24.5 相似三角形的性質(zhì)（第1課時(shí)）同步練習(xí)

24.5相似三角形的性質(zhì)（第1課時(shí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?金山區(qū)校級(jí)月考）已知兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，則它們的對(duì)應(yīng)高的比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162．（2020秋?浦東新區(qū)期中）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線之比是2：3，那么它們的對(duì)應(yīng)邊之比是（）A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．：3．（2019秋?青浦區(qū)期末）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是1：2，那么它們的對(duì)應(yīng)高之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：6 D．1：84．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊中線之比是1：4，那么它們的對(duì)應(yīng)高之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16二．填空題（共10小題）5．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周長與△A1B1C1的周長的比值是，BE、B1E1分別是對(duì)應(yīng)角的角平分線，且BE＝12，則B1E1＝．6．（2021秋?閔行區(qū)期中）已知兩個(gè)三角形相似，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為65°、37°，則另一個(gè)三角形的最大的內(nèi)角度數(shù)為．7．（2021秋?閔行區(qū)期末）兩個(gè)相似三角形的面積之比是9：25，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，那么另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為厘米．8．（2021秋?金山區(qū)校級(jí)期中）已知△ABC∽△A1B1C1，頂點(diǎn)A、B、C分別與A1．B1．C1對(duì)應(yīng)，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分別是它們的對(duì)應(yīng)角平分線，則BE：B1E1＝．9．（2021秋?楊浦區(qū)期中）已知△ABC∽△DEF，且點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，若∠A＝50°，∠B＝70°，則∠F＝度．10．（2020秋?虹口區(qū)期末）已知△ABC∽△A'B'C'，頂點(diǎn)A、B、C分別與頂點(diǎn)A'、B'、C'對(duì)應(yīng)，AD、A'D'分別是BC、B'C'邊上的中線，如果BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，那么A'D'的長是．11．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB、CD都是BD的垂線，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP、CP，所得兩個(gè)三角形相似，則BP的長是．12．（2021秋?松江區(qū)月考）已知△ABC與△A′B′C′相似，并且點(diǎn)A與點(diǎn)A′、點(diǎn)B與點(diǎn)B′、點(diǎn)C與點(diǎn)C′是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，其中∠A＝80°∠B′＝60°，則∠C＝度．13．（2021秋?青浦區(qū)期末）如果兩個(gè)相似三角形的周長比為2：3，那么它們的對(duì)應(yīng)高的比為．14．（2021秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝．【能力提升】一．選擇題（共4小題）1．（2019秋?黃浦區(qū)期末）在△ABC與△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°2．（2018秋?浦東新區(qū)期中）一個(gè)三角形的三邊分別為3，4，5，另一個(gè)與它相似的三角形中有一條邊長為8，則這個(gè)三角形的邊長不可能是（）A． B． C．9 D．103．（2017秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝40°，直線l平行于BC．現(xiàn)將直線l繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得直線分別交邊AB和AC于點(diǎn)M、N，若△AMN與△ABC相似，則旋轉(zhuǎn)角為（）A．20° B．40° C．60° D．80°4．（2018秋?楊浦區(qū)期中）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長分別是3．4及x，那么x的值（）A．只有一個(gè) B．可以有2個(gè) C．可以有3個(gè) D．無數(shù)個(gè)二．填空題（共8小題）5．（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期中）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的最美分割線．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割線．若△ACD為等腰三角形，則∠ACB的度數(shù)為．6．（2021秋?閔行區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠A＝90°，D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線AC上，且△ADE與△ABC相似，則CE＝．7．（2021秋?閔行區(qū)期中）已知兩個(gè)三角形相似，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為65°、37°，則另一個(gè)三角形的最大的內(nèi)角度數(shù)為．8．（2019秋?黃浦區(qū)期末）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且△ADE與△ABC相似，如果AE＝6，那么線段AD的長是．9．（2019?徐匯區(qū)校級(jí)自主招生）已知，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，且AD＝2．當(dāng)△ADE∽△ACB時(shí)，AE＝．10．（2018?徐匯區(qū)二模）從三角形（非等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，該頂點(diǎn)與該交點(diǎn)間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)小三角形是等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，那么我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線，如圖，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，則CD的長為．11．（2010秋?寶山區(qū)期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB邊的中點(diǎn)，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B、C重合），若以D、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則線段PC＝．12．（2017秋?黃浦區(qū)期末）已知△ABC∽△DEF，其中頂點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)D、E、F，如果∠A＝40°，∠E＝60°，那么∠C＝度．三．解答題（共2小題）13．（2009秋?南匯區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°；點(diǎn)P是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BP與AC相交于點(diǎn)E，設(shè)AP＝x．（1）求AC的長；（2）如果△ABP和△BCE相似，請(qǐng)求出x的值；（3）當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí)，求x的值．14．（2012秋?松江區(qū)月考）求證：相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比．

