平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用省賽一等獎

第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用考試要求1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2了解平面向量的數(shù)量積；3掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；4能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系；5會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題；1平面向量數(shù)量積的有關概念知識梳理|a||b|cosθ2平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示3平面向量數(shù)量積的運算律 1a·b＝b·a交換律 2λa·b＝λa·b＝a·λb結合律 3a＋b·c＝a·c＋b·c分配律4平面幾何中的向量方法 三步曲：1用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題； 2通過向量運算，研究幾何元素之間的關系； 3把運算結果“翻譯”成幾何關系，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線2平面向量數(shù)量積運算的常用公式 1a＋b·a－b＝a2－b2； 2a±b2＝a2±2a·b＋b2診斷自測1判斷下列結論正誤在括號內打“√”或“×”2老教材必修4P108AT1改編設a，b是非零向量“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的 A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 解析·b＝|a|·|b|cosθ＝|a|·|b|，所以cosθ＝1，即a與b的夾角為0°，故a∥b 當a∥b時，a與b的夾角為0°或180°， 所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝±|a|·|b|， 所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要條件 答案Ab·2a－b＝2a·b－b2＝－18答案D答案C答案D62017·全國Ⅰ卷已知向量a＝－1，2，b＝m，1若向量a＋b與a垂直，則m＝________ 解析由題意得a＋b＝m－1，3， 因為a＋b與a垂直，所以a＋b·a＝0，所以－m－1＋2×3＝0，解得m＝7 答案7考點一平面向量的數(shù)量積運算＝15－10－12＋6＝－1解析1如圖，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2答案1－12A規(guī)律方法平面向量數(shù)量積的兩種運算方法：1（基底法）當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉2（坐標法）當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝1，y1，b＝2，y2，則a·b＝12＋y1y2解析1因為|a|＝|b|＝1，向量a與b的夾角為45°，角度1垂直問題考點二平面向量數(shù)量積的應用多維探究答案A規(guī)律方法兩個向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0，即：a＝1，y1，b＝2，y2，則a⊥b?a·b＝0?12＋y1y2＝0應認識到此充要條件對含零向量在內的所有向量均成立，因為可視零向量與任意向量垂直角度2長度問題答案1B2D∴a－2b2＝a2－4a·b＋4b2＝16，∴|a－2b|＝4角度3夾角問題解析由a－b⊥b，可得a－b·b＝0，∴a·b＝b2答案B考點三平面向量與三角函數(shù)規(guī)律方法平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路：1題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關系式，然后求解2給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內的有界性求解因為a2＝b2＋c2－2bccosA，所以12＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，贏得高分巧用解析法解平面向量壓軸題平面向量問題一般有兩種解決方法：一是利用平面向量基本定理選擇基底，利用向量的線性運算解決；二是通過建立坐標系轉化為代數(shù)運算解決思維升華對比以上兩種方法，你會發(fā)現(xiàn)第二種解法，即解析法思路更加簡單，解析法可能不是最快的解題方法，但一定是思路最簡單的方法，這種方法可能運算繁瑣，但和線性運算相比，可大大減少思路卡殼的可能法二以點A為坐標原點，AB所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示數(shù)學運算、數(shù)學建模——平面向量與三角形的“四心”1數(shù)學運算是指在明晰運算的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)通過學習平面向量與三角形的“四心”，學生能進一步發(fā)展數(shù)學運算能力，形成規(guī)范、細致運算的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神2數(shù)學建模要求在熟悉的情境中，發(fā)現(xiàn)問題并轉化為數(shù)學問題，能夠在關聯(lián)的情境中，經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，理解數(shù)學建模的意義本專題通過學習平面向量與三角形的“四心”模型，能夠培養(yǎng)學生用模型的思想解決相關問題類型1平面向量與三角形的“重心”∴點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心答案C類型2平面向量與三角形的“內心”問題解析根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動點P的軌跡是以OB，OC為鄰邊的平行四邊形及其內部，其面積為△BOC的面積的2倍在△ABC中，設內角A，B，C所對