第七節(jié)基本不等式及應(yīng)用

第七節(jié)基本不等式及應(yīng)用學(xué)習(xí)要求:1探索并了解基本不等式的證明過程2會(huì)用基本不等式解決簡單的最大小值問題1基本不等式?≤?1基本不等式成立的條件:①

a>0,b>0

2等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立?提醒在運(yùn)用基本不等式及其變形時(shí),一定要驗(yàn)證等號(hào)是否成立必備知識(shí)

·

整合

2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為②

?

,幾何平均數(shù)為③

?

,基本

不等式可敘述為兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)3利用基本不等式求最值已知>0,y>0,1如果y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)=y時(shí),y有最小值,是④

2?

簡記為積

定和最小2如果y是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)=y時(shí),y有最大值,是⑤

?

簡記為和定

積最大知識(shí)拓展1基本不等式的兩種常用變形形式1ab≤?a,b∈R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)2ab≥2?a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)2幾個(gè)重要的結(jié)論1?≥?a,b∈R2??≥2ab>03?≤?≤?a>0,b>01判斷正誤正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“?”1不等式a2b2≥2ab與?≥?成立的條件是相同的?2函數(shù)y=?的最小值是2?3函數(shù)f=sin?的最小值為4?4“>0且y>0”是“??≥2”的充要條件?????2新教材人教B版必修第一冊P73例1改編若<0,則??A有最小值,且最小值為2B有最大值,且最大值為2C有最小值,且最小值為-2D有最大值,且最大值為-2D32020遼寧葫蘆島模擬已知實(shí)數(shù)滿足lo?>1,則函數(shù)y=8?的最大值為?A-4

B8C4

D0D42018天津,13,5分已知a,b∈R,且a-3b6=0,則2a?的最小值為

?

考點(diǎn)一利用基本不等式求最值關(guān)鍵能力

·

突破

角度一利用配湊法求最值典例1

2020四川樂山一中月考設(shè)0<<?,則函數(shù)y=43-2的最大值為

?

解析

y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤

=

,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3-2x,即x=

時(shí),等號(hào)成立.∵

∈

,∴函數(shù)y=4x(3-2x)

的最大值為

.角度二利用常數(shù)代換法求最值典例2已知a>0,b>0,ab=1,則??的最小值為4

解析因?yàn)閍+b=1,所以

+

=

(a+b)=2+

+

≥2+2

=4.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

時(shí),取等號(hào).◆變式若本例條件不變,則??的最小值為9

解析因?yàn)閍+b=1,所以

=

=

=5+2

≥5+4=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

時(shí),取等號(hào).角度三消元法求最值典例3已知>0,y>0,3yy=9,則3y的最小值為6

解析解法一:(換元消元法)由已知得x+3y=9-xy,因?yàn)閤>0,y>0,所以x+3y≥2

,所以3xy≤

,當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=1時(shí)取等號(hào),所以x+3y+

≥9,即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.令x+3y=t,則t>0且t2+12t-108≥0,解得t≥6,即x+3y的最小值為6.解法二:(代入消元法)由x+3y+xy=9,得x=

,所以x+3y=

+3y=

=

=

=3(1+y)+

-6≥2

-6=12-6=6.當(dāng)且僅當(dāng)3(1+y)=

,即x=3,y=1時(shí)等號(hào)成立.所以x+3y的最小值為6.名師點(diǎn)評(píng)1利用配湊法求最值,主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式2常數(shù)代換法,主要解決形如“已知y=tt為常數(shù),求??的最值”的問題,先將??轉(zhuǎn)化為?·?,再用基本不等式求最值3當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí),通常考慮利用已知條件消去部分

變量后,湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式,最后利用基本不等式求最

值12020湖北孝感應(yīng)城第一高級(jí)中學(xué)模擬已知>0,y>0,2y2y=8,則2y的

最小值是?A3

B4C?