24.5相似三角形的性質(zhì)（第1課時(shí)）（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?金山區(qū)校級(jí)月考）已知兩個(gè)相似三角形的相似比為1：4，則它們的對(duì)應(yīng)高的比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：因?yàn)閮蓚€(gè)相似三角形的相似比為1：4，所以這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)高的比為1：4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面積的比等于相似比的平方．2．（2020秋?浦東新區(qū)期中）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線之比是2：3，那么它們的對(duì)應(yīng)邊之比是（）A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．：【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比是2：3，∴它們的相似比為2：3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比，對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比的性質(zhì)．3．（2019秋?青浦區(qū)期末）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是1：2，那么它們的對(duì)應(yīng)高之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：6 D．1：8【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比解答．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是1：2，∴它們的對(duì)應(yīng)高之比是1：2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．4．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊中線之比是1：4，那么它們的對(duì)應(yīng)高之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】先根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線之比是1：4得出其相似比，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線之比是1：4，∴其相似比等于1：4，∴它們的對(duì)應(yīng)高之比是1：4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)高的比的比等于相似比是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）5．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周長與△A1B1C1的周長的比值是，BE、B1E1分別是對(duì)應(yīng)角的角平分線，且BE＝12，則B1E1＝9．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)周長比等于相似比等于對(duì)應(yīng)角的角平分線的比求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周長與△A1B1C1的周長的比值是，∴相似比為，∴＝，∵BE＝12，∴B1E1＝9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．6．（2021秋?閔行區(qū)期中）已知兩個(gè)三角形相似，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為65°、37°，則另一個(gè)三角形的最大的內(nèi)角度數(shù)為78°．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠D，∠B＝∠E，求出∠D和∠E的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠F即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，∵∠A＝65°，∠B＝37°，∴∠D＝65°，∠E＝37°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣65°﹣37°＝78°，即△DEF的最大的內(nèi)角度數(shù)是78°，故答案為：78°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能熟記相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．7．（2021秋?閔行區(qū)期末）兩個(gè)相似三角形的面積之比是9：25，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，那么另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為3厘米．【分析】設(shè)另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為x厘米，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出＝，再求出x即可．【解答】解：設(shè)另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為x厘米，∵兩個(gè)相似三角形的面積之比是9：25，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，∴＝，解得：x＝3，∴另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為3厘米，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能熟記相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：①相似三角形的面積之比等于相似比的平方，②相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比．8．（2021秋?金山區(qū)校級(jí)期中）已知△ABC∽△A1B1C1，頂點(diǎn)A、B、C分別與A1．B1．C1對(duì)應(yīng)，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分別是它們的對(duì)應(yīng)角平分線，則BE：B1E1＝3：2．【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴BE：B1E1＝AB：A1B1＝3：2，故答案為：3：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?楊浦區(qū)期中）已知△ABC∽△DEF，且點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，若∠A＝50°，∠B＝70°，則∠F＝60度．【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等解得．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°；故答案為：60．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．10．（2020秋?虹口區(qū)期末）已知△ABC∽△A'B'C'，頂點(diǎn)A、B、C分別與頂點(diǎn)A'、B'、C'對(duì)應(yīng)，AD、A'D'分別是BC、B'C'邊上的中線，如果BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，那么A'D'的長是1.6．