工程力學(運動學與動力學)-13-點的運動學與剛體的基本運動_第1頁
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范欽珊教育與教學工作室Thursday,September28,2023返回總目錄工程力學清華大學范欽珊課堂教學軟件(13)第三篇運動學與動力學工程力學工程運動學涉及工程運動分析的基本的概念、基本理論和基本方法。這些內(nèi)容不僅是工程運動學的基礎(chǔ),而且也是工程動力學(dynamics)的基礎(chǔ)。運動學的研究對象是點和剛體。工程運動學的分析方法主要是矢量方法。第三篇運動學與動力學工程力學第13章點的運動學與剛體基本運動第三篇運動學與動力學工程力學

運動學(kinematics)研究物體在空間的位置隨時間的變化,即物體的運動,但是不涉及引起運動的原因。物體的運動都是相對的,因此研究物體的運動必須指明參考體和參考系。物體運動的位移、速度和加速度都是矢量,因此研究運動學采用矢量方法。而且,一般情形下,這些矢量的大小和方向會隨著時間的變化而變化,因而稱為變矢量。變矢量運算與常矢量有相同之處,也有不同之處。這是學習運動學的難點。第13章點的運動學與剛體基本運動

點的運動學

剛體的簡單運動

結(jié)論與討論第13章點的運動學與剛體基本運動返回總目錄

點的運動學返回第13章點的運動學與剛體基本運動

點的運動學

參考系

位矢、速度和加速度

點的運動學

參考系

點的運動學

參考系根據(jù)運動的相對性,研究物體的運動,必須選取另一個物體作為參考,這一物體稱為參考體(referencebody),與參考體固連的坐標系稱為參考系(referencesystem)。參考體總是一個大小有限的物體,而參考系則應(yīng)理解為與參考體固連的整個坐標空間。例如,若以地球作為參考體,研究行星的運動,對于所研究的行星而言,地球是遙遠而不可及的,但是與地球固連的參考系卻可以延伸到所研究的行星處。

點的運動學

位矢、速度和加速度

點的運動學

位矢、速度和加速度點(point)的運動主要有直線運動(rectilinearmotion)和曲線運動(curvilinearmotion)兩種形式。后者又有平面曲線和空間曲線之分。

曲線運動——最一般的情形為三維變速曲線運動

點的運動學

位矢、速度和加速度

點的運動學

位矢、速度和加速度

曲線運動——最一般的情形為三維變速曲線運動xzyO考察定參考系中,沿空間曲線運動的點P。自坐標原點O向點P作矢量r,稱為點P對于原點O的位置矢量(positionvector),簡稱位矢。當點P運動時,位矢r也隨該點一起運動,且為時間t的單值函數(shù):rr′r

r=r(t)P

描述點的運動的矢量法因此,位矢為變矢量。r=r(t)則是用變矢量表示的點的運動方程。點P在運動過程中,其位置矢量的端點描繪出一條連續(xù)曲線,稱為位矢端圖(hodographofpositionvector)。顯然,位矢端圖就是點P的運動軌跡(trajectory)。PP′

點的運動學

位矢、速度和加速度xzyOr(t)r(t+

t)

rvt瞬時:矢徑r(t)

r(t)=r(t+

t)-r(t)點在t瞬時的速度

t時間間隔內(nèi)矢徑的改變量,稱為點的位移t+

t瞬時:矢徑r(t+

t)

或r(t)+

r(t)描述點的運動的矢量法在時間間隔Δt內(nèi),點由位置P運動到其方向沿軌跡切線方向,指向點的運動方向。PP′

點的運動學

位矢、速度和加速度t瞬時:速度v(t)

v(t)=v

(t+

t)-v(t)點在t瞬時的加速度:

t時間間隔內(nèi)速度的改變量v′t+

t瞬時:速度v(t+

t)

