【ch03】二次量子化方法

高等量子力學(xué)二次量子化方法第三章普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材天津工業(yè)大學(xué)學(xué)位與研究生教育改革項(xiàng)目資助01全同粒子量子態(tài)01玻色子(波函數(shù)對(duì)稱(chēng))因?yàn)槿Ｉ芋w系的波函數(shù)必須是交換對(duì)稱(chēng)的，因此，全同玻色子體系的波函數(shù)應(yīng)是下面的形式：式中，

表示單粒子態(tài)(假設(shè)已歸一化),n,為分別處于這些態(tài)上的粒子數(shù)，P表示對(duì)N個(gè)處于不同單粒子態(tài)上的粒子進(jìn)行對(duì)換所構(gòu)成的置換，

表示對(duì)所有可能的排列求和。02費(fèi)米子(波函數(shù)反對(duì)稱(chēng))全同費(fèi)米子體系的波函數(shù)必須是交換反對(duì)稱(chēng)的，因此，全同費(fèi)米子體系的波函數(shù)應(yīng)是下面的形式全同粒子量子態(tài)此式稱(chēng)為斯萊特(Slater)行列式。由式(3.2)可以看出，若兩個(gè)單粒子態(tài)相同，如i=j,則行列式的第一行與第二行相同，行列式等于零，即

。這表明這樣的體系狀態(tài)不存在。這正是泡利不相容原理所要求的。由上面看到，采用坐標(biāo)來(lái)描述全同粒子的量子態(tài)是相當(dāng)煩瑣的，利用它來(lái)進(jìn)行各種計(jì)算很不

方便，所以坐標(biāo)表象不是一個(gè)令人滿意的表象。其根源在于：對(duì)于全同粒子進(jìn)行編號(hào)是沒(méi)有意義

的，但在波函數(shù)的上述表示方式中，又不得不先對(duì)粒子進(jìn)行編號(hào)，以寫(xiě)出坐標(biāo)表象中的某一項(xiàng)波

函數(shù)，如,然后再把對(duì)粒子進(jìn)行各種交換所構(gòu)成的各項(xiàng)波函數(shù)疊加起來(lái)，

以滿足交換對(duì)稱(chēng)性的要求。事實(shí)上，只需要把處于每個(gè)單粒子態(tài)上的粒子數(shù)(n1,n?,…,nN)交代清

楚，全同粒子系的量子態(tài)就完全確定了，并不需要(也沒(méi)有意義)去指出處于某單粒子態(tài)上的粒子

是“哪一個(gè)”。因此，為避免對(duì)全同粒子進(jìn)行編號(hào)，需要擺脫坐標(biāo)表象，而粒子數(shù)表象是一個(gè)非常

好的選擇。為了在粒子數(shù)表象中進(jìn)行各種計(jì)算，需要引進(jìn)粒子產(chǎn)生算符和湮滅算符。利用它們，就可以

把粒子數(shù)表象的基矢及各種類(lèi)型的力學(xué)量方便地表示出來(lái)，而且在各種計(jì)算中，只需利用這些產(chǎn)

生算符和湮滅算符的基本對(duì)易關(guān)系，量子態(tài)的置換對(duì)稱(chēng)性即可自動(dòng)得到保證。為了初學(xué)者方便，

在引進(jìn)產(chǎn)生算符和湮滅算符之前，簡(jiǎn)單回顧一下一維諧振子的代數(shù)解法中的升算符和降算符概念。全同粒子量子態(tài)02粒子數(shù)表象01諧振子狀態(tài)的粒子數(shù)表象描述一維經(jīng)典諧振子系統(tǒng)的哈密頓量為其中，μ為粒子的質(zhì)量。在量子力學(xué)中正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量應(yīng)滿足如下不對(duì)易關(guān)系：為求解定態(tài)薛定諤方程，可以引入兩個(gè)非厄密算符：由式(3.4)容易得到，b和b

