離散數(shù)學(xué)第10章 代數(shù)系統(tǒng)

第10章

代數(shù)系統(tǒng)

本章學(xué)習(xí)目標(biāo)在一個(gè)非空集合上定義某種運(yùn)算法則和運(yùn)算規(guī)律，稱之為具有了代數(shù)結(jié)構(gòu)。本章所講的代數(shù)系統(tǒng)是指抽象的概念，即不具體指哪一個(gè)系統(tǒng)，運(yùn)算也不具體是哪一個(gè)運(yùn)算，一旦抽象的系統(tǒng)性質(zhì)被證實(shí)，那么這些結(jié)論和方法將用于實(shí)際。

通過本章學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)該掌握以下內(nèi)容：（1）二元運(yùn)算的相關(guān)概念和性質(zhì)（2）半群和獨(dú)異點(diǎn)的概念及其判定（3）群和子群的概念及其性質(zhì)（4）阿貝爾群和循環(huán)群的概念和性質(zhì)（5）置換群的概念和伯恩賽德定理

（6）陪集、正規(guī)子群和商群的概念以及拉格朗日定理（7）群的同態(tài)與同構(gòu)的概念及其判定第10章

代數(shù)系統(tǒng)10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)

10.2代數(shù)系統(tǒng)

10.3群的定義10.4子群

10.5阿貝爾群和循環(huán)群

10.6置換群與伯恩賽德定理

10.7陪集與拉格朗日定理

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.1二元運(yùn)算

定義10.1.1

設(shè)A，B，C為集合，如果f是A×B到C的一個(gè)映射，則稱f是A×B到C的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算。

例如，A=｛所有整數(shù)｝，B=｛所有不等于零的整數(shù)｝，C=｛所有有理數(shù)｝，則f：A×B→C，是一個(gè)A×B到C的代數(shù)運(yùn)算，也就是普通的除法。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.1二元運(yùn)算

定義10.1.2

設(shè)A為集合，如果f是A×A到A的代數(shù)運(yùn)算，則稱f是A上的一個(gè)二元運(yùn)算，也稱作集合A對于代數(shù)運(yùn)算f來說是封閉的。

例10.1.1（1）整數(shù)集合Z上的加法、減法和乘法都是Z上的二元運(yùn)算，而除法不是。（2）實(shí)數(shù)集合R上的加法、減法和乘法都是R上的二元運(yùn)算，但除法不是。10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.1二元運(yùn)算

（3）非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法、除法都是R*上的二元運(yùn)算，但加法和減法不是。（4）集合A的冪集P（A）上的集合的并、交都是P（A）上的二元運(yùn)算。（5）設(shè)Mn（R）表示所有n階（n≥2）實(shí)矩陣的集合，則矩陣的加法和乘法都是Mn（R）上的二元運(yùn)算。

。10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.1二元運(yùn)算

例10.1.2（1）設(shè)A={1，2}，則f：（1，1）→1，（2，2）→2，（1，2）→2，（2，1）→1是一個(gè)A上的二元運(yùn)算。（2）設(shè)R為實(shí)數(shù)集合，f：（a，b）→a+ab是R上的二元運(yùn)算。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.1二元運(yùn)算

例10.1.3設(shè)A為非零正整數(shù)，如下定義A上的二元關(guān)系*：計(jì)算3*2，2*3。解：3*2=32=9，2*3=23=8類似于二元運(yùn)算，也可以定義集合A上的n元運(yùn)算。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.1二元運(yùn)算

定義10.1.3設(shè)A為集合，n為正整數(shù)，An=A×A×A…×A表示A的n階笛卡爾積。映射f：An→A稱為A上的一個(gè)n元代數(shù)運(yùn)算，簡稱n元運(yùn)算。

n個(gè)n個(gè)

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.1二元運(yùn)算

例10.1.4（1）求一個(gè)數(shù)的絕對值是整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R上的一元運(yùn)算。（2）求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R上的一元運(yùn)算。（3）求一個(gè)n（n≥2）階實(shí)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是Mn（R）上的一元運(yùn)算。（4）R為實(shí)數(shù)集，令f：Rn→R，（x1，x2，…xn）→x1，則f是R上的n元運(yùn)算。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.1二元運(yùn)算

當(dāng)A為有窮集時(shí)，A上的二元運(yùn)算可以用運(yùn)算表來給出。設(shè)A={a1，a2，…，an}，為A上的二元運(yùn)算，它的運(yùn)算表如表10.1-1所示：

表10.1-1anan

…ana2

ana1

an…

…a2an

…

a2a2

a2a1

a2

a1an…a1a2a1a1a1an…a2a110.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.1二元運(yùn)算

