等比數(shù)列及其前n項和

§63等比數(shù)列及其前n項和基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)一般地，如果一個數(shù)列 ，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的，通常用字母表示q≠01等比數(shù)列的定義知識梳理2等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝ 從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)公比qa1·qn－1如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的 3等比中項4等比數(shù)列的常用性質(zhì)1通項公式的推廣：an＝am· n，m∈N*2若{an}為等比數(shù)列，且＋l＝m＋n，l，m，n∈N*，則等比中項qn－ma·al＝am·an公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為項和公式項和的性質(zhì)qn等比數(shù)列{an}的單調(diào)性知識拓展判斷下列結(jié)論是否正確請在括號中打“√”或“×”1滿足an＋1＝qann∈N*，q為常數(shù)的數(shù)列{an}為等比數(shù)列 2G為a，b的等比中項?G2＝ab 3如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列

4如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列 思考辨析××××

1教材改編已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q等于考點自測答案解析

22015·課標(biāo)全國Ⅱ已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7等于A21B42C63D84答案解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故選B.

3設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則S6等于A31B32C63D64答案解析根據(jù)題意知，等比數(shù)列{an}的公比不是－1.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故選C.4教材改編在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為________答案解析27,81設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的兩個數(shù)分別為9×3＝27,27×3＝81.答案解析－11設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，題型分類深度剖析題型一等比數(shù)列基本量的運算例112015·課標(biāo)全國Ⅱ已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4a4－1，則a2等于

答案解析由{an}為等比數(shù)列，得a3a5＝

，又a3a5＝4(a4－1)，所以

＝4(a4－1)，解得a4＝2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a4＝a1q3，得2＝

q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝

.故選C.答案解析2n－1思維升華等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程組可迎刃而解

跟蹤訓(xùn)練11設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，4＝1，S3＝7，則S5等于答案解析22015·湖南設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝______答案解析3n－1由3S1，2S2，S3成等差數(shù)列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比數(shù)列通項an＝a1qn－1＝3n－1.題型二等比數(shù)列的判定與證明例2設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n－1Sn＋2nn∈N*．1求a2，a3的值；解答∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n－1Sn＋2nn∈N*，∴當(dāng)n＝1時，a1＝2×1＝2；當(dāng)n＝2時，a1＋2a2＝a1＋a2＋4，∴a2＝4；當(dāng)n＝3時，a1＋2a2＋3a3＝2a1＋a2＋a3＋6，∴a3＝8綜上，a2＝4，a3＝82求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列．證明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n－1Sn＋2nn∈N*， ①∴當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋n－1an－1＝n－2Sn－1＋2n－1． ②①－②，得nan＝n－1Sn－n－2Sn－1＋2＝nSn－Sn－1－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2Sn－1＋2．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，故{Sn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．思維升華1證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可2利用遞推關(guān)系時要注意對n＝1時的情況進行驗證證明跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋11證明：{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；證明題型三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例31若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝_____答案解析50因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.答案解析方法一

∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，思維升華等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類：1通項公式的變形；2等比中項的變形；3前n項和公式的變形根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口

跟蹤訓(xùn)練31已知在等比數(shù)列{an}中，a1a4＝10，則數(shù)列{lgan}的前4項和等于A4 B3C2 D1答案解析前4項和S4＝lga1＋lga2＋lga3＋lga4＝lg(a1a2a3a4)，又∵等比數(shù)列{an}中，a2a3＝a1a4＝10，∴S4＝lg100＝2.

2設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于答案解析因為a7＋a8＋a9＝S9－S6，且公比不等于－1，在等比數(shù)列中，S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，所以有8(S9－S6)＝(－1)2，S9－S6＝

，即a7＋a8＋a9＝

.分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用思想與方法系列131利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項公式；2求出前n項和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明規(guī)范解答思想方法指導(dǎo)(1)解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為－2S2，S3，4S4成等差數(shù)列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，課時作業(yè)12345678910111213,3＋3,6＋6，…的第四項等于A－24B0C12D24答案解析√由,3＋3,6＋6成等比數(shù)列，得3＋32＝6＋6解得1＝－3或2＝－1不合題意，舍去故數(shù)列的第四項為－2422016·珠海模擬在等比數(shù)列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，則公比q等于√答案解析123456789101112133在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n等于A12 B13C14 D15√答案解析因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，故選C.123456789101112131234567891011121342016·昆明模擬在等比數(shù)列{an}中，若a3，a7是方程2＋4＋2＝0的兩根，則a5的值是√答案解析根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，所以a3<0，a7<0，即a5<0，123456789101112135中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了A192里B96里C48里D24里√答案解析1234567891011121362016·銅仁質(zhì)檢在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sinlog3a1＋log3a2＋…＋log3a7的值為√答案解析1234567891011121312345678910111213為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，則公比q＝______答案解析4由①－②，得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，123456789101112138設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________答案解析150依題意，知數(shù)列{an}的公比q≠－1，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.123456789101112139已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝1n∈N*，則通項an＝________答案解析∵an＋Sn＝1，

①12345678910111213答案解析1024∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1024.1234567891011121311．已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}是等比數(shù)列．1求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式