近幾年高考幾何試題分析

近幾年高考幾何試題分析與09年高考復習策略陜西省西安中學陳昭亮2021年12月7日一、近三年陜西高考幾何局部試題分析二、高考閱卷對復習的啟示三、2021年高考幾何局部復習策略?考試說明?中明確指出：數學科的考試，按照“考查根底知識的同時，注重考查能力〞的原那么，確立以能力立意的指導思想，將知識、能力與素質融為一體，全面檢測考生的數學素養(yǎng).一、近三年陜西高考數學試題分析(一)解讀命題指導思想“考能力永遠是高考命題的主題.〞立足根底，突出能力是高考數學命題的根本思路，也是高中數學高考備考的根本原那么.深化能力立意，突出考查能力與素質應當是命題的導向.明年高考數學考試仍將以數學思想方法和數學能力為重點，通過多角度、多層次的考查，使之發(fā)揮區(qū)分和選拔功能.(二)數學科考試的宗旨主要測試數學的“三基〞和“四能〞.1.三基：數學根底知識、根本技能、根本思想方法.2.四能：數學思維能力、運算能力、空間想象能力、分析和解決問題的能力以及創(chuàng)新意識.

(三)高考數學命題特點抓根底、出活題；重應用、考能力.3.1題型題量、內容保持相對穩(wěn)定.今年是我省高考自主命題的第三年,數學科考查的內容與前兩年根本一致，保持考查內容穩(wěn)定的風格，試題難度根本持平〔以立體幾何與解析幾何為例〕。立體幾何解析幾何題號分值題號分值2006年11，15，19215，7，21222007年6,10,15,19263,7,14，21262008年9，14，19215,8,10，20273.2“重點知識重點考查〞,突出考查學科主干知識.立體幾何中的重點知識為線線、線面、面面的平行和垂直關系；棱柱、棱錐的概念和性質；球的性質、球和正方體、長方體、錐體的切接問題。解析幾何中的重點知識為直線方程、直線和圓的位置關系；橢圓、雙曲線、拋物線的方程以及幾何性質，直線和圓錐曲線的位置關系.今年高考將仍堅持從根底知識、根本方法、重點內容出發(fā)設計試題，對重點內容和知識進行了重點考查，試卷覆蓋面較大.3.3注重考查數學思想方法,考查通性通法.比較三年的陜西高考數學試卷，可以發(fā)現(xiàn)試卷仍然非常重視高中數學根底知識和根本數學思想方法的考查，同時突出對主干知識和重要數學思想方法的考查,解法中重視學生對通性通法的理解和掌握程度.3.4注重能力立意，適宜于不同的考生發(fā)揮各自的水平.立體幾何試題以線面、面面的平行、垂直關系等主干知識為依托，全面考查學生的空間想象能力；解析幾何以直線和圓錐曲線的位置關系為依托，考查學生用代數方法解決幾何問題的通性通法，變形及選擇計算方法的能力.并且問題的設計努力為學生自主探究、研究問題的本質、尋找適宜的解題方法、展示自己的能力提供廣闊的空間.3.5試題層次清楚，難度保持相對穩(wěn)定.繼續(xù)堅持多角度、多層次的考查方式，延續(xù)了去年分步設問、分散難點的做法，進一步表達了多題把關的命題特點，易、中、難題比例大致符合考試說明中的3：5：2.各類題型的起點難度較低，階梯遞進，由淺入深，拾級而上.選擇題、填空題由運用根底知識即可一望而解，到需要在深刻理解知識的前提下靈機一動.12道選擇題中便有1-7、8-10和11，12題這樣明顯的三個難度的層次遞進，解答題的17、18、19題均為容易得分的題目，20、21、22題有一定難度.這樣設計分散難點，改一題“壓軸〞為多題“壓軸〞，有利于不同學習程度的學生展示自己的真實水平.1、概念不清，亂套公式定理法那么.如只有一條線線垂直就推出線面垂面，由正棱柱ABC－A1B1C1不知道提供了那些重要信息；對橢圓、雙曲線的第一、第二定義不清楚，a,b,c的關系混淆，焦距為c，短軸為b等。2、公式用錯，屢屢發(fā)生；計算錯誤，隨處可見.二、高考閱卷中反映的問題3、書寫格式不標準，證明題隨意減少必要的文字說明、證明過程或演算步驟.4、理性思維不深刻.〔一〕夯實根底知識，練好根本技能三、09年高考數學復習策略高考對數學根底知識的考查，要求全面，但不刻意追求知識點的百分比，對支撐數學科知識體系的主干根底知識，考查時保證較高的比例并保持必要的深度，即重點知識重點考查。從我們所帶歷屆高三學生的高考情況的調研來看，相當一局部考生在答題中的一些失誤，并不是因缺乏靈活的思維和敏銳的感覺，而恰恰是因對規(guī)定的根底知識、根本理論的掌握還存在某些欠缺，甚至有所偏廢所致。09年立體幾何命題方向預測：題型：一選一填一解答，分值大約占總分的14℅左右?？疾榉较颍阂皇强疾榫€線、線面、面面關系及其關系，簡單幾何體的體積與外表積、球與其它幾何體的切接問題，球的問題仍有可能出現(xiàn)在選擇或填空題中。二是考查化歸、割補、展開、類比、構造、折疊等立幾中的數學思想方法。三是考查遷移能力，要關注立體幾何與解析幾何交匯的開放性問題?！?8浙江10〕如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，假設點P在平面內運動，使得△ABP的面積為定值，那么動點P的軌跡是〔A〕圓〔B〕橢圓〔C〕一條直線〔D〕兩條平行直線復習盲點：①與正方體的12條棱都相切的球半徑與棱長的關系；②與正四面體的6條棱都相切的球半徑與棱長的關系；③正六棱柱的外接球問題，〔08海南15〕一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面。該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9/8，底面周長為3，那么這個球的體積為___。④〔08浙江14〕如圖，球O面上四點A、B、C、D，DA平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，那么球O點體積等于___?！?8安徽16〕A,B,C,D在同一個球面上,AB⊥平面BCD，BC⊥CD，假設AB=6，AD=8，那么B,C兩點間的球面距離是。09年立體幾何命題方向預測：題型：二選一填一解答，分值大約占總分的16℅左右。考查方向：一是直線的方程，點到直線的距離公式，圓錐曲線的焦點、頂點、準線、離心率及圓錐曲線的幾何性質等根底知識，以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般涉及2個以上知識點.如〔08陜西7〕雙曲線C:，以C的右焦點為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是〔〕A． B． C．aD．b二是考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題，一般為選擇題；直線與圓錐曲線的位置關系是高考解析幾何的核心，主要討論直線與圓錐曲線的公共點個數，弦長、弦的中點問題、討論直線與圓錐曲線的兩個交點與第三個點形成的線之間的垂直問題、長度相等問題等。如〔08陜西7〕雙曲線C:，的左、右焦點分別是F1、F2，過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于點M，假設MF2⊥x軸，那么雙曲線的離心率為〔〕三是考查直線與圓錐曲線的位置關系，求曲線方程，參數的取值范圍、最值問題、定值問題、對稱問題、考查學生分析問題和計算能力，這類題一般考生不容易完整解答，可以拉開檔次，能表達高考的選拔功能。四是考查解析幾何中的思想方法，如數形結合、轉化與化歸、分類討論等及利用韋達定理、判別式、曲線系方程、坐標法等方法也會重點考查。在高考復習教學中，首先要重視對立體幾何、解析幾何中的概念、性質、公理、定理等根底知識的全面、仔細地梳理與回憶，既重視各知識的發(fā)生、開展過程，又要注意弄清各知識的內部結構和內在聯(lián)系，形成立體幾何、解析幾何的知識板塊.其次注重對各知識板塊進行縱橫聯(lián)系，尋找其共同點，建構清晰明了的知識體系與完整的數學認知結構，把書由“厚〞變“薄〞，做到信手拈來，呼之欲出.〔二〕揭示內在聯(lián)系，構建知識網絡

