計算機輔助設(shè)計5

第5章計算機輔助幾何設(shè)計

5.1自由曲線

5.2自由曲面CAD中由已知曲線或曲面的數(shù)學(xué)方程生成的曲線曲面稱為規(guī)則曲線曲面，常用隱函數(shù)或二次方程的顯函數(shù)表示。但在汽車、輪船、飛機、模具、藝術(shù)品等產(chǎn)品設(shè)計中，存在大量的不能用二次曲面描述的曲線曲面，這類曲線曲面稱為自由曲線（FreeFormCurves）和自由曲面（FreeFormSurfaces），這是計算機輔助幾何設(shè)計研究的主要幾何形狀。計算機如何描述曲面，曲線幾何信息，如何生成，如何控制，如何處理？5.1自由曲線5.1.1曲線曲面描述的基本原理5.1.2Hermite曲線5.1.3Bezier曲線5.1.4B樣條曲線5.1.5非均勻有理B樣條（NURBS）曲線5.1.1曲線曲面描述的基本原理自由曲線可以是由一系列的小曲線段連接而成，自由曲面可以是由無數(shù)個小的曲面片拼合而成。因此，曲線曲面的研究重點是曲線段或曲面片的描述及其連接拼合方法。1.幾何設(shè)計的基本概念在自由曲線和曲面描述中常用三種類型的點：（1）特征點（控制頂點）：用來確定曲線曲面的形狀位置，但曲線或曲面不一定經(jīng)過該點。（2）型值點：用于確定曲線或曲面的位置與形狀并且經(jīng)過該點。(3)插值點：為了提高曲線曲面的精度，在型值點之間插入的一系列點在曲線曲面設(shè)計中，通常是用一組離散的型值點或特征點來定義和構(gòu)造幾何形狀，并且所構(gòu)造的曲線曲面應(yīng)滿足光順的要求。這種曲線曲面定義的主要方法是插值，逼近或擬合。

（1）插值：給定一組精確的數(shù)值點，要求構(gòu)造一個函數(shù)，使之嚴(yán)格地依次通過全部型值點，且滿足光順的要求。(2)擬合：對于一組有誤差的數(shù)據(jù)點，構(gòu)造一個函數(shù)，使之在整體上接近全部數(shù)據(jù)點而不必通過全部數(shù)據(jù)點，使所構(gòu)造的函數(shù)與數(shù)據(jù)點誤差在某種意義上最小。（3）逼近：對于一組給定的控制頂點，要求構(gòu)造一個函數(shù)，使之在整體上最接近這些控制點而不一定通過這些點。（4）光滑(smooth)：從數(shù)學(xué)意義上講，光滑是指曲線或曲面具有至少一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。（5）光順(fair)：至今仍是一個模糊的概念，尚無統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。一方面有主觀的因素，另一方面與應(yīng)用背景相關(guān)。但仍有一些客觀標(biāo)準(zhǔn)及處理方法。（二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)）曲線曲面可以用隱函數(shù)、顯函數(shù)或參數(shù)方程表示。用隱函數(shù)表示不直觀，作圖不方便（如ax+by+c=0，f(x,y,z)=0）；用顯函數(shù)表示存在多值性（如y=f(x),y2=x2+

r2）和斜率無窮大（如y=mx+b）等問題。此外，隱函數(shù)和顯函數(shù)只適合表達(dá)簡單、規(guī)則的曲線曲面。

自由曲線曲面多用參數(shù)方程表示，相應(yīng)地稱為參數(shù)曲線或參數(shù)曲面?？臻g的一條曲線可以表示成隨參數(shù)t變化的運動點的軌跡，其矢量函數(shù)為：

