小波包時(shí)頻分析方法

小波包時(shí)頻分析方法

小波包變換分析非穩(wěn)定信號(hào)分析在機(jī)械和其他設(shè)備的故障診斷和狀態(tài)檢測(cè)中發(fā)揮著重要作用。20世紀(jì)40年代出現(xiàn)的短時(shí)傅里葉變換(ShortTimeFourierTransform,簡(jiǎn)稱STFT)和20世紀(jì)80年代興起的小波變換是目前公認(rèn)的兩種分析非平穩(wěn)信號(hào)的典型方法,而小波包變換則是一種比小波變換更精細(xì)的分析方法。短時(shí)傅里葉變換在頻率檢測(cè)上具有良好的性質(zhì),但它通常是一種固定窗變換,在緩變與瞬變信號(hào)共存的寬頻帶信號(hào)分析中其時(shí)間與頻率分辨力矛盾突出。小波包變換則具有多尺度分解和在多種頻帶上對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀察的優(yōu)點(diǎn),但小波包變換的結(jié)果通常是小波包分量,時(shí)頻譜信息不直觀。為此,作者將小波包變換與短時(shí)傅里葉變換融合起來(lái),形成小波包時(shí)頻分析方法,發(fā)揮兩種變換的優(yōu)點(diǎn),為非平穩(wěn)信號(hào)分析提供一種更有效的手段。1小波包變換和短期傅里葉變換1.1多層小波分解小波包變換是在小波變換(WaveletTransform,簡(jiǎn)稱WT)基礎(chǔ)上提出來(lái)的。小波變換是一種多尺度分析,包括連續(xù)小波變換(CWT)和離散小波變換(DWT)。CWT能顯示信號(hào)在任意尺度上的小波譜,從而揭示信號(hào)的頻率時(shí)變規(guī)律。DWT又稱為小波分解,它將信號(hào)頻帶按二進(jìn)制劃分,信號(hào)最終被表示成不同尺度上的小波分量。小波分解的過(guò)程可用如圖1所示的小波分解樹(shù)表示,圖中:S表示原信號(hào),A表示低頻信號(hào),D表示高頻信號(hào)。圖1中只給出了3層小波分解樹(shù),實(shí)際中可進(jìn)行多層小波分解。小波包變換又稱小波包分解,其過(guò)程類(lèi)似小波分解,只是它不僅可以對(duì)信號(hào)的低頻成分進(jìn)行細(xì)分,還可以對(duì)信號(hào)的高頻成分進(jìn)行細(xì)分,如圖2所示。小波包分解具有關(guān)系S=A1+D1=AA2+DA2+AD2+DD2=…。1.2局部頻譜信息短時(shí)傅里葉變換(STFT)是為克服傅里葉變換不能分析局部信號(hào)的頻譜信息而提出來(lái)的。設(shè)信號(hào)為s(t),為了觀察s(t)在某時(shí)刻τ的頻譜信息,先對(duì)信號(hào)在τ處施加一窗函數(shù)w(t),再進(jìn)行傅里葉變換,即SΤFΤ(τ,f)=∫Rw(t-τ)s(t)e-j2πftdt(1)STFT(τ,f)=∫Rw(t?τ)s(t)e?j2πftdt(1)這就是短時(shí)傅里葉變換,它能粗略揭示信號(hào)的局部頻譜信息。2波包時(shí)間頻率分析2.1小波包基函數(shù)小波包時(shí)頻分析的原理就是先采用正交小波將信號(hào)分解成各尺度上的正交小波包分量,再對(duì)各正交小波包分量用其相應(yīng)的小波包基函數(shù)為窗函數(shù)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換,得到時(shí)頻譜信息,這樣就可以同時(shí)發(fā)揮小波包變換多尺度、多分辨的優(yōu)點(diǎn)以及短時(shí)傅里葉變換在頻率識(shí)別上的優(yōu)點(diǎn),克服兩種變換單獨(dú)使用時(shí)的不足。為實(shí)現(xiàn)小波包時(shí)頻分析需建立一些關(guān)鍵的概念。為此筆者分別給出了小波包時(shí)頻分量譜、小波包時(shí)頻分量幅度譜、小波包時(shí)頻譜和小波包時(shí)頻幅度譜等概念和定義。2.2小波包基函數(shù)設(shè)信號(hào)s(t)在尺度j(對(duì)應(yīng)于小波包分解樹(shù)的第k層)上關(guān)于小波包函數(shù)un(t)的小波包分量為s(j)n(j)n(t),則定義s(t)在尺度j上的小波包時(shí)頻分量譜或k階小波包時(shí)頻分量譜為WΡS(j)n(τ,f)=∫Ru[j,0]n(t-τ)s(j)n(t)e-j2πftdt=2-j/2∫Run(2-j(t-τ))s(j)n(t)e-j2πftdt(2)WPS(j)n(τ,f)=∫Ru[j,0]n(t?τ)s(j)n(t)e?j2πftdt=2?j/2∫Run(2?j(t?