例如例10.1.2的運(yùn)算表是：

1222112110.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

定義10.1.4

設(shè)為集合A上的二元運(yùn)算，若對任意x，y∈A，都有xy=yx，則稱該二元運(yùn)算是可交換的，也稱運(yùn)算在A上滿足交換律。

例10.1.5設(shè)Z是整數(shù)集合，是Z上的二元運(yùn)算，對任意的a，b∈Z，ab=2a+b，問運(yùn)算是否可交換？解：因?yàn)閍b=2a+b=2b+a=ba，所以是可交換的。10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

定義10.1.4

設(shè)為集合A上的二元運(yùn)算，若對任意x，y，z∈A，都有（xy）z=x（yz），則稱該二元運(yùn)算是可結(jié)合的，也稱運(yùn)算在A上滿足結(jié)合律。

例10.1.6

設(shè)A為非空集合，為集合A上的二元運(yùn)算，對任意的a，b∈A，ab=a，證明是可結(jié)合的。

證明因?yàn)閷τ谌我獾腶，b，c∈A，（ab）c=ac=a，而a（bc）=ab=a，所以有（ab）c=a（bc），因此運(yùn)算是可結(jié)合的。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

例10.1.7設(shè)R為實(shí)數(shù)集，為集合R上的二元運(yùn)算，對任意的a，b∈R，ab=a+2b，問這個(gè)運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律嗎？解因?yàn)?3=2+2×3=8，而32=3+2×2=7，23≠32，故該運(yùn)算不滿足交換律。又因?yàn)椋?3）4=（2+2×3）+2×4=16，而2（34）=2+2×（3+2×4）=23，（23）4≠2（34），故該運(yùn)算也不滿足結(jié)合律。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

定義10.1.6

設(shè)，*為集合A上的兩個(gè)二元運(yùn)算，若對任意x，y，z∈A，有x（y*z）=（xy）*（xz）和（y*z）x=（yx）*（zx）成立，則稱運(yùn)算對運(yùn)算*是可分配的，或稱運(yùn)算對運(yùn)算*滿足分配律。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)例10.1.8

實(shí)數(shù)集R上的乘法對加法是可分配的，但加法對乘法不滿足分配律。

10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

定義10.1.7

設(shè)，*為集合A上的兩個(gè)可交換二元運(yùn)算，若對任意x，y∈A，都有x（x*y）=x和x*（xy）=x，則稱運(yùn)算和運(yùn)算*是可吸收的，或稱運(yùn)算和運(yùn)算*滿足吸收律。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)例10.1.9

設(shè)X為非空集合，P（X）為X的冪集，P（X）上的二元運(yùn)算交∩和并∪滿足吸收律：A，B∈P（X），有A∩（A∪B）=A，A∪（A∩B）=A。

10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

定義10.1.8設(shè)為集合A上的二元運(yùn)算，若對任意x∈A，都有xx=x，則稱該二元運(yùn)算是等冪的，或稱運(yùn)算在A上滿足冪等律。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)例10.1.10

非空集合X的冪集P（X）對于集合的交運(yùn)算∩和并運(yùn)算∪都是等冪的。

10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

定義10.1.9設(shè)為集合A上的二元運(yùn)算，10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)（1）若存在el∈A（或er∈A），使得對任意x∈A都有elx=x（或xer=x），則稱el（或er）是A中關(guān)于運(yùn)算的左（或右）單位元。若e∈A關(guān)于運(yùn)算既為左單位元又為右單位元，則稱e為A中關(guān)于運(yùn)算的單位元。在有的書中稱單位元為幺元。

（2）若存在θl∈A（或θr∈A），使得對任意x∈A都有θlx=θl（或xθr=θr）則稱θl（或θr）是A中關(guān)于運(yùn)算的左（或右）零元。若θ∈A關(guān)于運(yùn)算既為左零元又為右零元，則稱θ為關(guān)于運(yùn)算的零元。

10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

例10.1.11

對于實(shí)數(shù)集合R上的普通加法運(yùn)算來說，0是單位元，沒有零元；對于乘法運(yùn)算來說，1是單位元，0是零元。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)例10.1.12

設(shè)有一個(gè)由有限個(gè)字母組成的集合X，叫字母表，在X上構(gòu)造任意長的字母串，叫做X上的句子或字，串中字母的個(gè)數(shù)叫做這個(gè)串的長度，且當(dāng)一個(gè)串的長度n=0時(shí)用符號∧表示，稱作空串。這樣構(gòu)造出了一個(gè)在X上的所有串的集合X*。

10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

定理10.1.1

設(shè)為集合A上的二元運(yùn)算，若A中存在左單位元el和右單位元er，則el=er=e，且A中的單位元e是唯一的。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)證明因?yàn)閑l和er分別是A中關(guān)于的左單位元和右單位元，所以el=eler=er=e。假設(shè)另有一單位元e'，則e'=e‘e=e，由此可知，單位元是唯一的。

10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

定理10.1.2

設(shè)為集合A上的二元運(yùn)算，若A中存在左零元θl和右零元θr，則θl=θr=θ，且A中的零元θ是唯一的。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)定理10.1.3