P(t)=P(x(t),y(t),z(t))，t的范圍是[0,1](規(guī)范化）同理，空間中的一張曲面可用參數(shù)(u,v)表示為：

P(u,v)=P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，(u,v)的范圍是[0,1]×[0,1]2.曲線曲面的數(shù)學(xué)描述方法xyzY(t)P(t)Z(t)參數(shù)曲線基礎(chǔ)切矢量坐標(biāo)變量關(guān)于參數(shù)的變化率切矢量表示當(dāng)參數(shù)t遞增了一個單位時三個坐標(biāo)變量的變化量。定義曲線在t處的切矢量為：P0p1pn弧長T=dP/ds=limΔP/Δs(Δs->0)(ds)2=(dx)2+(dy)2+(dz)2引入?yún)?shù)t，上式可改寫為：考慮到矢量的模非負(fù)，所以：故弧長s是t的單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)t(s)存在，且一一對應(yīng)，得P(t)=P(t(s))=P(s)

于是：即T是單位切矢量。也就是說，以弧長為參數(shù)時，曲線的切矢量為單位矢量，記為T(s)。從弧長的定義可見，它既與參數(shù)t的選取無關(guān)，也與坐標(biāo)系無關(guān)，從而以弧長為參數(shù)來表示曲線易于討論曲線本身固有的性質(zhì)。法平面密切平面從切面tnρbP曲線特性分析曲率矢量切矢t(s)對弧長s求導(dǎo)所得的導(dǎo)矢dt(s)/ds單位主法矢曲率矢量單位矢量，記為n(s)曲率：曲率矢量的模長，記為k(s)曲率半徑：曲率的倒數(shù)副法矢：與t和n相互垂直的單位矢量稱為，記為b(s)密切平面：由t和n張成的平面；從切面：由n和b張成的平面法平面：由t和b張成的平面給定參數(shù)曲線PP(t),t[0,1]．若P

(t0)

0，則稱t

t0的對應(yīng)點P(t0)為該曲線的一個奇（異）點；若P

(t0)

0，則稱t

t0的對應(yīng)點P(t0)為該曲線的一個正則點．若P之上點點正則，則稱C為正則曲線，并稱參數(shù)t為正則參數(shù)．若視參數(shù)曲線為動點軌跡，正則點的幾何意義則是當(dāng)參數(shù)在該點處作微小變動時動點的位置同時作真正的變動．正則點和正則曲線例1若參數(shù)曲線C:r

r(t)

a,t

R

，則其幾何圖形僅僅表示一點，而不是正常的曲線；此時所有的參數(shù)值對應(yīng)于圖形實體的同一點．這是非正則曲線的極端例子．例2圓柱螺線視為動點的軌跡，通常參數(shù)化為r(t)

(acos(w

t),asin(w

t),v

t),t

R，其中三個常數(shù)a

0,w

0和v

0分別為動點運動的圓周半徑、角速率和向上速率．此時r

(t)

(

awsin(wt),awcos(wt),v)

0，說明該參數(shù)化使之成為正則曲線．參數(shù)連續(xù)性傳統(tǒng)的、嚴(yán)格的連續(xù)性稱曲線P=P(t)在處n階參數(shù)連續(xù)，如果它在處n階左右導(dǎo)數(shù)存在，并且滿足記號幾何連續(xù)性直觀的、易于交互控制的連續(xù)性0階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處0階幾何連續(xù)，如果它在處位置連續(xù)，即記為1階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處1階幾何連續(xù)，如果它,并且切矢量方向連續(xù)記為2階幾何連續(xù)稱曲線P=P(t)在處2階幾何連續(xù)，如果它在處（1）（2）副法矢量方向連續(xù)（3）曲率連續(xù)幾何連續(xù)與參數(shù)連續(xù)的關(guān)系用參數(shù)表示曲線曲面的優(yōu)點：（1）具有幾何不變性。某些幾何性質(zhì)不隨一定的坐標(biāo)變換而變化的性質(zhì)稱為幾何不變性。曲線形狀本質(zhì)上與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。（2）可以處理無窮大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)當(dāng)dy/dx無窮大時，可以處理分別處理dx/dt=0dy/dt，不會中斷計算。（3)參數(shù)方程將自變量和因變量完全分開，使得參數(shù)變化對各因變量的影響可以明顯地表示出來。（4）可以處理多值曲線。（5）規(guī)格化參數(shù)變量，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的。由于參數(shù)限制在0到1的閉區(qū)間之內(nèi)，因而所表示的曲線總是有界的，不需另設(shè)其他數(shù)據(jù)來定義其邊界。（6）對曲線曲面形狀控制的自由度更大。如一條二維三次曲線的顯式表示為：（7）易于用矢量和矩陣表示幾何量，從而簡化了計算。

