浙江省七彩陽光新高考聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題-1

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本試題卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.選擇題部分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.已知集合，，則集合（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合交集的含義可得答案.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：B.2.“為三角形的一個(gè)內(nèi)角”是“為第一、二象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】D【解析】【分析】判斷“為三角形的一個(gè)內(nèi)角”和“為第一、二象限角”之間邏輯推理關(guān)系，即得答案.【詳解】為三角形的一個(gè)內(nèi)角，當(dāng)時(shí)，不是第一、二象限角，故“為三角形的一個(gè)內(nèi)角”推不出“為第一、二象限角”；當(dāng)為第一、二象限角時(shí)，不妨取，不是三角形的一個(gè)內(nèi)角，故“為第一、二象限角”推不出“為三角形的一個(gè)內(nèi)角”；故“為三角形的一個(gè)內(nèi)角”是“為第一、二象限角”的既不充分又不必要條件，故選：D3.如圖是H城市某路段監(jiān)測(cè)到的上午7：00至8：00通過該路段的所有汽車的時(shí)速頻率分布直方圖，若汽車通過該路段的時(shí)速大于等于70則屬于違章行駛，已知時(shí)速在的汽車的頻數(shù)是30，則本次統(tǒng)計(jì)中違章行駛的汽車有（）輛A.10 B.20 C.30 D.40【答案】B【解析】【分析】由直方圖的數(shù)據(jù)可求出總車輛數(shù)，從而求出時(shí)速大于等于70的車輛數(shù).【詳解】由直方圖的數(shù)據(jù)可知，時(shí)速在的汽車的頻數(shù)30，頻率為，故總車輛數(shù)為100，故違章汽車為輛.故選：B4.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)圓（半徑為1cm）的圓周上爬動(dòng)，且兩只螞蟻均從點(diǎn)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作圖利用單位圓解幾何圖形即可.【詳解】如圖所示，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，紅螞蟻繞圓的角度為，到達(dá)B處，黑螞蟻繞圓的角度為，到達(dá)C處，此時(shí)，即為正三角形，故.故選：A5.已知，是實(shí)數(shù)，且滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取特殊值驗(yàn)證，可判斷A，B，D；利用不等式性質(zhì)結(jié)合基本不等式可判斷C.詳解】對(duì)于A，取，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，，B錯(cuò)誤‘對(duì)于C，因?yàn)?，故，，，故，C正確；對(duì)于D，取，則，D錯(cuò)誤；故選：C6.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，規(guī)定，則函數(shù)的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中函數(shù)新定義可得的解析式，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案.【詳解】由題意得，作出該函數(shù)的圖象如圖，由函數(shù)圖像可得，當(dāng)時(shí)，有最大值2，故選：B7.設(shè)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到，設(shè)，結(jié)合題意求得，得到函數(shù)，即可求得的值.【詳解】對(duì)任意的，總有且，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)函數(shù)，可得，即，可設(shè)（其中為常數(shù)），所以，所以，所以，所以，可得.故選：D.8.已知長(zhǎng)方體中，，，用過該長(zhǎng)方體體對(duì)角線的平面去截該長(zhǎng)方體，則所得截面的面積最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分類討論截面的位置，利用異面直線的距離計(jì)算截面面積即可.【詳解】假設(shè)截面為，易知截面為平行四邊形，過點(diǎn)作，垂足為，則截面面積，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以只要最小，?dāng)F在BC上（不含兩端點(diǎn)）時(shí)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則為異面直線和的公垂線時(shí)，EF最小，易知異面直線和的距離即到平面的距離，，設(shè)面的法向量為，則，則，令，則，即，所以BC到面的距離為；當(dāng)F在上（不含兩端點(diǎn)）時(shí)，如圖所示，此時(shí)為和的公垂線時(shí)，最?。峡傻煤偷墓咕€長(zhǎng)為；當(dāng)F在上（不含兩端點(diǎn)）時(shí)，如圖所示，此時(shí)EF為和的公垂線，最?。峡傻煤偷墓咕€長(zhǎng)為；故，此時(shí)，易得特殊截面，，，比較所得.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)、、是三條不同的直線，、、是三個(gè)不同平面，則下列命題不正確的有（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷B；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)結(jié)合線面垂直性質(zhì)判斷C；根據(jù)線面以及面面平行的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，故；因?yàn)椋瑒t，A正確；對(duì)于B，，，則可能平行，也可能異面，則，推不出，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，則可能平行也可能相交，故時(shí)，得不出，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，由，可知a可能在平面內(nèi)，D錯(cuò)誤，故選：BCD10.