證明直線與直線垂直(空間向量)

證明線線垂直在棱長為a的正方體OABC-O]A1B1C1中，E、F分別是AB、BC上的動點(diǎn)，且AE=BF，求證：A￡丄C]E.證明】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A](a,O,a),C’O,a,a).設(shè)AE=BF=x,：.E(a,x,0),F(a~x,a,0)..°.A]F=(—x,a,—a), C1E=(a, x—a, —a).TA”C]E=(—x,a,—a)?(a,x—a,—a)=—ax+ax—a2+a2=0,???嚇丄qE,即A]F丄C]E.解答：法一設(shè)AB=a,AC=b,AA]=c,則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得lal=lbl=CI=l,ac=b?c=0,AB]=a+c,AM=2(a+b),「.AB].MN=(a+c)?(—2。+2"+4。)=—f+fcos60°+0_0+0+4=0..?.AB]丄MN...AB]丄MN.法二設(shè)AB中點(diǎn)為O,作OO]〃AA].以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得1 1 3 31 1A（-f,0,0）,B（2，0,0），C（0,亍,0）,N（0,寧，4）,B]（2，0,1）,

VM為BC中點(diǎn),#，o）?.??MN=（-4￥‘4）VM為BC中點(diǎn),#，o）?.\AB1±MN.:,MnAB]=—4+o+4=°.?：.\AB1±MN.10?在正方體ABCDABCD中，已知E、F、G、H分別是CC、BC、CD和AC的中1111111證明：（1） AB〃GE,AB】丄EH；（2） aG丄平面eFd.1解析：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1,則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0，0,1)，B(1,0,1)，C(1,1,1)，D(0,11(1、1(1 \111111),由中點(diǎn)性質(zhì)得E1,1，2、FI1，2,0卜gI2，1，0卜Hq,2，1.TOC\o"1-5"\h\z(1 1、 (1 11、(1)則AB=(1,0,1),亞=2，0，2，曲=—2，—2，2，I2 2丿 V2 22丿(1、 1VAK=2GE，AB?EH=1X—石+1X^=0，112 2???A5〃GE，AS丄EH，即AB〃GE，AB丄EH.1111(1 、 ( 1 、(2)VAt)=&，1，—1，DF=1，—c，0，1V2 丿 V 2 丿( 1、DE=1，0，2，V2丿.?.Air?DF=■—+0=0，122Air?DE=+0—=0,122???At丄DF,AD丄DE,即AG丄DF,AGIDE.1111又DFPDE=D,.?.AG丄平面EFD.1如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是DD^BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=*AtifD則B1AtifD則B1(1,0,1),C(1,1,0),E(0,1,2)，尸占2,0),G(3，1,0),C](1,1,1).(1)證明：EF=(|,112—2)，CD.求證：EF丄BC；求EF與C1G的夾角的余弦值.解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,B1C=(0,1,-1),:,EFBC=0.：.EF丄B]C.(2)cg=(-4‘o