設(shè)集合A中至少含有兩個(gè)元素，e和θ分別為A中關(guān)于運(yùn)算的單位元和零元，則e≠θ。證明假設(shè)e=θ，則對任意x∈A，有x=xe=xθ=θ，與A中至少包含兩個(gè)元素矛盾。10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

定義10.1.10

設(shè)為集合A上的二元運(yùn)算，且e是A中關(guān)于運(yùn)算的單位元。如果對于A中的一個(gè)元素x，存在yl∈A（或yr∈A），使得ylx=e（或xyr=e），則稱yl（或yr）是x關(guān)于運(yùn)算的左（或右）逆元。如果元素y既是x的左逆元，又是x的右逆元，則稱y是x的一個(gè)逆元。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)顯然，如果y是x的逆元，那么x也是y的逆元，此時(shí)簡稱x和y互為逆元。

10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

例10.1.13

設(shè)集合A={1，2，3，4}，定義在A上的二元運(yùn)算*如表10.1-3所示：

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)*123411234223413312444123通過運(yùn)算表可以看出，元素1是單位元，元素2和4互為逆元，2和3是4的左逆元，3和4是2的左逆元，2和4是3的右逆元，但3沒有左逆元。

10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

定理10.1.4

設(shè)為集合A上可結(jié)合的二元運(yùn)算，且單位元為e，對于A中任意元素x，若存在x的關(guān)于運(yùn)算的左逆元yl和右逆元yr，則有yl=yr=y，且y是x關(guān)于運(yùn)算的唯一的逆元。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)證明yl和yr分別是x的關(guān)于運(yùn)算的左逆元和右逆元，則有ylx=e，xyr=e。由于運(yùn)算是可結(jié)合的，故有yl=yle=yl（xyr）=（ylx）yr=eyr=yr。

10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

定理10.1.4

設(shè)為集合A上可結(jié)合的二元運(yùn)算，且單位元為e，對于A中任意元素x，若存在x的關(guān)于運(yùn)算的左逆元yl和右逆元yr，則有yl=yr=y，且y是x關(guān)于運(yùn)算的唯一的逆元。

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)令y=yl=yr，則y是x關(guān)于運(yùn)算的逆元。假設(shè)y，z均是x的逆元，則有y=ye=y（xz）=（yx）z=eоz=z，所以關(guān)于運(yùn)算的逆元是唯一的。

根據(jù)這個(gè)定理，以后，把一個(gè)元素x的逆元記為x-1。

10.1.2二元運(yùn)算的性質(zhì)

10.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)例10.1.14（1）整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R上的普通加法和乘法適合消去律。（2）n（n≥2）階實(shí)矩陣集合Mn（R）上的矩陣加法適合消去律，但矩陣乘法不適合消去律。

定義10.1.11

設(shè)為集合A上的二元運(yùn)算，若對任意x，y，z∈A（x不是運(yùn)算的零元），都有xy=xzy=z，yx=zxy=z，則稱運(yùn)算在A中適合消去律。10.2代數(shù)系統(tǒng)

定義10.2.1非空集合A和A上k個(gè)一元或二元運(yùn)算f1，f2，…，fk組成的系統(tǒng)稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，簡稱代數(shù)，記作（A，f1，f2，…，fk）。由定義可知，一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)需要滿足下面三個(gè)條件：（1）有一個(gè)非空集合A。（2）有一些建立在集合A上的運(yùn)算。（3）這些運(yùn)算在集合A上是封閉的。

10.2代數(shù)系統(tǒng)

例10.2.1（1）一個(gè)在整數(shù)集Z上且?guī)в屑臃ㄟ\(yùn)算“+”的系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)（Z，+）。（2）一個(gè)在實(shí)數(shù)集R上且?guī)в屑臃ㄟ\(yùn)算“+”與乘法運(yùn)算“×”的系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)（R，+，×）。（3）n（n≥2）階實(shí)矩陣的集合Mn（R）及矩陣加法運(yùn)算“+”和矩陣乘法運(yùn)算“·”的系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)（Mn（R），+，·）。

10.2代數(shù)系統(tǒng)

例10.2.2

在例10.1.12中得到的集合X*及并置運(yùn)算“”構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)（X*，）。若令X+=X*-{∧}，則（X+，）也是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。這兩種代數(shù)系統(tǒng)都是計(jì)算機(jī)科學(xué)中經(jīng)常要用到的代數(shù)系統(tǒng)。

例10.2.3

設(shè)有一計(jì)算機(jī)，它的字長是32位，并由定點(diǎn)加、減、乘、除以及邏輯加、邏輯乘等多種運(yùn)算指令，這時(shí)在該計(jì)算機(jī)中由232有限個(gè)不同的數(shù)字所組成的集合S及計(jì)算機(jī)的運(yùn)算型機(jī)器指令構(gòu)成了一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。

10.2代數(shù)系統(tǒng)