所滿足的基本對(duì)易關(guān)系為+式(3.5)的逆變換關(guān)系為粒子數(shù)表象引入兩個(gè)非厄密算符后，諧振子系統(tǒng)的哈密頓算符可表示為能量本征值為對(duì)應(yīng)的能量本征態(tài)為其中，

為諧振子基態(tài)。算符b和b

的所有性質(zhì)可通過(guò)如下它們對(duì)諧振子能量表象基矢的作用而顯示出來(lái)：+由此，b稱(chēng)為湮滅算符，

稱(chēng)為產(chǎn)生算符。原則上一維諧振子問(wèn)題都可以在這個(gè)所謂的粒子數(shù)表象中解決。諧振子系統(tǒng)是物理學(xué)中的一個(gè)非常典型的系統(tǒng)。上述結(jié)果表明，任何諧振子系統(tǒng)的基本狀態(tài)

的能量都是量子化的，每份能量子的值均為

。這個(gè)能量子常被稱(chēng)作“聲子”(phonon),并將n=1的態(tài)

稱(chēng)為單聲子激發(fā)態(tài)；n=2的態(tài)

稱(chēng)為兩聲子激發(fā)態(tài)；基態(tài)

為不存在聲子的狀態(tài)，稱(chēng)作真空態(tài)。應(yīng)當(dāng)注意，真空態(tài)的能量并不為零。諧振子能量本征態(tài)也就是聲子數(shù)確定的狀態(tài)，聲子數(shù)算符可定義為粒子數(shù)表象應(yīng)當(dāng)注意，這里的n是算符。上面的討論并未涉及狀態(tài)隨時(shí)間的演化問(wèn)題，或者說(shuō)我們僅僅討論了初始時(shí)刻的狀態(tài)描述。由于在粒子數(shù)表象中我們將狀態(tài)記為產(chǎn)生算符作用在真空態(tài)的形式(見(jiàn)式(3.9)),所以方便的是使真空態(tài)不隨時(shí)間改變，而使力學(xué)量隨時(shí)間改變，因此常采用海森伯繪景。在海森伯繪景中，一維自由諧振子湮滅算符b(t)所滿足的動(dòng)力學(xué)方程為一般來(lái)說(shuō)，在二次量子化中，所有算符都可以用產(chǎn)生和湮滅算符表示，所以討論算符隨時(shí)間變化只需討論湮滅算符即可，產(chǎn)生算符是它的伴算符。于是諧振子哈密頓算符用聲子數(shù)算符可記為式(3.13)滿足初始條件b(t=0)=b的解為02非耦合諧振子集合粒子數(shù)表象N個(gè)非耦合諧振子系統(tǒng)的哈密頓算符可簡(jiǎn)單地寫(xiě)為單粒子哈密頓算符之和，有為了轉(zhuǎn)化到粒子數(shù)表象，需引入N個(gè)聲子湮滅算符及產(chǎn)生算符：它們之間滿足如下對(duì)易關(guān)系：此時(shí)哈密頓算符表示為其中，

為真空能量，或稱(chēng)零點(diǎn)能。式(3.18)的哈密頓算符所描寫(xiě)的量子系統(tǒng)也常稱(chēng)為包含N個(gè)獨(dú)立振動(dòng)模式的系統(tǒng)，每一種

代表一種振動(dòng)模式。振動(dòng)模

的聲子數(shù)算符粒子數(shù)表象這種振動(dòng)模聲子的能量為

。系統(tǒng)的總聲子數(shù)算符系統(tǒng)的能量(不包括真空能)為哈密頓算符的本征態(tài)為其中，真空態(tài)定義為最后指出，上面討論中每種基本振動(dòng)模聲子的數(shù)目可以任意，所以聲子是一種玻色子。值得注意的是，聲子為一種能量子，并非一種真實(shí)粒子。粒子數(shù)表象歷史上最早定義的相干態(tài)為諧振子相干態(tài)，它是諧振子的一些量子力學(xué)狀態(tài)，處于這些態(tài)中