D?B解析

由題意得x+2y=8-x·(2y)≥8-

,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2時(shí)等號(hào)成立.∴(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)·(x+2y+8)≥0,∵x>0,y>0,∴x+2y>0,∴x+2y≥4.22020四川遂寧模擬當(dāng)>1時(shí),?的最小值為5

解析∵x>1,∴x-1>0,由基本不等式得x+

=(x-1)+

+1≥2

+1=5.當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí),等號(hào)成立.因此,x+

的最小值為5.32020吉林長春農(nóng)安實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬已知>0,y>0,且??=1,若2y>m22m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是-4,2

解析

由題意可知x+2y=(x+2y)·

=4+

+

≥4+2

=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=4時(shí)等號(hào)成立,要使x+2y>m2+2m恒成立,則m2+2m<8,解得-4<m<2.考點(diǎn)二利用基本不等式解決實(shí)際問題典例4某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)千件該種產(chǎn)

品,需另投入成本C萬元,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),C=?210當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí),C=51?-1450每件商品的售價(jià)為005萬元通過市場分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完1寫出年利潤L萬元關(guān)于年產(chǎn)量千件的函數(shù)解析式;2當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大解析(1)因?yàn)槊考唐返氖蹆r(jià)為0.05萬元,所以x千件商品的銷售額為0.05×1000x萬元,依題意得,當(dāng)0≤x<80時(shí),L(x)=(0.05×1000x)-

-250=-x2+40x-250.當(dāng)x≥80時(shí),L(x)=(0.05×1000x)-

51x+

-1450

-250=1200-

.所以L(x)=

(2)當(dāng)0≤x<80時(shí),易知L(x)=-

(x-60)2+950.當(dāng)x=60時(shí),L(x)取得最大值,L(60)=950.當(dāng)x≥80時(shí),L(x)=1200-

≤1200-2

=1200-200=1000.當(dāng)且僅當(dāng)x=

,即x=100時(shí),L(x)取得最大值1000.因?yàn)?50<1000,所以當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大,最大利

潤為1000萬元.名師點(diǎn)評(píng)利用基本不等式解決實(shí)際問題的技巧:1根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式,再利用基本不等式求得函數(shù)的最值2解應(yīng)用題時(shí),一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍3在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí),若等號(hào)取不到,則可利用函數(shù)的單調(diào)

性求解1某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存

儲(chǔ)費(fèi)用為4萬元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則的值是30

解析由題意得,一年購買

次,則總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為

×6+4x=4

≥8

=240(萬元),當(dāng)且僅當(dāng)x=30時(shí)取等號(hào),故總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小時(shí),x的值是30.2某游泳館擬建一個(gè)平面圖形為矩形且面積為200平方米的游泳池,如圖池的

深度為1米,四周墻壁建造單價(jià)為每米400元,中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元,池底建造單價(jià)為每平方米60元池壁厚度忽略不計(jì)當(dāng)游泳池的長設(shè)計(jì)

為15

米時(shí),總造價(jià)最低

解析設(shè)游泳池的長為x米,總造價(jià)為y元,則寬為

米,y=400×

+100×

+60×200=800×

+12000≥1600

+12000=36000,當(dāng)且僅當(dāng)x=

(x>0),即x=15時(shí)等號(hào)成立.即游泳池的長設(shè)計(jì)為15米時(shí),總造價(jià)最低.考點(diǎn)三基本不等式的綜合應(yīng)用典例512020廣東惠州調(diào)研在△ABC中,點(diǎn)D是AC上一點(diǎn),且?=4?,P為BD上一點(diǎn),向量?=λ?μ?λ>0,μ>0,則??的最小值為?A16

B8C4

D2A22020北京朝陽模擬如圖,在三棱錐=m,n,,n,--=?,且??≥8恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為1

解析(1)由題意可知,

=λ

+4μ

,因?yàn)锽,P,D三點(diǎn)共線,所以λ+4μ=1,又因?yàn)棣?gt;0,μ>0,所以

+

=

×(λ+4μ)=8+

+

≥8+2

=16,當(dāng)且僅當(dāng)λ=

,μ=

時(shí),等號(hào)成立,故

+

的最小值為16.故選A.(2)∵PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,∴VP-ABC=

×

×3×2×1=1=

+x+y,∴x+y=

,則2x+2y=1.∵a>0,∴

+

=

(2x+2y)=2+2a+

+

≥2+2