空間不大。Q點(diǎn)附近叫做BH曲線的膝部。

在膝部可以用較小的電流(較小的H),獲得較大的磁感應(yīng)強(qiáng)度(B)。所以電機(jī)、變壓器的鐵芯常設(shè)計(jì)在膝部工作,以便用小電流產(chǎn)生較強(qiáng)的磁場。

(4)R點(diǎn)以后:R點(diǎn)后隨著H加大,B幾乎不增大。這是由于幾乎所有磁疇都已轉(zhuǎn)向?yàn)橥獯艌龇较?即使H加大,附加磁場也不可能再增大。這個(gè)現(xiàn)象叫做鐵磁性物質(zhì)的磁飽

和,R點(diǎn)以后的區(qū)域叫飽和區(qū)。鐵磁性物質(zhì)的BH曲線是非線性的,μ(=B/H)不是常數(shù)。而非鐵磁性物質(zhì)的BH曲線為直線,μ是常數(shù)。2.磁滯回線

起始磁化曲線只反映了鐵磁性物質(zhì)在外磁場(H)由零逐漸增加的磁化過程。在很多實(shí)際應(yīng)用中,外磁場(H)的大小和方向是不斷改變的,即鐵磁性物質(zhì)受到交變磁化(反復(fù)磁

化),實(shí)驗(yàn)表明交變磁化的曲線如圖9.4(a)所示,這是一個(gè)回線。此回線表示,當(dāng)鐵磁性物質(zhì)沿起始磁化曲線磁化到a點(diǎn)后,若減小電流(H減小),B也隨之減小,但B不是沿原來起始磁化曲線減小,而是沿另一路徑ab減小,特別是當(dāng)

I=0(即H=0)時(shí),B并不為零。B=Br(Ob段),叫剩磁,這種現(xiàn)象叫磁滯。磁滯現(xiàn)象是鐵磁性物質(zhì)所特有的。要消除剩磁(常稱為去磁或退磁),需要反方向加大H,也就是bc段,當(dāng)H=-Hc(Oc段)時(shí),B=0,剩磁才被消除,此時(shí)的|-Hc|叫做材料的矯頑力。|-Hc|的大小反映了材料保持剩磁的能力。如果我們繼續(xù)反向加大H,使H=-Hm,B=-Bm,再讓H減小到零(de段),再加大H,使H=Hm,B=Bm(efa段),這樣反復(fù),便可得到對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)的閉合曲線,如圖9.4(a)所示,即鐵磁性物質(zhì)的磁滯回線(abcdefa)。如果我們改變磁場強(qiáng)度的最大值(即改變實(shí)驗(yàn)所取電流的最大值),重復(fù)上述實(shí)驗(yàn),就可以得到另外一條磁滯回線。圖9.4(b)給出了不同Hm時(shí)的磁滯回線族。這些曲線的Bm

頂點(diǎn)連線稱為鐵磁性物質(zhì)的基本磁化曲線。對(duì)于某一種鐵磁性物質(zhì)來說,基本磁化曲線是完全確定的,它與起始磁化曲線差別很小,基本磁化曲線所表示的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場強(qiáng)度H的關(guān)系具有平均的意義,因此工程上常用到它。9.1.3鐵磁性物質(zhì)的分類