的粒子按量子力學(xué)規(guī)律運(yùn)動(dòng)，與在同一勢(shì)場(chǎng)中具有相同能量的經(jīng)典粒子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)最為接近。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們討論一維運(yùn)動(dòng)。經(jīng)典諧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律xc(t)與其能量表達(dá)式為式中，x0為振幅，

為角頻率，

為初相。為了與量子力學(xué)進(jìn)行比較，將上述二式改寫(xiě)為式中，

為復(fù)數(shù)，λ為一適當(dāng)?shù)膶?shí)常數(shù)。設(shè)在薛定諤繪景中諧振子的歸一化的相干態(tài)為

,則粒子數(shù)表象于是，由上面所說(shuō)的相干態(tài)的運(yùn)動(dòng)與經(jīng)典諧振子的運(yùn)動(dòng)最為接近，則可準(zhǔn)確地表述為如下兩個(gè)條件：經(jīng)過(guò)不算復(fù)雜的運(yùn)算可求得至此我們得到了一系列(無(wú)窮多個(gè))諧振子的相干態(tài)

。并且我們?nèi)菀浊蟮靡粋€(gè)重要性質(zhì)即相干態(tài)是諧振子湮滅算符的本征態(tài)。粒子數(shù)表象相干態(tài)有許多非常有意義的性質(zhì)。(1)聲子數(shù)不確定，且呈泊松分布。相干態(tài)中包含n個(gè)聲子狀態(tài)的概率幅為所以

中出現(xiàn)n個(gè)聲子狀態(tài)的概率為由于相干態(tài)的平均聲子數(shù)為因此n個(gè)聲子狀態(tài)的概率為這正是概率與統(tǒng)計(jì)理論中所謂的泊松分布。相干態(tài)的基本性質(zhì)(2)具有最小不確定性。因?yàn)樗岳蒙鲜鼋Y(jié)果計(jì)算得出相干態(tài)中坐標(biāo)和動(dòng)量的方差為相干態(tài)的基本性質(zhì)因此可見(jiàn)，相干態(tài)是具有最小不確定性的量子態(tài)，或者說(shuō)是最接近經(jīng)典態(tài)的量子態(tài)。在相干態(tài)發(fā)現(xiàn)之前，人們所知道的唯一的具有最小不確定性的狀態(tài)是諧振子基態(tài)

。(3)不具有正交性，但仍可歸一化。相干態(tài)是粒子湮滅算符b的本征態(tài)。由于b不是厄密算符，所以它的本征值不一定是實(shí)數(shù)，本征矢也不一定正交。為了說(shuō)明相干態(tài)不一定正交的性質(zhì)，設(shè)

為b的兩個(gè)不同的本征矢，本征值分別為α和β。利用相干態(tài)表達(dá)式(3.28)可得利用算符公式(1.5)可得如下算符公式：利用這一公式可將式(3.38)化為則相干態(tài)的基本性質(zhì)這表明，相干態(tài)一般并不正交，但仍然可歸一化。其中

的值量度了復(fù)平面上相干態(tài)

和

偏離正交的程度。(4)具有完全性，形成完全集。相干態(tài)雖然不具有正交性，但仍然具有完全性。相于態(tài)|a)的態(tài)指標(biāo)α可連續(xù)取值，并一般定義在整個(gè)復(fù)平面上。令

,有利用相干態(tài)表達(dá)式(3.28)可得利用如下積分公式和本征矢

的完全性條件

,

有這就是相干態(tài)的完全性條件，因此相干態(tài)也形成一個(gè)完全集。這種不正交的完全集常稱(chēng)為過(guò)完全集(overcompleteset)。相干態(tài)的基本性質(zhì)由于相干態(tài)具有完全性，因此可用它作為基矢來(lái)構(gòu)造描寫(xiě)量子力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的希爾伯特空間。(1)態(tài)矢量在相干態(tài)中的表示。設(shè)