立體幾何中的三種角：異面直線所成角、斜線與平面所成角、二面角。

求立體幾何中點到平面的距離的思路：1.直接判斷出表示點到平面距離的線段并求出其長度；2.利用面面垂直的性質定理；3.轉化為三棱錐的高，再利用體積法求出此高的值。

拋物線經過焦點F的直線交拋物線于Ａ、Ｂ，經過A，B分別向準線做垂線，垂足分別為A1，B1，設A（ｘ1，ｙ１）,Ｂ（ｘ２，ｙ２）。結論1：

結論5：∠A1FB1=90°結論３：點A、Ｏ、B1共線。結論2：結論4：結論6：以AB為直徑的圓與準線相切?！踩程釤挃祵W思想，優(yōu)化思維策略數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含在數學知識發(fā)生、開展和應用的過程中。因此，對它的考查是考查考生能力的必由之路，在考查知識的同時，考查數學思想和方法是必然之舉。在高考中涉及的數學思想主要有以下四種:〔1〕分類討論思想;(2)函數與方程的思想;(3)轉化與化歸思想;(4)數形結合思想.3-1分類討論的思想：所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答.實質上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整〞的數學策略.這種思想對于簡化研究對象，開展學生的思維有著重要作用，因此，有關分類討論的數學命題在高考試題中占有重要位置.如解析幾何中在研究是否存在直線滿足某種性質時，要分直線斜率不存在和存在兩種情況討論。如立體幾何中說空間中兩條直線時，要分這兩條直線相交、平行和異面三種情況進行討論。例1．在直角坐標系中，分別是與x,y軸正方向同向的單位向量．在直角三角形ABC中，假設，那么k的可能值個數是()A．1B．2C．3D．4解：由，得，假設△ABC為直角三角形，那么角B、C、A都有可能為直角，由向量積為0，分別有2＋k－1=0或3＋k〔k－1〕=0或6＋k=0,解得k=－1或－6，應選B.