或v(t)+

v(t)xzyO描述點的運動的矢量法顯然,速度v和加速度a也都是變矢量。r′P′v′

vPrv

點的運動學

位矢、速度和加速度xzyOyxzjikravP不受約束的點在空間有3個自由度,在直角坐標系中,點在空間的位置由3個方程確定:x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)描述點的運動的直角坐標法

點的運動學

位矢、速度和加速度xzyOyxzjikravP將矢徑表示成考慮到在Oxyz定參考系中,i、j、k均為常矢量描述點的運動的直角坐標法點的速度為:

點的運動學

位矢、速度和加速度xzyOyxzrav描述點的運動的直角坐標法P

點的速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應(yīng)坐標對時間的一階導(dǎo)數(shù)。

點的運動學

位矢、速度和加速度xzyOyxzrav描述點的運動的直角坐標法P

點的加速度矢量在直角坐標軸上的投影等于點的相應(yīng)坐標對時間的二階導(dǎo)數(shù)。

點的運動學

位矢、速度和加速度如果已知點的軌跡,則可在軌跡上任取一點為原點,運動的點P至原點的弧長s=OP,并且規(guī)定:原點O的某一側(cè)弧長為正;另一側(cè)為負。這種具有確定正負號的弧長s稱為P點的弧坐標(arccoordinateofadirectedcurve)?;∽鴺藄完全確定了動點P在軌跡上的位置。點運動時,其弧坐標隨時間而變化:這就是動點P的弧坐標形式的運動方程。描述點的運動的弧坐標法

點的運動學

位矢、速度和加速度弧坐標具有以下要素:1、有坐標原點(一般在軌跡上任選一參考點作為坐標原點);2、有正、負方向(一般以點的運動方向作為正向);3、有相應(yīng)的坐標系。描述點的運動的弧坐標法

點的運動學

位矢、速度和加速度

弧坐標中的速度表示點的速度在切線軸上的投影等于弧坐標對時間的一階導(dǎo)數(shù)。

點的運動學

位矢、速度和加速度幾點討論

若則,即點沿著s+的方向運動;反之點沿著s-的方向運動;

中v

分別表示速度的大小與方向。

點的運動學

位矢、速度和加速度根據(jù)加速度的定義以及弧坐標中速度的表達式

弧坐標中的加速度表示

點的運動學

位矢、速度和加速度

弧坐標中的加速度表示

點的運動學

位矢、速度和加速度

n′′

0時,

的極限方向垂直于

,亦即n方向。

弧坐標中的加速度表示P

sP'

點的運動學

位矢、速度和加速度

0時,

的極限方向垂直于

,亦即n方向。

弧坐標中的加速度表示

點的運動學

位矢、速度和加速度

弧坐標中的加速度表示

點的運動學

位矢、速度和加速度

弧坐標中的加速度表示-切向加速度-法向加速度

點的運動學

位矢、速度和加速度幾點討論

切向加速度表示速度矢量大小的變化率;

法向加速度表示速度矢量方向的變化率;

點的運動學

位矢、速度和加速度

自然軸系當運動軌跡為空間曲線時,弧坐標系中所得到的結(jié)論同樣成立,只需將弧坐標系擴展為自然軸系。

點的運動學

位矢、速度和加速度

自然軸系-密切面

點的運動學

位矢、速度和加速度

自然軸系-密切面

點的運動學

位矢、速度和加速度

自然軸系過P點與運動軌跡相切的平面稱為密切面(osculatingplane)。

點的運動學

位矢、速度和加速度密切面s-s+PT(切線)N(主法線)B(副法線)P-空間曲線上的動點;T-過動點P的密切面內(nèi)的切線,其正向指向弧坐標正向;N-密切面內(nèi)垂直于切線的直線,其正向指向曲率中心;B-過動點P垂直于切線和主法線的直線,其正向由B=T

N確定。

自然軸系P-TNB

點的運動學

位矢、速度和加速度s-s+T(切線)N(主法線)B(副法線)