為任意振子的態(tài)矢量，則在粒子數(shù)表象中有所以任一態(tài)矢量在相干態(tài)中的表示為態(tài)矢量右矢

在相于態(tài)表象中展開(kāi)為其中，

即為展開(kāi)系數(shù)。態(tài)矢量左矢(g|和右矢|f)的內(nèi)積在相于態(tài)表象中可表示為相干態(tài)的表象作為特例，若

,則式(3.44)可化為這是聲子數(shù)本征態(tài)

在相干態(tài)中的表示。上式取復(fù)共軛，可得式(3.47)是相干態(tài)在聲子數(shù)表象中的表示，實(shí)際上即是已經(jīng)提到過(guò)的式(3.30)。由于不存在正交性，相干態(tài)彼此并不線性獨(dú)立，因此可引進(jìn)某個(gè)相干態(tài)

在相干態(tài)表象中的表示。實(shí)際上，兩相干態(tài)的內(nèi)積公式(3.40)可理解為相干態(tài)

在相干態(tài)表象

中的表示。因此,相干態(tài)

在這個(gè)相干態(tài)表象中可表示為(2)力學(xué)量在相干態(tài)中的表示。設(shè)任意力學(xué)量算符T,在粒子數(shù)表象中可表示為相干態(tài)的表象其中，

是算符T在粒子數(shù)表象中的矩陣元。算符T在相于態(tài)表象中的矩陣元可表示為其中，t(a*,β)定義為因此任意算符T可以用相干態(tài)外積表示為利用下面導(dǎo)出的公式不難由式(3.52)得到式(3.50)。由式(3.44),有相干態(tài)的表象于是可得到在討論相干態(tài)表象時(shí)的一個(gè)非常有用的高斯積分公式：作為特例，令

,則有最后還可以導(dǎo)出關(guān)于算符乘積的定律。若

相應(yīng)的由式(3.51)定義的函數(shù)分別為

則可以證明如下關(guān)系成立：相干態(tài)的表象首先定義如下壓縮算符：它具有如下性質(zhì)：可以證明，在壓縮算符作用下，聲子湮滅算符b和產(chǎn)生算符b'有如下變換關(guān)系：上述變換也是一種正則變換，在這種變換下算符的基本對(duì)易關(guān)系保持不變，有壓縮算符和壓縮態(tài)03場(chǎng)的量子化方法為了考察壓縮算符的意義，我們來(lái)討論坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符在壓縮變換下的改變。如果令z=r為實(shí)數(shù)，則有即有類(lèi)似的有上述結(jié)果表明，實(shí)參數(shù)壓縮變換也是一種關(guān)于坐標(biāo)和動(dòng)量算符的“標(biāo)度變換”。壓縮變化后量度坐標(biāo)的算符x擴(kuò)大了e'倍，相當(dāng)于坐標(biāo)空間被壓縮了e'倍；與此相應(yīng)，動(dòng)量空間則擴(kuò)大了e倍。上述結(jié)論還可以從下面的討論中看出。令

,則在壓縮真空態(tài)壓縮算符的意義中，有當(dāng)φ=0,z=r為實(shí)數(shù)時(shí)，壓縮真空態(tài)中坐標(biāo)和動(dòng)量的方差分別為這表明，在壓縮態(tài)中坐標(biāo)的方差比相干態(tài)的還要小

倍(設(shè)r>0)。不過(guò)應(yīng)當(dāng)指出，與此同時(shí)動(dòng)量的方差將比相干態(tài)的大

倍，且如下最小不確定關(guān)系依然成立：壓縮算符的意義即可由經(jīng)典物理學(xué)的最小作用原理得到薛定諤方程：下面這個(gè)方程實(shí)質(zhì)上就是由最小作用原理得到的拉格朗日方程：在現(xiàn)在的意義下，方程式(3.70)中的

不再是單粒子的波函數(shù)而是物質(zhì)場(chǎng)的場(chǎng)量，方程式(3.70)本身則是物質(zhì)場(chǎng)