其中只有4個系數(shù)可控制曲線的形狀，而對于其參數(shù)表示為：

其中有8個系數(shù)可用來控制曲線的形狀。矢量表示形式加權(quán)和形式缺點沒有明顯的幾何意義與曲線的關(guān)系不明確，導(dǎo)致曲線的形狀控制困難多項式參數(shù)曲線的兩種表達(dá)方式（1/3）矩陣表示矩陣分解，使G中的各矢量具有幾何意義幾何矩陣控制頂點基矩陣M(n+1)×(n+1)的矩陣確定了一組基函數(shù)2/3例子—直線段的矩陣表示P0P1P0+P15.1.2Hermite曲線Hermite曲線是給定曲線段的兩個端點坐標(biāo)以及兩端點處的切線矢量來描述曲線。空間一條三次參數(shù)曲線可以表示為：

該曲線的矢量表達(dá)式為：

應(yīng)用端點P0和P1，以及端點切矢P0’和P1’,可得：矩陣表達(dá)式為：于是，或可以表示為形狀控制改變端點位置矢量調(diào)節(jié)切矢量的方向Hermit曲線的控制調(diào)節(jié)切矢量的長度控制頂點幾何變換對曲線變換等價于對控制頂點變換5.1.3Bezier曲線1962年，法國雷諾汽車公司Bezier提出了一種自由曲線曲面的設(shè)計方法，稱為Bezier方法。其具體設(shè)計過程是：從模型或手繪草圖上取得數(shù)據(jù)后，用繪圖工具繪出曲線圖，然后從這張圖上大致定出Bezier特征多邊形各控制頂點的坐標(biāo)值，并輸入計算機進(jìn)行交互的幾何設(shè)計，調(diào)整特征多邊形頂點的位置，直到得出滿意的結(jié)果為止；最后用繪圖機繪出曲線樣圖。1.Bezier曲線定義在空間給定n+1個控制頂點Pi(I=0,1,…,n)，稱下列參數(shù)曲線為n次Bezier曲線。稱為伯恩斯坦基函數(shù)（BernsteinBasis）。一般稱折線為P(t)的控制多邊形；稱各點為P(t)的控制頂點。作圖法繪制3次Bezier曲線t=1/2點t=1/4點最終曲線

（1）三次Bezier曲線常用的三次Bezier曲線，由4個控制頂點確定。容易算出，與其對應(yīng)的4個Bernstein基函數(shù)為：相應(yīng)的Bezier曲線為標(biāo)準(zhǔn)展開方式B0,3(t)B2,3(t)B1,3(t)B3,3(t)（2）二次Bezier曲線二次Bezier曲線由三個控制頂點確定，此時，相應(yīng)的曲線表達(dá)式為對應(yīng)于一條拋物線。作圖法繪制2次Bezier曲線T=1/3T=1/2T=2/3（3）一次Bezier曲線這是一條連接P0和P1的直線段。一次Bezier曲線由兩個控制頂點確定，此時，相應(yīng)的曲線表達(dá)式為2.Bezier曲線的程序設(shè)計實際應(yīng)用的主要是三次Bezier曲線。利用它的參數(shù)表達(dá)式在區(qū)間(0,1)內(nèi)取多個值，例如100，計算出這100個值對應(yīng)的坐標(biāo)點，依次連接這些點就得到一條Bezier曲線。為程序設(shè)計方便，改寫曲線的表達(dá)式為：注意：再添加一個z坐標(biāo)，就可得到空間Bezier曲線。3.Bezier曲線的性質(zhì)在Bernstein基函數(shù)中，n為基本曲線的次數(shù)，i為基函數(shù)的序號。由排列組合和導(dǎo)數(shù)運算規(guī)律可以推導(dǎo)出Bernstein基函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）正性（非負(fù)性）：（2）權(quán)性：（3）對稱性：（4）導(dǎo)數(shù)性質(zhì)：（5）遞推性質(zhì)：Bezier曲線的一些性質(zhì)：1）端點性質(zhì)