【分析】利用“相似三角形的周長比等于對(duì)應(yīng)的中線的比”求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對(duì)應(yīng)中線，BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，∴BC：B′C′＝AD：A′D′，∴2.4：A′D′＝3：2，∴A'D'的長是1.6，故答案為：1.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住相似三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．11．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB、CD都是BD的垂線，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP、CP，所得兩個(gè)三角形相似，則BP的長是2或12或．【分析】分△ABP∽△PDC、△ABP∽△CDP兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)BP＝x，則PD＝14﹣x，當(dāng)△ABP∽△PDC時(shí)，＝，即＝，解得，x1＝2，x2＝12，當(dāng)△ABP∽△CDP時(shí)，＝，即＝，解得，x＝，綜上所述，當(dāng)所得兩個(gè)三角形相似時(shí)，則BP的長為2或12或，故答案為：2或12或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?松江區(qū)月考）已知△ABC與△A′B′C′相似，并且點(diǎn)A與點(diǎn)A′、點(diǎn)B與點(diǎn)B′、點(diǎn)C與點(diǎn)C′是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，其中∠A＝80°∠B′＝60°，則∠C＝40度．【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠B＝∠B′，再利用三角形內(nèi)角和等于180°列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B′＝60°，∴∠B＝∠B′＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，三角形內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋?青浦區(qū)期末）如果兩個(gè)相似三角形的周長比為2：3，那么它們的對(duì)應(yīng)高的比為2：3．【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比可求得其相似比，再根據(jù)對(duì)應(yīng)高線的比等于相似比可得到答案．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長比為2：3，∴這兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，∴它們的對(duì)應(yīng)高的比為：2：3，故答案為：2：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比、對(duì)應(yīng)高線比等于相似比是解題的關(guān)鍵．14．（2021秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝．【分析】當(dāng)△ABC∽△ADE時(shí)，，代入相關(guān)數(shù)值解答．【解答】解：當(dāng)△ABC∽△ADE時(shí)，，∵點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，∴AD＝AB＝4，∴，即AE＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一．選擇題（共4小題）1．（2019秋?黃浦區(qū)期末）在△ABC與△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵∠A＝∠D＝60°，，∴△ABC∽△DFE，∴∠B＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝180°﹣60°﹣50°＝70°故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．2．（2018秋?浦東新區(qū)期中）一個(gè)三角形的三邊分別為3，4，5，另一個(gè)與它相似的三角形中有一條邊長為8，則這個(gè)三角形的邊長不可能是（）A． B． C．9 D．10【分析】題干中另一個(gè)與它相似的三角形中有一條邊長為8，則其可能與三角形的三邊分別為3，4，5，中邊長為3的對(duì)應(yīng)成比例，也可能也邊長為4的對(duì)應(yīng)成比例，亦有可能與邊長為5的成比例，所以應(yīng)分開討論．【解答】解：當(dāng)邊長為8的邊長與三角形的三邊分別為3，4，5，中邊長為3的對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，則另兩條邊長分別為：，；當(dāng)與邊長為4的對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，其另兩條邊長分別為：6，10；當(dāng)與邊長為5的對(duì)應(yīng)成比例是，其另兩條邊長分別為：，；則這個(gè)三角形的邊長不可能是9，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確分類討論是解題關(guān)鍵．3．（2017秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝40°，直線l平行于BC．現(xiàn)將直線l繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得直線分別交邊AB和AC于點(diǎn)M、N，若△AMN與△ABC相似，則旋轉(zhuǎn)角為（）A．20° B．40° C．60° D．80°【分析】若△AMN∽△ACB，則∠AMN＝∠C＝40°，再根據(jù)直線l平行于BC，可得∠ADE＝∠B＝80°，進(jìn)而得到∠DFM＝∠ADE﹣∠AMN＝80°﹣40°＝40°，即可得出旋轉(zhuǎn)角的大?。窘獯稹拷猓喝鐖D，直線l繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得直線分別交邊AB和AC于點(diǎn)M、N，若△AMN∽△ACB，則∠AMN＝∠C＝40°，又∵直線l平行于BC，∴∠ADE＝∠B＝80°，∴∠DFM＝∠ADE﹣∠AMN＝80°﹣40°＝40°，即直線l旋轉(zhuǎn)前后的夾角為40°，∴旋轉(zhuǎn)角為40°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題時(shí)注意：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．4．（2018秋?楊浦區(qū)期中）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長分別是3．4及x，那么x的值（）A．只有一個(gè) B．可以有2個(gè) C．可以有3個(gè) D．無數(shù)個(gè)【分析】由一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形的邊長分別是3和4及x，可得x可能是斜邊或4是斜邊，繼而求得答案．【解答】解：∵一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形的邊長分別是3和4及x，∴x可能是斜邊或4是斜邊，∴x＝5或．∴x的值可以有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與勾股定理，注意掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用．二．填空題（共8小題）5．（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期中）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的最美分割線．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割線．若△ACD為等腰三角形，則∠ACB的度數(shù)為100°或115°．【分析】根據(jù)△ACD為等腰三角形，需要分三種情況討論：①當(dāng)AD＝CD時(shí)，②如當(dāng)AD＝AC，③當(dāng)AC＝CD，然后結(jié)合最美分割線的定義，可得△BDC∽△BCA，可以分別求出∠ACB的度數(shù)．