的運(yùn)動(dòng)方程。既然

是場(chǎng)量，我們就可以按分析力學(xué)方法引入它的廣義動(dòng)量而與

相應(yīng)的廣義動(dòng)量

因此哈密頓量密度為場(chǎng)的總哈密頓量為壓縮算符的意義上述結(jié)果表明，場(chǎng)的總能量是一次量子化理論中哈密頓算符的期望值。(2)正則量子化方案。量子化要求

滿足如下同時(shí)性對(duì)易關(guān)系：于是廣義坐標(biāo)

和廣義動(dòng)量

，現(xiàn)在已轉(zhuǎn)化為算符，稱(chēng)為場(chǎng)算符。利用式(3.72),上述對(duì)易關(guān)系記為其中，已將

改寫(xiě)為

。由于現(xiàn)在場(chǎng)量y已轉(zhuǎn)化為算符，所以由式(3.74)定義的場(chǎng)的總哈密頓量也變成了算符，記為壓縮算符的意義應(yīng)當(dāng)注意式(3.77)所定義的量子場(chǎng)的哈密頓算符

日與等式右邊積分號(hào)中的算符

含義之間的區(qū)別。

的

的算符性來(lái)源于場(chǎng)量

的算符性，所以是二次量子化方案中的算符。(3)轉(zhuǎn)化到粒子數(shù)表象。設(shè)

為一組正交完備函數(shù)集，將場(chǎng)算符展開(kāi)為其中，

可取一次量子化理論中任一單粒子力學(xué)量算符的本征函數(shù)集，α為態(tài)指標(biāo)。例如，取動(dòng)量算符的本征函數(shù)，則有其中，

為歸一化體積。另外需要指出，

是算符，所以展開(kāi)系數(shù)現(xiàn)在也是算符。利用qa的正交歸一化可得場(chǎng)算符展開(kāi)式(3.78)和式(3.79)的逆變換關(guān)系：壓縮算符的意義利用變換關(guān)系式(3.82)和式(3.83)及場(chǎng)算符的基本對(duì)易關(guān)系式(3.76),可得出

同時(shí)性對(duì)易關(guān)系：量子化波場(chǎng)的哈密頓算符式(3.77)現(xiàn)在可化為其中矩陣元為壓縮算符的意義如果V與時(shí)間有關(guān)，

當(dāng)然也可能與時(shí)間有關(guān)。在特殊情況下，若V與時(shí)間無(wú)關(guān)，則

可取一次量子化理論中的單粒子哈密頓算符

的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為Ea,于是有

。這時(shí)，量子場(chǎng)哈密頓算符式(3.85)可簡(jiǎn)化為求式(3.87)的本征值和本征矢是一個(gè)二次量子化方案中的問(wèn)題。其中，

分別是α態(tài)粒子的湮滅算符和產(chǎn)生算符；

是α態(tài)粒子數(shù)算符；

是總粒子數(shù)算符。此外，

個(gè)粒子所占有的能級(jí)，態(tài)矢量可表示為其中，

為粒子真空態(tài)，定義為至此可以指出，本節(jié)開(kāi)始是從單粒子薛定諤波場(chǎng)出發(fā)，通過(guò)二次量子化手續(xù)建立了量子化薛定諤波場(chǎng)。但是上述分析表明，這樣建立起來(lái)的量子化波場(chǎng)不僅能夠描述單粒子態(tài)，而且能夠描述多粒子態(tài)。從量子場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，單粒子態(tài)和多粒子態(tài)并無(wú)本質(zhì)區(qū)別，它們都是量子場(chǎng)的激發(fā)態(tài)。因此可以預(yù)期，與利用一次量子化理論相比，利用量子場(chǎng)或二次量子化理論來(lái)研究多粒子問(wèn)題將會(huì)變得相當(dāng)簡(jiǎn)單。壓縮算符的意義在二次量子化理論中，原來(lái)的一次量子化理論中的概率密度或粒子數(shù)密度，以及其他所有力學(xué)量的平均值都將變成算符，因?yàn)椴ê瘮?shù)變成了算符。這種算符就是二次量子化理論中的力學(xué)量。(1)概率密度(或粒子數(shù)密度)。先來(lái)考察概率密度或粒子數(shù)密度。一次量子化理論中在F點(diǎn)處出現(xiàn)由y表示的粒子的概率密度為在二次量子化中它變成了算符，有其中在粒子數(shù)表象中的矩陣元為總粒子數(shù)為這正是我們期望的結(jié)果。二次量子化理論中的力學(xué)量(2)坐標(biāo)算符。在二次量子化理論中的坐標(biāo)算符由量子力學(xué)中的坐標(biāo)算符的平均值轉(zhuǎn)化而來(lái)，有其中，x為