例2四面體的頂點和各棱的中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有()A.150種B.147種C.144種D.141種解：任取4個點共210種取法.四點共面的有三類：〔1〕每個面上有6個點，有60種；〔2〕4條棱的中點共3種；〔3〕一條棱上的三點與對棱的中點共6種。故4個不共面的點的取法共有210－60－3－6=141種.例3〔06年陜西11〕平面α外不共線的三點A,B,C到α的距離都相等,那么正確的結論是()A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必與α相交C.平面ABC必不垂直于αD.存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內3-2函數與方程的思想：運用函數與方程的思想解題時，往往要將字母看作變量，將代數式看作函數，利用函數的性質做工具進行分析，或者將一個等式看作某一個未知數的方程，或者構造一個函數把外表上不是函數的問題化歸為函數問題。如在解析幾何中中要求某個三角形面積的最大值，常常把這個三角形面積表示為某個變量〔如直線的斜率〕的函數，再利用函數的知識求得這個最值。3-3轉化與化歸的思想轉化與化歸思想方法的實質是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉化。從這個意義上講，解決數學問題就是從未知向轉化的過程。轉化與化歸的思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實質就是一步步轉化的過程。數學中的轉化比比皆是，解析幾何中把直線與曲線的交點問題轉化為判斷直線方程和曲線方程所組成的方程組的公共解的個數問題。如在立體幾何中根據“點線—線線—線面—面面〞之間的聯(lián)系，常常利用“立體問題平面化〞；再如求不規(guī)那么幾何體的體積時，我們通過對圖形進行分割，拼補，轉換，從而把不規(guī)那么幾何體的體積轉化為規(guī)那么幾何體的和差，到達解題的目的。ABCD、ABEF是兩個正方形，且不在同一個平面內，M、N分別是對角線AC、FB上的點，且AM=FN。求證：MN//平面CBE。

3-4數形結合的思想數形結合就是通過數與形之間的對應關系和轉化來解決數學問題。它包含以形助數和以數解形兩個方面。利用它可以使復雜命題簡單化。它兼有數的嚴謹和形的直觀，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一。例.實數x,y滿足，那么y/x的最大值為例，函數

的最大值為.[分析]“橫看成嶺側成峰，遠近上下各不同〞.此題主要考查函數最值的求法，以及邏輯思維能力和運算能力，側重于考查觀察、分析能力與思維的靈活性.假設能夠仔細觀察函數解析式的結構特征，開掘出隱藏在題目背后的豐富的數學“三基〞，靈活運用有關知識，那么可望速戰(zhàn)速決，發(fā)現(xiàn)快捷解法.解法1數形結合法.首先考察問題的幾何意義:令那么直線與半圓有公共點(如下圖)，解法2換元法.

令，那么

〔當時取等號〕.〔四〕研究能力變化，逐步提高水平數學科的高考，不但要考查出考生數學知識的積累是否到達進入高校學習的根本水平，而且要以數學知識為載體，測量出考生將知識遷移到不同情境的能力，從而檢測出考生已有的和潛在的學習能力。高三階段復習時，抓住主干知識強化復習，做到主干知識要精，新增內容要熟，要做一題通一片，題目做完后要及時地總結反思，建立錯題本.這里說的“錯〞，是指把平時做作業(yè)中的錯誤收集起來。高三復習，各類試題要做十幾套，甚至幾十套。有的同學做題只重數量不重質量，做過之后不問對錯就放到一邊，這種做法很不科學。做題的目的是培養(yǎng)能力，是尋找自己的弱點和缺乏的有效途徑。因此，發(fā)現(xiàn)錯誤及時研究改正，并總結經驗以免再犯，時間長了就知道做題的時候有哪些方面應引起注意，出錯的時機就大大減少了。如果平時做題出錯較多，就只需在試卷上把錯題做上標記，在旁邊寫上評析，然后把試卷保存好，每過一段時間，就把“錯題筆記〞或標記錯題的試卷看一看。在看參考書時，也可以把精彩之處或做錯的題目做上標記，以后再看這本書時就會有所側重。查漏補缺的過程就是反思的過程。除了把不同的問題弄懂以外，還要學會“舉一反三〞，及時歸納。高考碰到平時做過的陳題可能性不大，而解題所需的知識、方法和能力要求都不會超出大綱，都會在平時復習中遇到，關鍵是要能觸類旁通。