鐵磁性物質(zhì)根據(jù)磁滯回線的形狀及其在工程上的用途可以分為兩大類,一類是硬磁(永磁)材料,另一類是軟磁材料。

硬磁材料的特點(diǎn)是磁滯回線較寬,剩磁和矯頑力都較大。這類材料在磁化后能保持很強(qiáng)的剩磁,適宜制作永久磁鐵。常用的有鐵鎳鈷合金、鎳鋼、鈷鋼、鎳鐵氧體、鍶鐵氧體等。在磁電式儀表、電聲器材、永磁發(fā)電機(jī)等設(shè)備中所用的磁鐵就是用硬磁材料制作的。軟磁材料的特點(diǎn)是磁導(dǎo)率高,磁滯回線狹長,磁滯損耗小。軟磁材料又分為低頻和高頻兩種用于高頻的軟磁材料要求具有較大的電阻率,以減小高頻渦流損失。常用的高頻軟磁材料有鐵氧體等,如收音機(jī)中的磁棒、無線電設(shè)備中的中周變壓器的磁芯,都是用鐵氧體制成的。用于低頻的有鑄鋼、硅鋼、坡莫合金等。電機(jī)、變壓器等設(shè)備中的鐵芯多為硅鋼片,錄音機(jī)中的磁頭鐵芯多用坡莫合金。由于軟磁材料的磁滯回線狹長,一般用基本磁化

曲線代表其磁化特性,圖9.5所示是軟磁和硬磁材料的磁滯回線。圖9.6所示是幾種常用鐵磁性材料的基本磁化曲線,電氣工程中常用它來進(jìn)行磁路計(jì)算。思考題

1.鐵磁性物質(zhì)為什么會(huì)有高的導(dǎo)磁性能?

2.制造電喇叭時(shí)要用到永久磁鐵,制造變壓器時(shí)要用鐵芯,試說明它們?cè)谑褂描F磁性材料時(shí)有何不同。

3.什么是基本磁化曲線?什么是起始磁化曲線?

4.鐵磁性材料的μ不是常數(shù),μ的最大值處在起始磁化曲線的哪個(gè)部位?9.2磁路和磁路定律

9.2.1磁路

線圈中通過電流就會(huì)產(chǎn)生磁場,磁感應(yīng)線會(huì)分布在線圈周圍的整個(gè)空間。如果我們把線圈繞在鐵芯上,由于鐵磁性物質(zhì)的優(yōu)良導(dǎo)磁性能,電流所產(chǎn)生的磁感應(yīng)線基本上都局限

在鐵芯內(nèi)。如前所述,有鐵芯的線圈在同樣大小電流的作用下,所產(chǎn)生的磁通將大大增加。這就是電磁器件中經(jīng)常采用鐵芯線圈的原因。由于鐵磁性材料的導(dǎo)磁率很高,磁通幾乎全部集中在鐵芯中,這個(gè)磁通稱為主磁通。主磁通通過鐵芯所形成的閉合路徑叫磁路。圖9.7(a)、(b)分別給出了直流電機(jī)和單相變壓器的結(jié)構(gòu)簡圖,虛線表示磁通路。

由于制造和結(jié)構(gòu)上的原因,磁路中常會(huì)含有空氣隙,當(dāng)空氣隙很小時(shí),氣隙里的磁力線大部分是平行而均勻的,只有極少數(shù)磁力線擴(kuò)散出去造成所謂的邊緣效應(yīng),如圖9.8所示。

另外,還會(huì)有少量磁力線不經(jīng)過鐵芯而經(jīng)過空氣形成磁回路,這種磁通稱為漏磁通。漏磁通相對(duì)于主磁通來說,所占的比例很小,所以一般可忽略不計(jì)。與電路相類似,磁路也可分為無分支磁路和有分支磁路兩種。圖9.7(a)為有分支磁路,圖9.7(b)為無分支磁路。9.2.2磁路定律

與電路類似,磁路也存在著固定的規(guī)律,推廣電路的基爾霍夫定律可以得到有關(guān)磁路的定律。

1.磁路的基爾霍夫第一定律

根據(jù)磁通的連續(xù)性,在忽略了漏磁通以后,在磁路的一條支路中,處處都有相同的磁通,進(jìn)入包圍磁路分支點(diǎn)閉合曲面的磁通與穿出該曲面的磁通是相等的。因此,磁路分支點(diǎn)(節(jié)點(diǎn))所連各支路磁通的代數(shù)和為零,即

∑Φ=0(9.1)