的任意分量。粒子數(shù)表象中的矩陣元為(3)勢(shì)能算符。外場(chǎng)中量子化波場(chǎng)的勢(shì)能算符也可由量子力學(xué)中單粒子系統(tǒng)的勢(shì)能平均值轉(zhuǎn)化而來(lái)，有其中矩陣元為(4)一般力學(xué)量算符。二次量子化理論中的力學(xué)量算符

一般可通過(guò)一次量子化中的力學(xué)量F由以下方式轉(zhuǎn)化而來(lái)二次量子化理論中的力學(xué)量由式(3.98)可知，二次量子化理論中的力學(xué)量是通過(guò)場(chǎng)算符構(gòu)造的，所以如果在一次量子化理論中采用薛定諤繪景描述系統(tǒng)時(shí)間的演化，那么在二次量子化后便自然地進(jìn)入海森伯繪景，即力學(xué)量隨時(shí)間改變。所以，二次量子化理論中系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程是力學(xué)量F(包括場(chǎng)算符)的海森伯方程，有作為例子，下面考察場(chǎng)算符的運(yùn)動(dòng)方程：其中，量子場(chǎng)的哈密頓算符為式(3.101)被積函數(shù)中的

是一次量子化理論中單粒子哈密頓算符。將式(3.101)代入式(3.100),再應(yīng)用場(chǎng)算符的基本對(duì)易關(guān)系，有動(dòng)力學(xué)方程此結(jié)果與一次量子化理論中的薛定諤方程形式類(lèi)似。不過(guò)應(yīng)當(dāng)注意，式(3.102)本質(zhì)上不同于薛定諤方程，它是一個(gè)算符方程，是二次量子化理論中關(guān)于場(chǎng)算符的動(dòng)力學(xué)方程。上述結(jié)果表明，把波函數(shù)看作算符是二次量子化理論的關(guān)鍵步驟。當(dāng)把一次量子化理論中的波函數(shù)y轉(zhuǎn)化為算符后，它原來(lái)所滿足的薛定諤方程實(shí)際上已自然地轉(zhuǎn)化為了海森伯繪景中的一個(gè)算符運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)力學(xué)方程04全同粒子系統(tǒng)的二次量子化理論首先，來(lái)建立不存在相互作用的全同玻色子系統(tǒng)的二次量子化理論。量子力學(xué)中N個(gè)自旋為零的全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符一般可表示為其中式(3.104)為第i個(gè)單粒子的哈密頓算符。上述式子表明，全同粒子系統(tǒng)的算符通?？梢苑譃橐韵聨追N不同類(lèi)型。(1)單體算符，如式(3.103)中的第一部分

,其中每一項(xiàng)僅僅涉及單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)特征。(2)兩體算符，如式(3.103)中的第二部分