例10.2.4

設(shè)代數(shù)系統(tǒng)（A，*），其中A={x，y，z}，*是A上的一個(gè)二元運(yùn)算。對于表10.2-1中所確定的幾個(gè)運(yùn)算，試分別討論它們的交換性、等冪性，并且討論在A中關(guān)于*是否有零元及單位元，如果有單位元，那么A中的元素是否有逆元。

yxzzxzyyzyxxzyx*zzzzzxyyzyxxzyx*zyxzzyxyzyxxzyx*yzzzzyyyzyxxzyx*(a)(b)(c)(d)10.2代數(shù)系統(tǒng)

yxzzxzyyzyxxzyx*zzzzzxyyzyxxzyx*zyxzzyxyzyxxzyx*yzzzzyyyzyxxzyx*(a)(b)(c)(d)解

（a）具有交換性，但不具有等冪性。沒有零元，x為單位元。每個(gè)元素均有逆元，x-1=x，y-1=y，z-1=z。

（b）具有交換性，但不具有等冪性。z為零元，x為單位元，z沒有逆元，x和y有逆元，分別為x，y。

10.2代數(shù)系統(tǒng)

yxzzxzyyzyxxzyx*zzzzzxyyzyxxzyx*zyxzzyxyzyxxzyx*yzzzzyyyzyxxzyx*(a)(b)(c)(d)（c）不具有交換性，但具有等冪性。x，y，z均為右零元，同時(shí)也都是左單位元。

（d）具有交換性，但不具有等冪性。沒有零元，x為單位元。x-1=x，但y，z沒有逆元。

10.2代數(shù)系統(tǒng)

通過代數(shù)系統(tǒng)（A，）的運(yùn)算可判別運(yùn)算的一些性質(zhì)：

1．運(yùn)算具有封閉性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表中的每個(gè)元素都屬于A。

2．運(yùn)算具有可交換性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表中元素關(guān)于主對角線成對稱分布。

3．運(yùn)算具有等冪性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表的主對角線上的元素排列與運(yùn)算表的表頭元素的排列順序相同。

6．設(shè)A中有單位元，a和b互逆，當(dāng)且僅當(dāng)位于a所在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素都是單位元。

5．A關(guān)于運(yùn)算有單位元，當(dāng)且僅當(dāng)該元素所在的行和列的元素排列都與運(yùn)算表的表頭元素的排列順序相同。

4．A關(guān)于運(yùn)算有零元，當(dāng)且僅當(dāng)該元素所在的行和列的元素都與該元素相同。

10.2代數(shù)系統(tǒng)

通過代數(shù)系統(tǒng)（A，）的運(yùn)算可判別運(yùn)算的一些性質(zhì)：

如果元素x所在的行或者所在的列沒有單位元，那么x必不是可逆元素。易看出，單位元e一定是可逆元，且e-1=e，而零元θ不是可逆元。

10.3群的定義

10.3.1半群

定義10.3.1

設(shè)（S，）是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中S是非空集合?！啊笔嵌\(yùn)算，如果運(yùn)算滿足結(jié)合律，即對任意的a，b，c∈S，有（ab）c=a（bc），則稱代數(shù)系統(tǒng)（S，）是半群。

如果半群（S，）滿足交換律，即對任意a，b∈S，有ab=ba，則稱（S，）為交換半群。

如果半群（S，）存在單位元e∈S，即對任意a∈S有ae=ea=a，則稱（S，）是獨(dú)異點(diǎn)。

10.3群的定義

10.3.1半群

例10.3.1（1）整數(shù)集Z，有理數(shù)集合Q，實(shí)數(shù)集R關(guān)于普通加法都可以構(gòu)成半群和獨(dú)異點(diǎn)，0為單位元。（2）正整數(shù)集Z+關(guān)于普通加法構(gòu)成半群，但沒有單位元，不是獨(dú)異點(diǎn)。（3）n（n≥2）階實(shí)矩陣的集合Mn（R）關(guān)于矩陣加法或矩陣乘法都能構(gòu)成半群和獨(dú)異點(diǎn)。n階全零矩陣和n階單位矩陣分別為關(guān)于矩陣加法和矩陣乘法的單位元。（4）冪集P（B）關(guān)于集合的并可以構(gòu)成半群和獨(dú)異點(diǎn)，集合B為其單位元；P（B）關(guān)于集合的交也可以構(gòu)成半群和獨(dú)異點(diǎn)，空集Φ為其單位元。

證明

顯然（Z+，）是代數(shù)系統(tǒng)。對于任意的a，b，c∈Z+，（ab）c=[[a，b]，c]=[a，b，c]=[a，[b，c]]=a（bc），因此（Z+，）是半群。

10.3群的定義

10.3.1半群

例10.3.2

設(shè)為正整數(shù)集Z+的二元運(yùn)算，對于任意的a，b∈Z+，ab=[a，b]，即ab表示a和b的最小公倍數(shù)，則（Z+，）是半群，同時(shí)也是獨(dú)異點(diǎn)。