某體育老師對(duì)甲乙兩名隊(duì)員進(jìn)行了5次射擊測(cè)試，統(tǒng)計(jì)了甲和乙的射擊成績(jī)，甲的成績(jī)分別為環(huán)；乙的成績(jī)分別為環(huán)，則下列說法正確的是（）A.平均來說甲乙射擊技術(shù)差不多 B.甲的射擊技術(shù)比乙更穩(wěn)定C.甲成績(jī)的中位數(shù)比乙高 D.甲的40百分位數(shù)比乙的高【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)甲乙的成績(jī)數(shù)據(jù)，依次計(jì)算或判斷其平均數(shù)以及數(shù)據(jù)的分散集中程度、中位數(shù)和百分位數(shù)，即可判斷答案.【詳解】對(duì)于A，甲的平均成績(jī)?yōu)椋ōh(huán)），乙的平均成績(jī)?yōu)椋ōh(huán)），故平均來說甲乙射擊技術(shù)差不多，A正確；對(duì)于B，乙的5次成績(jī)明顯更為集中，故乙的射擊技術(shù)比甲更穩(wěn)定，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將甲的成績(jī)從小到大分別為環(huán)，故其中位數(shù)為9環(huán)，乙的成績(jī)分別為環(huán)，故其中位數(shù)為8環(huán)，即甲成績(jī)的中位數(shù)比乙高，C正確；對(duì)于D，，故甲的40百分位數(shù)，乙的40百分位數(shù)，即甲的40百分位數(shù)與乙的相等，D錯(cuò)誤，故選：AC11.設(shè)，，則（）A.的值域與的值有關(guān)B.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增C.若是它的一條對(duì)稱軸，則D.若，則為偶函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】由輔助角公式化簡(jiǎn)再利用三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)一一判定即可.【詳解】由輔助角公式化簡(jiǎn)可得，所以的值域，與的值無關(guān)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，，故B正確；因?yàn)?，由題意，，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；因?yàn)椋深}意，，是偶函數(shù)，D正確.故選：BD.12.函數(shù)，（，，是實(shí)數(shù)且，，），則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)的正負(fù)，可取特殊值，一一判斷各選項(xiàng)圖象是否有可能，即可得答案.【詳解】由，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值恒小于零，無負(fù)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.當(dāng)，如，，時(shí)，，定義域?yàn)?，該函?shù)圖象和B相符，B可能；當(dāng)時(shí)，如，，時(shí)，該函數(shù)圖象和C相符，可以是C；當(dāng)，如，時(shí)，，即把的圖象向右平移，故D有可能，故選：BCD非選擇題部分三、填空題（本小題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為________；【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，即可得答案.【詳解】由可得，故數(shù)的虛部為，故答案為：14.若從集合中任取3個(gè)元素組成該集合的一個(gè)子集，那么取得的子集中，滿足3個(gè)元素中恰好含有2個(gè)連續(xù)整數(shù)的概率等于________；【答案】【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】從中任取3個(gè)元素形成的子集共有個(gè)，當(dāng)連續(xù)整數(shù)為1，2時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有2個(gè)；當(dāng)連續(xù)整數(shù)為2，3時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有1個(gè)；當(dāng)連續(xù)整數(shù)為3，4時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有1個(gè)，當(dāng)連續(xù)整數(shù)為4，5時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有2個(gè)，有故6個(gè)子集中恰好含有兩個(gè)連續(xù)整數(shù)．故所求概率為，故答案為：15.已知實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】由，可得，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，因?yàn)椋傻?，解得，則，設(shè)結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞遞增，所以，且，所以，即的取值范圍為.故答案為：.16.為的外心，且，則的內(nèi)角的余弦值為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律將化為并平方可得，判斷為銳角三角形，結(jié)合二倍角公式即可求得答案.【詳解】因?yàn)闉榈耐庑模钟?，平方可得?