,這是多體系統(tǒng)中的兩體相互作用能部分，涉及兩個(gè)粒子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)特征。不存在相互作用的全同玻色子系統(tǒng)(3)多體算符，這類(lèi)和式中的算符每一項(xiàng)都涉及三個(gè)或更多粒子的運(yùn)動(dòng)特征，這類(lèi)算符并不常見(jiàn)。兩體算符和多體算符是多粒子系統(tǒng)所特有的，也是多體量子現(xiàn)象中最重要的部分。多粒子系統(tǒng)的相互作用能決定了固體的許多電學(xué)和磁學(xué)性質(zhì)。這類(lèi)作用在一定條件下會(huì)引起某些物質(zhì)的鐵磁性、超導(dǎo)性和超流性。多體量子理論的一個(gè)重要任務(wù)仍然是計(jì)算系統(tǒng)的能級(jí)，尤其是基態(tài)能級(jí)。因此需要討論式(3.103)的哈密頓算符的本征值問(wèn)題。但是在一次量子化理論中求解這類(lèi)問(wèn)題幾乎不可能，因?yàn)檫@時(shí)我們所要求解的薛定諤方程是3N個(gè)空間坐標(biāo)及時(shí)間參數(shù)的微分方程，而其中N的數(shù)量級(jí)是阿伏伽德羅常數(shù)。然而如果采用二次量子化方案，特別是采用粒子數(shù)表象的描述方式，則求解多粒子系統(tǒng)的能級(jí)這類(lèi)問(wèn)題將成為可能。全同粒子系統(tǒng)的二次量子化理論基本假設(shè)是：由完全集{4a}作為基矢所張成的、用來(lái)描寫(xiě)單個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的表象空間，它同樣適用于全同粒子系統(tǒng)。這一假設(shè)的正確性取決于由此建立的理論是否自洽，以及根據(jù)這個(gè)理論所得到的結(jié)果是否與實(shí)際相符。容易證明，上述基本假設(shè)對(duì)于不存在相互作用的全同粒子系統(tǒng)是正確的，在粒子數(shù)表象中的一系列公式與量子化薛定諤波場(chǎng)的公式完全一致。實(shí)際上，我們建立的全同粒子系統(tǒng)的量子理論就是一個(gè)量子場(chǎng)理論。利用場(chǎng)算符不存在相互作用的全同玻色子系統(tǒng)將能夠表示為單粒子算符之和的任何全同粒子的單體算符轉(zhuǎn)化為其中，矩陣元為其中，

是一次量子化單粒子算符在坐標(biāo)表象中的形式。上述討論中通過(guò)引進(jìn)場(chǎng)算符及由場(chǎng)算符構(gòu)造的力學(xué)量算符來(lái)描述全同多粒子系統(tǒng)。所以我們建立的多粒子系統(tǒng)的量子理論就是量子場(chǎng)理論或二次量子化理論。不存在相互作用的全同玻色子系統(tǒng)相互作用能是一種多粒子系統(tǒng)所特有的力學(xué)量，這類(lèi)力學(xué)量在單粒子系統(tǒng)中并不出現(xiàn)。為了建立這類(lèi)力學(xué)量的二次量子化形式，以?xún)蓚€(gè)荷電粒子間的靜電相互作用能為例進(jìn)行討論。荷電粒子在空間形成的電荷密度為因此，相互作用能為我們假定全同粒子系統(tǒng)的兩體相互作用能從一次量子化形式轉(zhuǎn)化到二次量子化形式是通過(guò)下式實(shí)現(xiàn)的：將展開(kāi)式(3.105)代入式(3.111),可得其中，矩陣元為相互作用能的二次量子化形式應(yīng)當(dāng)指出，由式(3.110)轉(zhuǎn)化來(lái)的二次量子化理論中的兩體相互作用能算符還可記為為了考察式(3.111)與式(3.114)的區(qū)別，利用場(chǎng)算符的對(duì)易關(guān)系，有將此結(jié)果代入式(3.114),有可見(jiàn)，戶(hù)比廣多了一項(xiàng)，這一項(xiàng)可解釋為“自能”算符。對(duì)于許多理想勢(shì)(如庫(kù)侖勢(shì)),這種自能項(xiàng)將為無(wú)窮大。要正確處理這種項(xiàng)，必須考慮粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。在多體理論中常常將組分粒子看作基本單元，不再去探究其內(nèi)部結(jié)構(gòu)。于是這種自能項(xiàng)可簡(jiǎn)單地作為背景來(lái)處理。相互作用能的二次量子化形式考慮動(dòng)能項(xiàng)、外場(chǎng)作用引起的勢(shì)能項(xiàng)，以及兩體相互作用項(xiàng)后，全同玻色子系統(tǒng)哈密頓算符的二次量子化形式一般表示為其中，矩陣元