又存在1∈Z+，對任意的a∈Z+，有（a1）=[a，1]=a=[1，a]=（1a），故1是（Z+，）中的單位元，所以（Z+，）是獨(dú)異點(diǎn)。

10.3群的定義

10.3.1半群

aabaaaba例10.3.3設(shè)A＝{a，b}，A的運(yùn)算由表10.3-1規(guī)定：

顯然，（A，）是半群，但沒有單位元。

10.3群的定義

10.3.1半群

定理10.3.1

設(shè)（S，）是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn)，則在關(guān)于的運(yùn)算表中每行（列）內(nèi)容均不相同。

證明

設(shè)S中關(guān)于運(yùn)算的單位元是e。任取a，b∈S，a≠b，則有ae=a≠b=be，故運(yùn)算表中任何兩行不相同。類似地，也可以證明任何兩列也不相同。

10.3群的定義

10.3.2群

（1）運(yùn)算滿足結(jié)合律，即對任意a，b，c∈G有（ab）c=a（bc）。（2）存在單位元e∈G。（3）對于每一個(gè)元素a∈G，存在它的唯一逆元a-1∈G。則稱此代數(shù)系統(tǒng)（G，）是群。

定義10.3.2

設(shè)（G，）是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中G是非空集合，是G上一個(gè)二元運(yùn)算，如果滿足下列條件：

10.3群的定義

10.3.2群

例10.3.4

（1）（Z，+）是一個(gè)群，稱為整數(shù)加群，其中Z是整數(shù)集，運(yùn)算+是普通加法。0是其單位元，對于任意x∈Z，-x是x的逆元。但正整數(shù)集Z+關(guān)于普通加法來說不構(gòu)成群。

（2）（Zn，）是群，稱為模n整數(shù)加群，其中Zn={0，1，…，n-1}，規(guī)定對任意x，y∈Zn，xy=（x+y）modn。0是其單位元，對于任意i∈Zn，n-i是i的逆元。

10.3群的定義

10.3.2群

（3）設(shè)n≥2，（Mn（R），+）是群，稱為n階實(shí)矩陣加群，其中Mn（R）為n階實(shí)矩陣的全體，運(yùn)算+是矩陣的加法。n階全零矩陣是其單位元，-M是矩陣M的加法逆元。

（4）設(shè)n≥2，（GLn（R），·）是群，其中GLn（R）為n階實(shí)可逆矩陣的全體，運(yùn)算·是矩陣的乘法。n階單位矩陣In是其單位元，逆矩陣A-1是矩陣A的逆元。

10.3群的定義

10.3.2群

定義10.3.3

設(shè)（G，）是一個(gè)群，如果G是有限集，那么稱（G，）是有限群，G中元素的個(gè)數(shù)通常稱為該有限群的階數(shù)，記為|G|；如果G是無限集，則稱（G，）是無限群。

例10.3.5

設(shè)G={e}，G對于乘法ee＝e來說構(gòu)成一個(gè)群。={所有奇數(shù)}，但對于普通乘法來說不構(gòu)成群。

定義10.3.4

設(shè)a為群（G，）的一個(gè)元素，使an=e的最小正整數(shù)n，叫做元素a的階。如果這樣的n不存在，則稱a的階為無限（或稱是零）。元素a的階常用|a|表示。

10.3群的定義

10.3.2群

例10.3.6

設(shè)，試證H對矩陣的乘法“·”構(gòu)成群。

證明按矩陣乘法列運(yùn)算表如表10.3-2所示：

10.3群的定義

10.3.2群

·

10.3群的定義

10.3.2群

從表中可以看出：

（1）矩陣乘法是H的二元運(yùn)算，是封閉的；

（2）為單位元；

（3）每個(gè)元素都有逆元，其逆元是其本身。

由線性代數(shù)內(nèi)容可知，矩陣的乘法滿足結(jié)合律，所以H關(guān)于矩陣的乘法也滿足結(jié)合律。綜上所述（H，·）是群。

10.3群的定義

10.3.3群的性質(zhì)

性質(zhì)1設(shè)（G，）是群，對任意a，b∈G有（1）（a-1）-1=a（2）（ab）-1=b-1a-1（3）anam=an+mm，n∈Z（4）（an）m=anmm，n∈Z證明（1）因?yàn)閍a-1=a-1a=e，據(jù)逆元是相互的性質(zhì)，a-1的逆元是a，即（a-1）-1=e。

10.3群的定義

10.3.3群的性質(zhì)

性質(zhì)1設(shè)（G，）是群，對任意a，b∈G有（2）（ab）（b-1a-1）=a（bb-1）a-1=aea-1=aa-1=e。同理可證，（b-1a-1）（ab）=e，由逆元定義（ab)-1=b-1a-1。

10.3群的定義

10.3.3群的性質(zhì)