這就是磁路基爾霍夫第一定律的表達(dá)式。如圖9.9所示,對(duì)于節(jié)點(diǎn)A,若把進(jìn)入節(jié)點(diǎn)的磁通取正號(hào),離開節(jié)點(diǎn)的磁通取負(fù)號(hào),則Φ1+Φ2-Φ3=0

2.磁路的基爾霍夫第二定律

在磁路計(jì)算中,為了找出磁通和勵(lì)磁電流之間的關(guān)系,必須應(yīng)用安培環(huán)路定律。為此我們把磁路中的每一支路,按各處材料和截面不同分成若干段。在每一段中因其材料和截

面積是相同的,所以B和H處處相等。應(yīng)用安培環(huán)路定律表達(dá)式的積分∮Hdi,對(duì)任一閉合回路,可得到

∑(Hl)=∑(IN)(9.2)

式(9.2)是磁路的基爾霍夫第二定律。對(duì)于如圖9.9所示的ABCDA回路,可以得出

式中的符號(hào)規(guī)定如下:當(dāng)某段磁通的參考方向(即H的方向)與回路的參考方向一致時(shí),該段的Hl取正號(hào),否則取負(fù)號(hào);勵(lì)磁電流的參考方向與回路的繞行方向符合右手螺旋法則時(shí),對(duì)應(yīng)的IN取正號(hào),否則取負(fù)號(hào)。為了和電路相對(duì)應(yīng),我們把公式(9.2)右邊的IN稱為磁通勢,簡稱磁勢。它是磁路產(chǎn)生磁通的原因,用Fm表示,單位是安(匝)。等式左邊的Hl可看成是磁路在每一段上的磁位差(磁壓降),用Um表示。所以磁路的基爾霍夫第二定律可以敘述為:磁路沿著閉合回

路的磁位差Um的代數(shù)和等于磁通勢Fm的代數(shù)和,記作9.2.3磁路的歐姆定律

在上述的每一分段中均有B=μH,即Φ/S=μH,所以

式(9.3)叫做磁路的歐姆定律。式中,Um=Hl是磁壓降,在SI單位制中,Um的單位為A,Rm=l/(μS)的單位為1/H,則Φ的單位為Wb。由上述分析可知,磁路與電路有許多相似之處。磁路定律是電路定律的推廣。但應(yīng)注意,磁路和電路具有本質(zhì)的區(qū)別,絕不能混為一談。主要表現(xiàn)在磁通并不像電流那樣代表某種質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng);磁通通過磁阻時(shí),并不像電流通過電阻那樣要消耗能量,因此維持恒定磁通也并不需要消耗任何能量,即不存在與電路中的焦?fàn)柖深愃频拇怕仿?。思考題

1.已知線圈電感L=Ψ/I=NΦ/I,試用磁路歐姆定律證明L=N2μS/l,并說明如果線圈大小、形狀和匝數(shù)相同時(shí),有鐵芯線圈和無鐵芯線圈的電感哪個(gè)大?

2.為什么空芯線圈的電感是常數(shù),而鐵芯線圈的電感不

是常數(shù)?鐵芯線圈在未達(dá)到飽和與達(dá)到飽和時(shí),哪個(gè)電感大?

3.有兩個(gè)如圖9.10所示結(jié)構(gòu)和尺寸相同的圓環(huán)。環(huán)上都繞有線圈,其中一個(gè)環(huán)的材料為鑄鋼,另一個(gè)的材料為銅,當(dāng)

它們的匝數(shù)相同時(shí),問:

(1)兩個(gè)環(huán)中的H和B是否相同?