自然軸系P-TNB上述三相互正交的軸線構(gòu)成了隨時間變化的直角坐標系,稱為自然軸系(trihedralaxesofaspacecurve)。于是上述關(guān)于速度和加速度的公式和結(jié)論均成立。而且,加速度在副法線方向的投影恒為零。

點的運動學

位矢、速度和加速度

自然軸系P-TNB

點的運動學

位矢、速度和加速度自然軸系的特點跟隨動點在軌跡上作空間曲線運動。s-s+T(切線)N(主法線)B(副法線)自然軸系的基矢量

自然軸系P-TNB

bn

點的運動學

位矢、速度和加速度

空間曲線上的任意點都存在密切面,而且是唯一的。

空間曲線上的任意點無窮小鄰域內(nèi)的一段弧長,可以看作是位于密切面內(nèi)的平面曲線。

曲線在密切面內(nèi)的彎曲程度,稱為曲線的曲率,用1/

表示。

曲線在垂直于密切面的平面內(nèi)的曲率,稱為第二曲率。

自然軸系P-TNB-由密切面得到的幾點結(jié)論

點的運動學

位矢、速度和加速度例題1橢圓規(guī)機構(gòu)描述點的運動的直角坐標法

點的運動學

位矢、速度和加速度求:P點的運動方程、速度、加速度。例題1橢圓規(guī)機構(gòu)求:P點的運動方程、速度、加速度。描述點的運動的直角坐標法1、建立固定參考系Oxy;2、將所考察的點置于坐標系中的一般位置;3、根據(jù)已知的約束條件列寫點的運動方程。

點的運動學

位矢、速度和加速度例題1描述點的運動的直角坐標法P點的運動方程:從中消去t得到P點的軌跡方程1、建立固定參考系Oxy;2、將所考察的點置于坐標系中的一般位置;3、根據(jù)已知的約束條件列寫點的運動方程。

點的運動學

位矢、速度和加速度例題1描述點的運動的直角坐標法P點的運動方程:P點的速度:P點的加速度:

點的運動學

位矢、速度和加速度例題1幾點討論:1、建立運動方程時,一定要將所考察的點置于坐標系中的一般位置:對于直線坐標,位于坐標軸的正向;對于直角坐標系,位于坐標系的第一象限。2、關(guān)于P點運動的性質(zhì):何時作加速度運動?何時作減速度運動?這一問題請同學們自己研究。

點的運動學

位矢、速度和加速度例題2半徑為R的圓盤沿直線軌道無滑動地滾動(純滾動),設(shè)圓盤在鉛垂面內(nèi)運動,且輪心A的速度為v0(t)1.分析圓盤邊緣一點M的運動,并求當M點與地面接觸時的速度和加速度以及M點運動到最高處時,軌跡的曲率半徑;2.討論當輪心的速度為常數(shù)時,輪邊緣上各點的速度和加速度分布。Rv0A

點的運動學

位矢、速度和加速度M例題2于是M點的運動方程為:解:1.建立坐標系Oxy取點M所在的一個最低位置為原點O,設(shè)在任意時刻t圓盤的轉(zhuǎn)過的角度為

CAM=

,

為時間t的函數(shù),C是圓盤與軌道的接觸點,由于圓盤作純滾動,所以:

點的運動學

位矢、速度和加速度點M的速度分量為:加速度分量為:于是M點的運動方程為:Ma

點的運動學

位矢、速度和加速度例題2解:

2.建立和與圓盤中心A點的速度v0(t)之間的關(guān)系將其對t求一次導(dǎo)數(shù),可得aMa

點的運動學

位矢、速度和加速度例題2因為圓盤沿直線軌道作純滾動,故輪心A點作水平直線運動,所以有再對t求一次導(dǎo)數(shù),可得這對于沿直線軌跡滾動的物體都是正確的。引入