（3）只需考慮n，m異號的情況，不妨設(shè)n<0，m>0，則n=--n1，n1>0。

anam=am=a-1…a-1a…a

=

=an+mn1個(gè)m個(gè)10.3群的定義

10.3.3群的性質(zhì)

性質(zhì)2一個(gè)階大于1的群一定沒有零元。證明使用反證法，假設(shè)存在元素a∈G，a≠e，有aa=a，則必有e=a-1a=a-1（aa）=（a-1a）a=ea=a與a≠e矛盾。

10.3群的定義

10.3.3群的性質(zhì)

性質(zhì)3（等冪性）群中不存在單位元以外的元素具有等冪性。證明使用反證法，假設(shè)存在元素a∈G，a≠e，有aa=a，則必有e=a-1a=a-1（aa）=（a-1a）a=ea=a與a≠e矛盾。

證明先證有解，對任意a，b∈G，因?yàn)橛衋（a-1b）=（aa-1）b=eb=b，所以x=a-1b，同理可得y=ba-1。

10.3群的定義

10.3.3群的性質(zhì)

性質(zhì)4設(shè)（G，）是群，對任意a，b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且有唯一解。其次證明唯一性：如果方程ax=b有另一解，則必有a=b。因此＝e=（aa-1）=a-1（a）=a-1b=x。同理可證ya=b在G中有唯一解。

10.3群的定義

10.3.3群的性質(zhì)

定理10.3.2

設(shè)（G，）是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，如果滿足下列條件：（1）運(yùn)算滿足結(jié)合律；（2）如果任意a，b∈G，方程ax=b和ya=b在G內(nèi)有唯一解。則（G，）是群。10.3群的定義

10.3.3群的性質(zhì)

性質(zhì)5（消去律）設(shè)（G，）是一個(gè)群，對任意a，b，c∈G，如果ab=ac或ba=ca，那么可得b=c。證明設(shè)ab=ac，且a的逆元是a-1，則有b=eb=（a-1a）b=a-1（ab）=a-1（ac）=（a-1a）c=ec=c。同理，也可由ba=ca，推得b=c。10.4子群

10.4.1子群

定義10.4.1

設(shè)（G，）是一個(gè)群，H是G的非空子集，如果H對于G的運(yùn)算來說構(gòu)成一個(gè)群，則稱（H，）是（G，）的一個(gè)子群，簡記作H≤G。例10.4.1

任意群（G，）至少有下面兩個(gè)子群：（1）由G本身得到的群（G，）。（2）（{e}，），其中e為群（G，）的單位元。

10.4子群

10.4.1子群

定義10.4.2

設(shè)（G，）是群，（H，）是（G，）的子群，如果H=G或H={e}，則稱（H，）是（G，о）平凡子群。

例10.4.2

設(shè)（Z，+）是群，其中Z為整數(shù)集，+為普通加法。Z0為全體偶數(shù)組成的子集，則（Z0，+）是（Z，+）的子群。

證明由于全體整數(shù)對加法滿足結(jié)合律，所以其部分亦滿足，故Z0對“+”滿足結(jié)合律，又易證0是其單位元，對于每個(gè)偶數(shù)2n，n∈Z，都有-2n∈Z，使2n+（-2n）=0，即Z0中每個(gè)元素都有逆元。故（Z0，+）是（Z，+）的子群。

10.4子群

10.4.1子群

例10.4.3

（Z，+）是（Q，+）、（R，+）的子群，其中Z為整數(shù)集，Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，+為普通加法。

例10.4.4

前面例10.3.6中，H是n階實(shí)矩陣的集合Mn（R）的子集，且（H，·）是群，所以（H，·）是（Mn（R），·）的子群。

10.4子群

10.4.1子群

定理10.4.1

設(shè)（G，о）是群，（H，о）是（G，о）的子群，則子群H的單位元就是G中的單位元，H中元素a在H中的逆元就是a在G中的逆元。

證明設(shè)是子群（H，о）的單位元，e是群的單位元，則о==оe，由消去律可知，=e。

同樣，若是a在子群（H，о）中的逆元，a-1是a在群（G，о）中的逆元，則оa=e=a-1оa，于是由消去律可知，=a。

10.4子群

10.4.2子群的判定

定理10.4.2

設(shè)（G，о）是群，H是G的非空子集，則（H，о）是（G，о）的子群，當(dāng)且僅當(dāng)（1）a，b∈H，有aоb∈H；（2）a∈H，有a-1∈H。

定理10.4.3

設(shè)（G，о）是群，H是G的非空子集，則

（H，о）是（G，о）的子群，當(dāng)且僅當(dāng)a，b∈H，有aоb-1∈H。

定理10.4.4

設(shè)（G，о）是群，H是G的有限非空子集，則

（H，о）是（G，о）的子群，當(dāng)且僅當(dāng)a，b∈H，有aоb∈H。

10.4子群

10.4.2子群的判定

例10.4.5

設(shè)R為實(shí)數(shù)集合，G={（a，b）|a，b∈R，且a≠b}。定義G上的運(yùn)算如下：（a，b），（c，d）∈G，（a，b）*（c，d）=（a·c，b+d），其中“·”、“+”分別為實(shí)數(shù)的乘法和加法。試證明：（1）（G，*）是群；（2）設(shè)H={（1，b）|b∈R}，則（H，*）是（G，*）的子群。