(2)如果分別在兩環(huán)上開一個(gè)相同的缺口,兩環(huán)中的H

和B有何變化?9.3簡單直流磁路的計(jì)算

所謂直流磁路,是指激磁電流大小和方向都不變化,在磁路中產(chǎn)生的磁通是恒定的,因此也叫恒定磁通磁路。在計(jì)算磁路時(shí)有兩種情況:第一種是先給定磁通,再按照給定的磁通及磁路尺寸、材料求出磁通勢,即已知Φ求NI;另一種是給定NI,求各處磁通,即已知NI求Φ。本節(jié)只討論第一種情況。

已知磁通求磁通勢時(shí),對(duì)于無分支磁路,在忽略了漏磁通的條件下穿過磁路各截面的磁通是相同的,而磁路各部分的尺寸和材料可能不盡相同,所以各部分截面積和磁感應(yīng)強(qiáng)度就不同,于是各部分的磁場強(qiáng)度也不同。在計(jì)算時(shí)一般應(yīng)按下列步驟進(jìn)行:

(1)按照磁路的材料和截面不同進(jìn)行分段,把材料和截面相同的算作一段。

(2)根據(jù)磁路尺寸計(jì)算出各段截面積S和平均長度l。注意,在磁路存在空氣隙時(shí),磁路經(jīng)過空氣隙會(huì)產(chǎn)生邊緣效應(yīng),截面積會(huì)加大。一般情況下,空氣隙的長度δ很小,空氣隙截面積可由經(jīng)驗(yàn)公式近似計(jì)算,如圖9.11所示。

對(duì)于矩形截面,有

Sa=(a+δ)(b+δ)≈ab+(a+b)δ

(9.4)

對(duì)于圓形截面,有

(9.5)

(3)由已知磁通Φ,算出各段磁路的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=Φ/S。

(4)根據(jù)每一段的磁感應(yīng)強(qiáng)度求磁場強(qiáng)度,對(duì)于鐵磁材料可查基本磁化曲線(如圖9.6所示)。對(duì)于空氣隙可用以下公式:

(5)根據(jù)每一段的磁場強(qiáng)度和平均長度求出H1l1、H2l2……

(6)根據(jù)基爾霍夫磁路第二定律,求出所需的磁通勢。

NI=H1l1+H2l2+…

例9.1已知磁路如圖9.12所示,上段材料為硅鋼片,下段材料是鑄鋼,求在該磁路中獲得磁通Φ=2.0×10-3Wb時(shí),所需要的磁通勢。若線圈的匝數(shù)為1000匝,激磁電流應(yīng)為多大? 解(1)按照截面和材料不同,將磁路分為三段l1、l2、l3。

(2)按已知磁路尺寸求出:

(3)各段磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(4)由圖9.6所示硅鋼片和鑄鋼的基本磁化曲線得

空氣中的磁場強(qiáng)度為

(5)每段的磁位差為

(6)所需的磁通勢為激磁電流為

從以上計(jì)算可知,空氣間隙雖很小,但空氣隙的磁位差H3L3卻占總磁勢差的93%,這是由于空氣隙的磁導(dǎo)率比硅鋼片和鑄鋼的磁導(dǎo)率小很多的緣故。思考題

1.有兩個(gè)相同材料的芯子(磁路無氣隙),所繞的線圈匝數(shù)相同,通以相同的電流,磁路的平均長度l1=l2,截面S1<S2,試用磁路的基爾霍夫定律分析B1與B2、Φ1與Φ2的大小。

2.一磁路如圖9.13所示,圖中各段截面積不同,試列出磁通勢和磁位差平衡方程式。

9.4交流鐵芯線圈及等效電路

所謂交流鐵芯線圈,是指線圈中加入鐵芯,并在線圈兩端加正弦電壓。本節(jié)主要討論交流鐵芯線圈的電壓、電流、磁通以及等效電路。

9.4.1電壓、電流和磁通

交流鐵芯線圈是用交流電來勵(lì)磁的,其電磁關(guān)系與直流鐵芯線圈有很大不同。在直流鐵芯線圈中,因?yàn)閯?lì)磁電流是直流,其磁通是恒定的,在鐵芯和線圈中不會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。而交流鐵芯線圈的電流是變化的,變化的電流會(huì)產(chǎn)生變化的磁通,于是會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢,電路中電壓電流關(guān)系也與磁路情況有關(guān)。影響交流鐵芯線圈工作的因素有鐵芯的磁飽和、磁滯和渦流、漏磁通、線圈電阻等,其中,磁飽和、磁滯和渦流的影響最大。下面分別加以討論。1.電壓為正弦量