不妨設(shè)，則,故為銳角，由于，或，又由：,可得點(diǎn)在的內(nèi)部，即為銳角三角形,故，C為銳角，即，故，故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.一組學(xué)生參加了一次考試，他們的分?jǐn)?shù)分布如下：80859075889278828590.（1）隨機(jī)選擇一個(gè)學(xué)生，他得到85分的概率是多少?（2）這組學(xué)生中，得分超過80分的概率是多少?（3）選擇兩個(gè)學(xué)生，他們分?jǐn)?shù)都在80分以上的概率是多少（學(xué)生得分相互不影響）?【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，得到85分的學(xué)生有2人，所以概率為，即概率為.【小問2詳解】解：由題意，得分超過80分的學(xué)生有7人，所以概率為.【小問3詳解】解：由題意，分?jǐn)?shù)都在80分以上的學(xué)生有7人（得分為85、90、88、92、82、85、90），所以概率為.18.若平面上的三個(gè)力，作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài).已知，，與的夾角為.（1）求的大??；（2）求在上的投影向量（用表示）.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積及模長(zhǎng)關(guān)系計(jì)算即可；（2）利用投影向量的定義及計(jì)算公式計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，所以，又，所以；【小問2詳解】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄渴?，又，所?19.在正三棱臺(tái)中，已知，，三棱臺(tái)的高.（1）求棱臺(tái)的體積；（2）若球與正三棱臺(tái)內(nèi)切（與棱臺(tái)各面都相切），求球的表面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接代入臺(tái)體的體積公式求解.（2）利用上下底面之間的距離為內(nèi)切球的直徑求解.【小問1詳解】因?yàn)?，分別為下底面，上底面面積..【小問2詳解】因?yàn)樯舷碌酌嫦嗷テ叫星揖c內(nèi)切球相切，故上下底面之間的距離為內(nèi)切球的直徑，所以，故球O的半徑.所以球的表面積．20.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，.（1）求角；（2）求邊上中線長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將平方后，結(jié)合余弦定理即可求得答案；（2）解法1，求得外接圓半徑，過點(diǎn)C作，交BD延長(zhǎng)線于E，利用余弦定理推出，結(jié)合正弦定理邊化角，以及三角恒等變換，化簡(jiǎn)可得的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案；解法2，利用平行四邊形性質(zhì)可得，下面解法同解法1；解法3，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得答案；解法4，利用三角形外接圓中線段的不等式關(guān)系，可求得答案.【小問1詳解】由，可得：，即，所以，而，從而；【小問2詳解】解法1：設(shè)外接圓半徑為R，則，如圖所示，過點(diǎn)C作，交BD延長(zhǎng)線于E，則∽，則，故，所以，，又因?yàn)椋?，則，所以，即；解法2：由平行四邊形性質(zhì)可得，所以，因?yàn)?，又因?yàn)?，故，則，所以，則，即；解法3：因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，結(jié)合解法2可知，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值；解法4：如圖所示，，，設(shè)外接圓半徑為R，則，故有外接圓如圖，D為的中點(diǎn)，則，由圖可知，所以.21.如圖，三棱錐中，平面，.（1）求證：；（2）若點(diǎn)在棱上，滿足，且有，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）解法1，作出二面角的平面角為，二面角與二面角互余，解三角形即可求得答案；解法2，利用定義法作出二面角的平面角，解三角形求得答案；解法3，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間角的向量求法即可求得答案.【小問1詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，所以平面，平面，所以；【小?詳解】解法1：作交于點(diǎn)，則平面，平面，故；作，垂足為，則,連結(jié)，而，故，平面，故平面，平面，則，所以就是二面角的平面角，顯然二面角與二面角互余；因?yàn)?，，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)．因?yàn)?，．所以點(diǎn)是的中點(diǎn)．又，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)．又，故在中，，所以，則二面角的正弦值也是.解法2：作，因?yàn)槠矫?，平面，平面，，作，垂足為，連接HF,平面，故平面,平面，故，所以就是二面角的平面角，因?yàn)?，，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)．因平面，平面，故，平面，故，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，在中，，，則，則，故二面角的正弦值是.解法3：以，為軸，過點(diǎn)平行于的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，設(shè)，，即，，在直線上，則D為的中點(diǎn)，，，，則，平面的法向量可取為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，故，由原圖可知二面角為銳角，故二面角的正弦值是.22.已知函數(shù)，，，且函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).（1）求的取值范圍；