曲線經(jīng)過特征多邊形的首末點。因為

曲線P(t)在P0點與邊P0P1相切，在Pn點與2）對稱性由Bernstein基函數(shù)的對稱性可知，控制點的次序完全顛倒過來后，曲線的形狀不變，但走向相反。這表明,同一特征多邊形定義的Bezier曲線是惟一的.相切。因為（3）凸包性所以，P(t)是P0,P1,…,Pn凸線性組合。這證明Bezier曲線完全被包在其特征多邊形的凸包內(nèi)。所以，控制頂點P0,P1,…,Pn的凸包為:（5）交互能力（4）幾何不變性由給定控制頂點所確定的Bezier曲線的形狀與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。此性質(zhì)就是Bezier曲線的幾何不變性。幾何不變性對幾何圖形來說是一種很重要的性質(zhì)。在計算機圖形學(xué)中經(jīng)常要作坐標(biāo)變換，如果同一表示式在不同坐標(biāo)系下表示不同的曲線，則會給圖形變換帶來很多不便之處?？刂贫噙呅蜳0P1…Pn大致地勾畫出Bezier曲線P(t)的形狀。要改變P(t)的形狀，只要改變P0,P1,…,Pn的位置即可。（6）變差減小性（7）保凸性如果Bezier曲線P(t)的控制多邊形P0P1…Pn是一平面圖形，則該平面內(nèi)的任意直線與P(t)的交點個數(shù)不多于該直線與控制多邊形P0P1…Pn交點的個數(shù)，這一性質(zhì)稱為變差減小性。此性質(zhì)說明Bezier曲線比控制多邊形所在的折線更光順。如果平面上的凸控制多邊形能導(dǎo)致所生成的曲線為凸曲線，則稱這個曲線生成的方法具有保凸性。我們將控制多邊形的終點與起點連起來，如果這樣形成一個閉的凸多邊形，則相應(yīng)的Bezier曲線是一個凸的平面曲線。此性質(zhì)就是Bezier曲線的保凸性。4.

Bezier曲線的拼接與反算Bezier曲線的次數(shù)是由其控制頂點確定的。常用的三次Bezier曲線由四個控制頂點確定。多控制點(n>4)的三次Bezier曲線存在著幾條曲線的拼接問題，其關(guān)鍵問題是如何保持拼接處的連續(xù)性。不同的問題在連接點處對連續(xù)性有不同的要求，常用到的有以下幾種：參數(shù)連續(xù):切矢同向且模長相等.幾何連續(xù):見下頁1)拼接條件條件P1P0P3=Q0Q2Q1P2Q3設(shè)P(t)是Pi(i=0,1,2,3)確定的三次Bezier曲線;Q(t)是Qi(i=0,1,2,3)確定的三次Bezier曲線.P3=Q0,滿足1)兩曲線在連接點達(dá)到一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件為0<=t<=1即亦即,P2、P3(Q0)和Q1共線，且P2、Q1在P3的異側(cè)。2）兩曲線在連接點達(dá)到二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件為由可得根據(jù)以上條件，可以調(diào)整P(t)和Q(t)這兩段曲線，使得在連接點處達(dá)到一階幾何或?qū)?shù)連續(xù)：步驟1：平移多邊形使Q0與P3重合。步驟2：圍繞Q0轉(zhuǎn)動多邊形使與平行且同向（或模長相等）。P1P0P3=Q0Q2Q1P2Q3

所謂曲線控制頂點的反算是指由曲線上的一系列點（稱之為型值點）反求出該曲線的一系列控制頂點的過程。

如果給定n+1個型值點,要求一系列控制點，由這些控制點定義的一條Bezier曲線通過已知的型值點，這與平常給定控制點求型值點的過程恰好相反。設(shè)所求的控制點為，它定義的Bezier曲線為P(t),滿足，于是注意：t的取法不同，反求的控制頂點不同。2)反算5.1.4B樣條曲線Bezier曲線是通過逼近特征多邊形而獲得曲線的，存在的不足是：1）缺乏局部修改性,即改變某一控制點對整個曲線都有影響.2）n較大時，特征多邊形的邊數(shù)較多,對曲線的控制減弱。1972年，Riesenfeld等提出了B樣條曲線。用B樣條基函數(shù)代替Bernstein基函數(shù)；逼近特征多邊形的精度更高.