在忽略線圈電阻及漏磁通時(shí),選擇線圈電壓u、電流i、磁通Φ及感應(yīng)電動(dòng)勢e的參考方向如圖9.14所示。

在圖9.14中有

式中,N為線圈匝數(shù)。

在上式中,若電壓為正弦量時(shí),磁通也為正弦量。設(shè)

Φ(t)=Φmsinωt,則有可見,電壓的相位比磁通的相位超前90°,并且電壓及感應(yīng)電動(dòng)勢的有效值與主磁通的最大值關(guān)系為

式(9.7)是一個(gè)重要公式。它表明:當(dāng)電源的頻率及線圈匝數(shù)一定時(shí),若線圈電壓的有效值不變,則主磁通的最大值Φm(或磁感應(yīng)的強(qiáng)度最大值Bm)不變;線圈電壓的有效值改變時(shí),Φm與U成正比變化,而與磁路情況(如鐵芯材料的導(dǎo)磁率、氣隙的大小等)無關(guān)。這與直流鐵芯線圈不同,因?yàn)橹绷麒F芯線圈若電壓不變,電流就不變,因而磁勢不變,磁路情況變化時(shí),磁通隨之改變?？紤]交流鐵芯線圈的電流時(shí),i和Φ不是線性關(guān)系,也就是說磁通正弦變化時(shí),電流不是正弦變化的。因?yàn)樵诼匀ゴ艤蜏u流影響時(shí),鐵芯材料的BH曲線即是基本磁化曲線。在BH曲線上,H正比于i,B正比于Φ,所以可以將BH曲線轉(zhuǎn)化為Φi曲線,如圖9.15所示。如前所述,設(shè)Φ=Φmsinωt,經(jīng)過逐點(diǎn)描繪得i的波形為尖頂波,如圖9.16所示。

電流波形的失真主要是由磁化曲線的非線性造成的。要減少這種非線性失真,可以減少Φm或加大鐵芯面積,以減小Bm的值,使鐵芯工作在非飽和區(qū),但這樣會(huì)使鐵芯尺寸和重量加大,所以工程上常使鐵芯工作在接近飽和的區(qū)域。i(t)的非正弦波形中含有奇次諧波,其中以三次諧波的成分最大,其它高次諧波成分可忽略不計(jì)。有諧波成分會(huì)給分析計(jì)算帶來不便。所以實(shí)用中,常將交流鐵芯線圈電流的非正弦波用正弦波近似地代替,以簡化計(jì)算。這種簡化忽略了各種損耗,電路的平均功率為零,磁化電流?Im與磁通Φ同相,比電壓滯后90°,相量圖如圖9.17所示。

由相量圖知

2.電流為正弦量設(shè)線圈電流為

線圈的磁通Φ(t)的波形也可用逐點(diǎn)描繪的方法作出,如圖9.18所示。

鐵芯線圈的電流為正弦量時(shí),由于磁飽和的影響,磁通和電壓都是非正弦量,Φ(t)為平頂波,u(t)為尖頂波,都含有明顯的三次諧波分量。像電流互感器這樣的電氣設(shè)備,會(huì)有電流為正弦波的情況,但大多數(shù)情況下鐵芯線圈電壓為正弦量。所以這里只討論電壓為正弦量的情況。9.4.2磁滯和渦流的影響

交流鐵芯線圈在考慮了磁滯和渦流時(shí),除了電流的波形畸變嚴(yán)重外,還要引起能量的損耗,分別叫