【解答】解：①當(dāng)AD＝AC時(shí)，如圖1，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝65°+50°＝115°．②當(dāng)AD＝CD時(shí)，如圖2，∠ACD＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝50°+50°＝100°．③當(dāng)AC＝CD時(shí)，如圖3，∠ADC＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ADC＝∠BCD（不合題意）．綜上所述，∠ACB＝100°或115°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，理解最美分割線的定義是解決本題的關(guān)鍵．6．（2021秋?閔行區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠A＝90°，D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線AC上，且△ADE與△ABC相似，則CE＝2或0.5或6或8.5．【分析】求出AD的長，先畫出符合題意的四種圖形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，求出AE的值，再求出CE即可．【解答】解：∵AB＝6，D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝3，有兩種情況：①點(diǎn)E在射線AC上時(shí)，有兩種情況：第一種情況：如圖1，此時(shí)＝，所以＝，解得：AE＝2，所以CE＝AC﹣AE＝4﹣2＝2；第二種情況：如圖2，此時(shí)＝，所以＝，解得：AE＝4.5，所以CE＝AE﹣AC＝4.5﹣4＝0.5；②當(dāng)E在AC的反向延長線時(shí)，有兩種情況：第一種情況：如圖3，此時(shí)AE＝2；所以CE＝AC+AE＝4+2＝6；第二種情況：如圖4，此時(shí)AE＝4.5，所以CE＝A+AE＝4+4.5＝8.5；故答案為：2或0.5或6或8.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．7．（2021秋?閔行區(qū)期中）已知兩個(gè)三角形相似，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為65°、37°，則另一個(gè)三角形的最大的內(nèi)角度數(shù)為78°．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠D，∠B＝∠E，求出∠D和∠E的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠F即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，∵∠A＝65°，∠B＝37°，∴∠D＝65°，∠E＝37°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣65°﹣37°＝78°，即△DEF的最大的內(nèi)角度數(shù)是78°，故答案為：78°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能熟記相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．8．（2019秋?黃浦區(qū)期末）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且△ADE與△ABC相似，如果AE＝6，那么線段AD的長是8或．【分析】分類討論：當(dāng)△ADE∽△ABC和當(dāng)△AED∽△ABC，根據(jù)相似的性質(zhì)得出兩種比例式進(jìn)而解答即可．【解答】解：如圖∵∠DAE＝∠BAC，∴當(dāng)△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD＝8，∴當(dāng)△AED∽△ABC，∴，即，解得：AD＝，故答案為：8或【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．9．（2019?徐匯區(qū)校級(jí)自主招生）已知，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，且AD＝2．當(dāng)△ADE∽△ACB時(shí)，AE＝．【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴，即，解得AE＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，在解答此類題目時(shí)要找出對(duì)應(yīng)的角和邊．10．（2018?徐匯區(qū)二模）從三角形（非等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，該頂點(diǎn)與該交點(diǎn)間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)小三角形是等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，那么我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線，如圖，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，則CD的長為．【分析】設(shè)AB＝x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解決問題．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴，設(shè)AB＝x，∴22＝x，∵x＞0，∴x＝4，∴AC＝AD＝4﹣1＝3，∵△BCD∽△BAC，∴，∴CD＝．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用△BCD∽△BAC解答．11．（2010秋?寶山區(qū)期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB邊的中點(diǎn)，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B、C重合），若以D、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則線段PC＝4或．【分析】由Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB邊的中點(diǎn)，即可求得AB與CD的值，又由以D、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，可得∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得PC的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵D是AB邊的中點(diǎn)，∴CD＝BD＝AB＝5，∵以D、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，∴∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，（1）若∠DPC＝90°，則DP∥AC，∴＝，∴BP＝BC＝4，則PC＝4；（2）若∠CDP＝90°，則△CDP∽△BCA，∴，即，∴PC＝．∴PC＝4或．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．（2017秋?黃浦區(qū)期末）已知△ABC∽△DEF，其中頂點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)D、E、F，如果∠A＝40°，∠E＝60°，那么∠C＝80度．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°故答案為80；【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)、內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．三．解答題（共2小題）13．（2009秋?南匯區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°；點(diǎn)P是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BP與AC相交于點(diǎn)E，設(shè)AP＝x．（1）求AC的長；（2）如果△ABP和△BCE相似，請(qǐng)求出x的值；（3）當(dāng)△ABE是