多邊形的邊數(shù)與基函數(shù)的次數(shù)無關(guān)。具有局部修改性.設(shè)有控制頂點P0,P1,…,Pn,則k階(k-1次)B樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:式中Ni,k(t)是k階k-1次B樣條曲線的基函數(shù).它由一個結(jié)點向量遞歸定義,它僅在某個局部不等于零,因而使B樣條曲線具有局部可修改性.deBoor-Cox遞推定義三次均勻B樣條曲線對于n+1個控制頂點，每四個順序點1.三次均勻B樣條曲線的表達(dá)式一組構(gòu)造相應(yīng)的一段三次B樣條曲線：其中N0,4(t)=1/6(1-t)3,N1,4(t)=1/6(3t3-6t2+4),N2,4(t)=1/6(-3t3+3t2+3t+1),N3,4(t)=1/6t3

所以，Pi(t)的矩陣表達(dá)式為根據(jù)上式可以在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)計三次B樣條曲線生成的程序.

Pi(0)Pi+3Pi+2Pi+1PiP’i(0)P’i(1)Pi(1)2.三次均勻B樣條曲線段的幾何特性、拼接三次B樣條作圖法三等分點中點ABCDQ0Q1Q2Q3由ABCD特征點構(gòu)成B樣條曲線就是由q0Q1Q2Q3特征點控制的Bezier曲線3.三次均勻B樣條曲線的邊界控制與反算P0Pn-1P1P-1PnPn+1在始端和終端各增加一個頂點P-1和Pn+1,使P-1P0=P0P1Pn-1Pn=PnPn+1則P0(0)=P0,P0’

=P1-P0.終點具有類似的特性.邊界處理在實際應(yīng)用中,往往需要所設(shè)計的B樣條曲線通過控制多邊形的起點和終點,這就需要對曲線的邊界進(jìn)行處理.有多種處理方法,現(xiàn)介紹一種:2)控制頂點的反求在實際應(yīng)用中往往是知道曲線上的型值點,而并不知道特征多邊形頂點的位置,為構(gòu)造B樣條曲線,就需要由這些型值點反求出特征多邊形的頂點,這就是B樣條曲線頂點的反求.設(shè)已知型值點列Qi(i=1,2,…,n-1),要求一條三次B樣條曲線經(jīng)過這些點,求出這條曲線的控制頂點Pi(i=0,1,…,n).由曲線的端點性質(zhì)可得下列線性方程組:Pi-1+4Pi+Pi+1=6Qi(i=1,2,…,n-1)再補充兩個邊界條件就可得到唯一解.例如,已知Q1和Qi-1處的切矢,則有把它們寫成矩陣形式為5.1.5非均勻有理B樣條（NURBS）曲線它提供了解析曲線(如圓錐曲線)和自由曲線統(tǒng)一的數(shù)學(xué)描述,便于工程數(shù)據(jù)庫的管理和應(yīng)用.NURBS曲線的定義:給定n+1個控制點Pi(i=0,1,…,n)及其權(quán)因子Wi(i=0,1,…,n),則k階(k-1次)NURBS曲線的表達(dá)式為:缺點:計算量大、當(dāng)權(quán)因子為零和負(fù)值時容易引起計算的不穩(wěn)定，導(dǎo)致曲線畸變，因此使用NURBS時應(yīng)有適當(dāng)?shù)南拗埔员ＷC算法的穩(wěn)定性。5.2自由曲面5.2.1參數(shù)曲面的概念5.2.2雙三次曲面片的數(shù)學(xué)表示5.2.3曲面的反算、拼接和互化

5.2.1參數(shù)曲面的概念P(u,w)=[x(u,w),y(u,w),z(u,w)]

0<=u,w<=1011uw(u,w)u和w向切矢：四個角點的u向和w向切矢為：Pu(0,0)、Pu(1,0)、Pu(0,1)、Pu(1,1)、Pw(0,0)、Pw(