10.4子群

10.4.2子群的判定

證明（1）顯然運(yùn)算*是封閉的，即（G，*）是代數(shù)系統(tǒng)。（a，b），（c，d），（e，f）∈G，有：（a，b）*（（c，d），（e，f））=（a，b）*（c·e，d+f）=（a·c·e，b+d+f）=（a·c，b+d）*（e，f）=（（a，b）*（c，d））*（e，f）

故運(yùn)算*滿足結(jié)合律。

10.4子群

10.4.2子群的判定

按運(yùn)算定義，（a，b）∈G，有（a，b）*（1，0）=（1，0）*（a，b）=（a，b）。因此（1，0）是（G，*）的單位元。又（a，b）*（，-b）=（，-b）*（a，b）=（1，0），所以（a，b）有逆元（，-b）∈G。綜上所述，（G，*）是群。

10.4子群

10.4.2子群的判定

（2）設(shè)H={（1，b）|b∈R}，（1，a），（1，b）∈H，有（1，b）-1=（1，-b）。因此，（1，a）*（1，b）-1=（1，a）*（1，-b）=（1，a-b）∈H。根據(jù)定理10.4.3可知：（H，*）是（G，*）的子群。

例10.5.1

設(shè)（Z，·），（Q，·），（R，·）都是阿貝爾群，其中Z為正整數(shù)集，Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，·為普通乘法。

10.5阿貝爾群和循環(huán)群

10.5.1阿貝爾群

定義10.5.1

如果群（G，）中的運(yùn)算滿足交換律，即任意a，b∈G均有ab=ba，則稱該群為阿貝爾（Abel）群，或交換群。

例10.5.2設(shè)G={a，b，c，d}，“·”為G上的二元運(yùn)算，它由表10.5-1給出。不難知道，（G，·）是一個(gè)群，且是一個(gè)阿貝爾群。e為G中的單位元，G中任何元素的逆元就是它自己，稱這個(gè)群為Klein四元群，簡稱四元群。

10.5阿貝爾群和循環(huán)群

10.5.1阿貝爾群

·

eabceeabcaaecbbbceaccbae證明x∈G，有x2=e，即xx=e，因此x-1=x。a，b∈G，則ab=a-1b-1=（ba）-1=ba。因此（G，）是阿貝爾群。

10.5阿貝爾群和循環(huán)群

10.5.1阿貝爾群

例10.5.3試證明如果群（G，）的每個(gè)元素都滿足方程x2=e，則（G，）是阿貝爾群。

10.5阿貝爾群和循環(huán)群

10.5.1阿貝爾群

定理10.5.1證明關(guān)于群（G，）的下列說法是等價(jià)的：

（1）（G，）是阿貝爾群；（2）a，b∈G，（ab）2=a2b2；（3）a，b∈G，（ab）-1=a-1b-1；（4）a，b∈G，（ab）n=anbn；（5）a，b∈G，存在三個(gè)相鄰整數(shù)n，使（ab）n=anbn。

10.5阿貝爾群和循環(huán)群

10.5.2循環(huán)群

定義10.5.2設(shè)（G，）是群，若存在元素a∈G，使得G={an|n∈Z}，則稱該群為循環(huán)群。記作G=（a），并稱元素a是循環(huán)群（G，）的生成元。

例10.5.4整數(shù)加群（Z，+）是循環(huán)群，可驗(yàn)證1是其生成元。

例10.5.5模n整數(shù)加群（Zn，）是循環(huán)群，其中Zn＝{0，1，…，n-1}，可驗(yàn)證1是其生成元。

10.5阿貝爾群和循環(huán)群

10.5.2循環(huán)群

定理10.5.2設(shè)G=（a）關(guān)于運(yùn)算是無限循環(huán)群，則G只有兩個(gè)生成元a和a-1。

證明

由G=（a），任取ak∈G，有ak=（a-1）-k，從而a-1也是G的生成元。

再證明G只有a和a-1這兩個(gè)生成元。假設(shè)b也是G的生成元，則G=（b），由a∈G，可知存在整數(shù)s使得a=bs，又由b∈G=（a）可知，存在一整數(shù)t使得b=at，從而得到a=bs=（at）s=ats。由群的消去律得ats-1=e。因?yàn)镚是無限群，必有ts-1=0。從而證明t=s=1或t=s=-1，即b=a或b=a-1。

10.5阿貝爾群和循環(huán)群

10.5.2循環(huán)群

定理10.5.3

任何一個(gè)循環(huán)群必定是阿貝爾群。

證明設(shè)（G，）是一個(gè)循環(huán)群，它的生成元是a。那么，對于任意的x，y∈G，必有m，n∈Z，使得x=am和y=an。又有xy=aman=am+n=anam=yx，因此，（G，）是一個(gè)阿貝爾群。