可由式(3.86)確定，矩陣元

由式(3.113)確定。在計(jì)算這些矩陣元的表示式中，

是某一力學(xué)量算符的本征函數(shù)。現(xiàn)在不失一般性地取

為自由粒子哈密頓算符或動(dòng)量算符的本征函數(shù)，即式(3.80):這時(shí)有其中是系統(tǒng)中單個(gè)粒子的動(dòng)能，而全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符是系統(tǒng)中單個(gè)粒子在外場(chǎng)中勢(shì)能V(F)的傅里葉變換。式中，

,Ω為歸一化體積。對(duì)于兩體相互作用能矩陣元，有上式被積函數(shù)中做變量代換

,于是可化為全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符是兩體相互作用勢(shì)

的傅里葉變換。將式(3.117)和式(3.120)代入式(3.116),則包含兩體相互作用能的全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符一般記為對(duì)于兩體相互作用能矩陣元，有式(3.122)第一部分為全同粒子系統(tǒng)的動(dòng)能部分，是粒子數(shù)表象中的對(duì)角部分；第二部分是系統(tǒng)與外場(chǎng)的相互作用勢(shì)能項(xiàng)。這一項(xiàng)推導(dǎo)如下：將式(3.117)代入式(3.116),注意到

,則系統(tǒng)在外場(chǎng)中的勢(shì)能項(xiàng)可表示為式(3.123)是粒子數(shù)密度算符的傅里葉變換，可通過(guò)下面的推導(dǎo)看出：全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符最后，式(3.122)中的第三部分為兩體相互作用能部分，δ-函數(shù)反映了動(dòng)量守恒要求?？梢宰C明，粒子數(shù)算符

與該項(xiàng)不對(duì)易，所以狀態(tài)為k的粒子數(shù)由于兩體相互作用的存在而不再守恒。但是總粒子數(shù)

與該項(xiàng)對(duì)易，所以系統(tǒng)的總粒子數(shù)是守恒的。這一性質(zhì)與兩體相互作用能項(xiàng)中產(chǎn)生和湮滅算符成對(duì)出現(xiàn)的情況有關(guān)。這表明，如果某時(shí)刻處于某一狀態(tài)的粒子數(shù)少一個(gè)單位，則另一狀態(tài)的粒子數(shù)必定增加一個(gè)單位。此外，兩體相互作用能算符項(xiàng)還可記為全同玻色子系統(tǒng)的哈密頓算符交換對(duì)稱(chēng)性與對(duì)易關(guān)系前面在建立全同粒子系統(tǒng)的量子理論時(shí)，假定粒子的湮滅算符和產(chǎn)生算符滿足對(duì)易關(guān)系式(3.84)。下面來(lái)考察在這種對(duì)易關(guān)系下，系統(tǒng)狀態(tài)所存在的交換對(duì)稱(chēng)性。因?yàn)榻粨Q對(duì)稱(chēng)性是全同粒子系統(tǒng)區(qū)別于單粒子系統(tǒng)的一個(gè)重要特征，而在建立全同粒子系統(tǒng)的二次量子化理論時(shí)所引進(jìn)的基本假設(shè)中，簡(jiǎn)單地將描述單粒子態(tài)的基矢完全集應(yīng)用于全同粒子系統(tǒng)，因此我們必須特別考察這種推廣所得到的結(jié)果是否與全同粒子系統(tǒng)所特有的交換對(duì)稱(chēng)性自洽。為區(qū)別起見(jiàn)，以后用

表示玻色子算符，用

結(jié)表示費(fèi)米子算符。1.全同玻色子系統(tǒng)我們先來(lái)考察全同玻色