則有Ma

點的運動學

位矢、速度和加速度例題2Ma即輪上M點的速度大小與M點到C點(輪上與地面接觸點)的距離成正比。其方向由下式確定:M點的速度大小為

點的運動學

位矢、速度和加速度解:2.建立和與圓盤中心A點的速度v0(t)之間的關(guān)系例題2于是,純滾動時輪上各點的速度如圖所示。v

MC當

=0和

=2

時,M點與地面接觸,此時M點的速度為零。從圖中的幾何關(guān)系可以證明:任意點的速度矢量垂直于滾動時輪與地面接觸點的連線,即,Ma

點的運動學

位矢、速度和加速度例題2加速度可由式求得由此可見,當M點與地面接觸時,其加速度的大小不等于零,方向垂直于地面向上。該加速度是點M在此瞬時的切向加速度,因為此時速度為零,故其法向加速度為零。

點的運動學

位矢、速度和加速度例題2Ma這時M點的速度為v=2v0,于是,軌跡在最高處的曲率半徑為:

3.確定M點的軌跡在最高點處的曲率半徑

M點軌跡在最高點處的切線方向與i同向;曲線向下彎曲,所以主法線方向與-j同向。于是,法向加速度的大小為:由于當

=

時,M點的速度和加速度分別為:

點的運動學

位矢、速度和加速度例題24.討論:若v0為常矢量,則

為常量,故,此時由式M點加速度大小恒為:M點加速度的方向由下式確定:根據(jù)式

點的運動學

位矢、速度和加速度例題2所以,這時輪緣上M點的加速度方向均指向輪心A,如圖中所示,此時的加速度既非切向加速度,也非法向加速度,而是這兩種加速度的矢量和。不過請注意,若v0不為常矢量,則加速度方向并不指向輪心。

點的運動學

位矢、速度和加速度例題2

剛體的簡單運動返回第13章點的運動學與剛體基本運動

平移

定軸轉(zhuǎn)動

剛體的簡單運動

平移

剛體的簡單運動

平移

剛體的簡單運動根據(jù)平移的定義,rAB為常矢量,

剛體運動時,其上任意直線永遠平行于其初始位置,這種運動稱為剛體的平行移動(translation),簡稱平移或平動。在平移剛體內(nèi)任選兩點A、B,令點A、B的矢徑分別為rA和rB,則兩條矢端曲線就是這兩點的軌跡。

平移

剛體的簡單運動平移時,同一瞬時,剛體上各點的速度相同,各點的加速度也相同。因此剛體平移時,可以用剛體上任一點(例如質(zhì)心)的運動表示剛體的運動。于是,研究平移剛體的運動可歸結(jié)為研究點的運動。根據(jù)平移的定義,為常矢量,

平移

剛體的簡單運動平移的實例

平移

剛體的簡單運動平移的實例平移的特點

剛體上的各點具有形狀相同的運動軌跡;

剛體上的各點在某一瞬時具有相同的速度和加速度;

剛體平移時的運動分析可以簡化為其上任意一點(一般取為質(zhì)心)的運動分析.

平移

剛體的簡單運動例題3

平移

剛體的簡單運動已知:O1A=O2B=l;O1A桿的角速度和角加速度

。求:C點的運動軌跡、速度和加速度例題3

平移

剛體的簡單運動

平移

剛體的簡單運動解:板運動過程中,其上任意直線始終平行于它的初始位置。因此,板作平移。1、運動軌跡

C點的運動軌跡與A、B兩點的運動軌跡形狀相同,即以O(shè)點為圓心l為半徑的圓弧線。而不是以O(shè)1點為圓心、或以O(shè)3點為圓心的圓弧。例題3

平移

剛體的簡單運動解:板運動過程中,其上任意直線始終平行于它的初始位置。因此,板作平移。2、速度vC=vA=

vB=

l例題3

平移

剛體的簡單運動解:板運動過程中,其上任意直線始終平行于它的初始位置。因此,板作平移。3、加速度例題3

平移

剛體的簡單運動需要注意的是:雖然平板上

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