τ))s(j)n(t)e?j2πftdt(2)其中u[j,r]n(t)=2-j/2un(2-jt-r)(j,r∈Ζ)(3)式(3)為un(t)在尺度j、平移位置r上的小波包基函數(shù),而s(j)n(t)=∑rWsn(j,r)u[j,r]n(t)=2-j/2∑rWsn(j,r)un(2-jt-r)(4)Wsn(j,r)=<s(t),ˉu[j,r]n(t)>=2-j/2∫Rs(t)ˉun(2-jt-r)dt(5)并稱|WPS(j)n(τ,f)|為信號(hào)s(t)在尺度j上的小波包時(shí)頻分量幅度譜或k階小波包時(shí)頻分量幅度譜。2.3指標(biāo)2f設(shè)信號(hào)s(t)在尺度j(對(duì)應(yīng)于小波包分解樹(shù)的第k層)上的小波包時(shí)頻分量譜依次為WPS(j)0(τ,f),WPS(j)1(τ,f),…,WPS(j)2k-1(τ,f),則定義WΡS(j)(τ,f)=2k-1∑n=0WΡS(j)n(τ,f)(6)為信號(hào)s(t)在尺度j上的小波包時(shí)頻譜或k階小波包時(shí)頻譜,并稱|WPS(j)(τ,f)|為信號(hào)s(t)在尺度j上的小波包時(shí)頻幅度譜或k階小波包時(shí)頻幅度譜。2.4小波包分量和小波包分量的關(guān)系設(shè)信號(hào)s(t)在尺度j(對(duì)應(yīng)于小波包分解樹(shù)的第k層)上的小波包分解為s(t)=2k-1∑n=0s(j)n(t)(7)則以上定義的小波包時(shí)頻分量譜滿足如下能量守恒性質(zhì)∫R|s(t)|2dt=2k-1∑n=0∫R∫R|WΡS(j)n(τ,f)|2dτdf(8)證明:由于小波包分解樹(shù)上同一層小波包分量相互正交,所以由式(7)得∫R|s(t)|2dt=2k-1∑n=0∫R|s(j)n(t)|2dt(9)由傅里葉變換的能量守恒性質(zhì)和公式(2)得∫R|WΡS(j)n(τ,f)|2df=∫R|u[j,0]n(t-τ)s(j)n(t)e-j2πft|2dt=∫R|u[j,0]n(t-τ)|2|s(j)n(t)|2dt∫R∫R|WΡS(j)n(τ,f)|2dfdτ=∫R∫R|u[j,0]n(t-τ)|2|s(j)n(t)|2dtdτ∫R∫R|WΡS(j)n(τ,f)|2dτdf=∫R(∫R|u[j,0]n(t-τ)|2dτ)|s(j)n(t)|2dt又∫R|u[j,0]n(τ)|2dτ=1∫R∫R|WPS(j)n(τ,f)|2dτdf=∫R|s(j)n(t)|2dt(10)由式(9)和式(10)得到式(8),于是性質(zhì)得證。3小波包時(shí)頻分量譜的信號(hào)仿真與分析圖3(a)為一看似正常的正弦信號(hào)。圖3(b)(c)分別是對(duì)信號(hào)用db3小波所獲得的小波包分解樹(shù)第2層上的兩個(gè)小波包分量及小波包時(shí)頻幅度譜。圖3(d)(e)分別是原信號(hào)的連續(xù)小波變換譜和STFT譜。從圖3(b)(c)(d)(e)看不出正弦信號(hào)有何異樣,但若對(duì)圖3(b)中的第2個(gè)小波包分量計(jì)算小波包時(shí)頻分量幅度譜,得到圖3(f)的結(jié)果。從圖3(f)可以看出,原信號(hào)在時(shí)刻100左右處存在一奇異。事實(shí)上,圖3(a)所示信號(hào)是在Matlab中按如下方式構(gòu)造出來(lái)的帶奇異的仿真信號(hào)t=1∶256t=t/64.0x=sin(2*pi*5*t)x(100)=x(100)+0.1由此可見(jiàn),小波包時(shí)頻分量譜在診斷信號(hào)中的奇異方面具有較強(qiáng)能力。圖4(a)為一實(shí)測(cè)機(jī)械磨床振動(dòng)信號(hào)。圖4(b)(c)(d)分別是原信號(hào)的CWT,STFT和三階小波包時(shí)頻幅度譜。從圖3(a)所示時(shí)域信號(hào)可以看出,信號(hào)的能量主要集中在A,B,C3處,而每一大處的能量又主要集中在幾個(gè)小位置,圖4(b)(d)均能反映這些規(guī)律,但圖4(d)反映更加清楚,圖4(c)雖然反映了原信號(hào)的能量主要集中在3處,但在每一處內(nèi)部的能量分布情況未能很好反映。這說(shuō)明小波包時(shí)頻譜在檢測(cè)信號(hào)深層次細(xì)節(jié)上也具有比其他信號(hào)分析方法較強(qiáng)的能力。4非平穩(wěn)信號(hào)分析方法的創(chuàng)新在兩種典型的非平穩(wěn)信號(hào)分析方法——小波包變換與短時(shí)傅里葉變換的基礎(chǔ)上,綜合兩種方法的優(yōu)點(diǎn),提出了小波包時(shí)頻分析法,并建立了相應(yīng)的小波包時(shí)頻分量譜、小波包時(shí)頻分量幅度譜、小波包時(shí)頻譜、小波包時(shí)頻幅度譜等關(guān)鍵概念,證明了小波包時(shí)頻分析的能量守恒性,從而形成了一套較完整的分析體系。算例表明,該分析方法具有比連續(xù)小波變換、小波包變換和短時(shí)傅里葉變換等非平穩(wěn)信號(hào)分析方法更好的一些特性,具有一定的理論和應(yīng)用價(jià)值。需說(shuō)明的是,文獻(xiàn)將小波