10.5阿貝爾群和循環(huán)群

10.5.2循環(huán)群

定理10.5.4

循環(huán)群的子群必是循環(huán)群。

定理10.5.5

設(shè)（G，）是一個(gè)由元素a∈G生成的有限循環(huán)群。如果G的階數(shù)是n，那么元素a的階也是n，即|G|=|a|，且此時(shí)G={a，a2，…，an-1，an=e}。

10.6置換群與伯恩賽德定理

10.6.1置換群

定義10.6.1

非空集合A到它自身的映射f:A→A稱為A上的一個(gè)變換，若f是雙射，則稱f為A上的一個(gè)一一變換。

定理10.6.1設(shè)E（A）為A上的全體一一變換構(gòu)成的集合，則E（A）關(guān)于變換的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群。

例10.6.1

設(shè)A是平面內(nèi)所有點(diǎn)的集合，那么平面繞一個(gè)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)是A的一一變換。設(shè)G是所有繞這個(gè)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)組成的集合，是變換的復(fù)合運(yùn)算，則（G，）是一個(gè)變換群。

10.6置換群與伯恩賽德定理

10.6.1置換群

定義10.6.2當(dāng)A是有限非空集合時(shí)，A上的一一變換稱為A上的置換。當(dāng)|A|=n時(shí)，稱A上的置換為n元置換。

定義10.6.3

有限非空集合A的所有置換構(gòu)成的集合Sn，關(guān)于變換的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的群，稱為n元對稱群。（Sn，）的子群稱為n元置換群。

為方便起見，集合中的元素常用數(shù)碼1，2，…，n表示，這樣就可以將A上的n元置換σ記作σ=易見σ（1），σ（2），…，σ（n）恰為1，2，…，n的一個(gè)排列。由此可知|Sn|=n!。

10.6置換群與伯恩賽德定理

10.6.1置換群

例10.6.1

設(shè)A={1，2，3}，則S3={σ1，σ2，

…，

σ6}，其中

σ1=，σ2=，σ3=σ4=，σ5=，σ6=。S3的運(yùn)算表如表10.6-1所示。

10.6置換群與伯恩賽德定理

10.6.1置換群

易見，（{σ1，σ2}，），（{σ1，σ3}，），（{σ1，σ4}，）都是三元對稱群（S3，）的子群，即都是A上的置換群。

10.6置換群與伯恩賽德定理

10.6.1置換群

定義10.6.4一個(gè)置換σ，如果把數(shù)碼i1變成i2，i2變成i3，…，ik-1變成ik，又把ik變成i1，但別的元素（如果還有的話）都不變，則稱σ是一個(gè)k－循環(huán)對換，簡稱為k－循環(huán)或循環(huán)，并表示成

σ=（i1i2…ik）=（i2i3…iki1）=…=（iki1…ik-1）。

例如=（132）=（321）=（213）

證明設(shè)σ=（i1i2…ik）與τ=（j1j2…js）為兩個(gè)不相連的循環(huán)，則由變換的復(fù)合運(yùn)算可知，στ與τσ都是集合{1，2，…，n}的一下變換：i1→i2，i2→i3，…，ik-1→ik，ik→i1，j1→j2，j2→j3，…，jk-1→jk，jk→j1，別的元素不動。因此，στ=τσ。

10.6置換群與伯恩賽德定理

10.6.1置換群

定理10.6.2

設(shè)σ，τ∈Sn，若σ與τ是不相連循環(huán)，則στ=στ。10.6置換群與伯恩賽德定理

10.6.1置換群

定理10.6.3

每個(gè)置換都可表示為不相連循環(huán)的復(fù)合；每個(gè)循環(huán)都可表示為對換的復(fù)合，因此，每個(gè)置換都可表示為對換的復(fù)合。

證明（1）任何一個(gè)置換都可以把構(gòu)成一個(gè)循環(huán)的所有元素按連貫順序緊靠在一起，而把不動的元素放在最后。例如==（125）（36）。

10.6置換群與伯恩賽德定理

10.6.1置換群

一般地，對任意置換σ有=（i1i2…ik）（j1j2…js）。

2）由置換的復(fù)合可知（i1i2…ik）=（i1ik）（i1ik-1）…（i1i3）（i1i2），從而定理得證。10.6置換群與伯恩賽德定理

10.6.1置換群

例10.6.2

S3的6個(gè)元素用循環(huán)表示出來就是（1），（12），（13），（23），（123），（132）。例10.6.3S4的24個(gè)元素用循環(huán)或循環(huán)的復(fù)合表示出來就是

（1）；（12），（13），（14），（23），（24），（34）；（123）,（124）,（132）,（134）,（142），（143）,（234）,（243）；（1234），（1243），（1324），（134