雙曲線橢圓練習題

1.橢圓焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為橢圓（a>b>0）上任一點，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則（e為離心率）；2.雙曲線焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為雙曲線（a>0,b>0）上任一點，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),則:（1）當P點在右支上時，；（2）當P點在左支上時，；（e為離心率）；另：雙曲線（a>0,b>0）的漸進線方程為；3.拋物線焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點，F(xiàn)為焦點，則；y2=2px(p＜0)上任意一點，F(xiàn)為焦點，；4.涉及圓錐曲線的問題勿忘用定義解題；的雙曲線標準方程為為參數(shù)，≠0）；6.計算焦點弦長可利用上面的焦半徑公式，一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB，A、B兩點分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想；7.橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為，焦準距為p=，拋物線的通徑為2p，焦準距為p;雙曲線（a>0，b>0）的焦點到漸進線的距離為b;8.中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓，雙曲線方程可設(shè)為Ax2+Bx2＝1；2=2px(p>0)的焦點弦（過焦點的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結(jié)論：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=;（a>b>0）左焦點的焦點弦為AB，則，過右焦點的弦；2=2px(p≠0)拋物線上的點的坐標可設(shè)為（，y0）,以簡化計算;12.處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法，設(shè)A(x1，y1)、B(x2,y2)為橢圓（a>b>0）上不同的兩點，M(x0,y0)是AB的中點，則KABKOM=；對于雙曲線（a>0，b>0），類似可得：KAB.KOM=；對于y2=2px(p≠0)拋物線有KAB＝13.求軌跡的常用方法：（1）直接法：直接通過建立x、y之間的關(guān)系，構(gòu)成F(x,y)＝0，是求軌跡的最基本的方法；（2）待定系數(shù)法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可；（3）代入法（相關(guān)點法或轉(zhuǎn)移法）：若動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x1,y1)的變化而變化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲線上，則可先用x、y的代數(shù)式表示x1、y1，再將x1、y1帶入已知曲線得要求的軌跡方程；（4）定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫出方程；（5）參數(shù)法：當動點P（x,y）坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將x、y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程。例題1求過點（2，1）且與兩坐標所圍成的三角形面積為4的直線方程。錯解：設(shè)所求直線方程為?！撸?，1）在直線上，∴，=1\*GB3①又，即ab=8，=2\*GB3②由=1\*GB3①、=2\*GB3②得a=4，b=2。故所求直線方程為x+2y=4。剖析：本題的“陷阱”是直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積的表示。上述解法中，由于對截距概念模糊不清，誤將直線在x軸和y軸上的截距作距離使用而掉入“陷阱”。事實上，直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為，而不是ab。故所求直線方程應為：x+2y=4，或（+1）x-2（-1）y–4=0，或（-1）x-2（+1）y+4=0。例題2已知三角形的三個頂點為A（6，3），B（9，3），C（3，6），求A。錯解：∵kAB=0，kAC==-1，∴tanA===1.又0＜A＜1800，∴A=450。剖析：本題的“陷阱”是公式的選取，上述解法中把“到角”與“夾角”的概念混為一談，錯誤地選用了夾角公式。事實上，所求角應是直線AB到AC（注意：不是AC到AB）的角。因此，∴tanA==-1，A=1350。例題3求過點A（-4，2）且與x軸的交點到（1，0）的距離是5的直線方程。錯解：設(shè)直線斜率為k，其方程為y–2=k（x+4），則與x軸的交點為（-4-，0），∴，解得k=-。故所求直線的方程為x+5y–6=0。剖析：題中僅考慮了斜率存在的情況，忽視了斜率不存在的情況，即經(jīng)過A且垂直于x軸的直線，落入“陷阱”。其實x=-4也符合題意。例題4求過點（1，1）且橫、縱截距相等的直線方程。錯解：設(shè)所求方程為，將（1，1）代入得a=2，從而得所求直線方程為x+y–2=0。剖析：上述錯解所設(shè)方程為，其中不含橫、縱截距為0的特殊情形，事實上，橫、縱截距為0且過點（1，1）的直線y=x也符合條件。例題5已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點為A（1，2），要使過A點作圓的切線有兩條，求a的取值范圍。錯解：將圓的方程配方得：(x+)2+(y+1)2=。∵其圓心坐標為C（－，－1），半徑r＝。當點A在圓外時，過點A可作圓的兩條切線，則＞r。即＞。即a2+a+9＞0，解得a∈R。剖析：本題的“陷阱”是方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圓的充要條件，上述解法僅由條件得出＞r，即a2+a+9＞0，卻忽視了a的另一制約條件4–3a2＞0。事實上，由a2+a+9＞0及4–3a2＞0可得a的取值范圍是（）。例題6已知直線L：y=x+b與曲線C：y=有兩個公共點，求實線b的取值范圍。錯解：由消去x得：2y2-2by+b2–1=0。（*）∵L與曲線C有兩個公共點，∴=4b2–8(b2－1)>0，解得－＜b＜剖析：上述解法忽視了方程y=中y≥0，－1≤x≤1這一限制條件，得出了錯誤的結(jié)論。事實上，曲線C和直線L有兩個公共點等價于方程（*）有兩個不等的非負實根。解得1≤b≤。例題7等腰三角形頂點是A（4，2），底邊的一個端點是B（3，5），求另一個端點C的軌跡方程。錯解：設(shè)另一個端點的坐標為（x，y），依題意有：=，即：=∴（x-4）2+(y-2)2=10即為C點的軌跡方程。這是以A（4，2）為圓心、以為半徑的圓。剖析：因為A、B、C三點為三角形三個頂點，所以A、B、C三點不共線，即B、C不能重合，且不能為圓A一直徑的兩個端點，這正是解題后沒有對軌跡進行檢驗，出現(xiàn)增解，造成的解題錯誤。事實上，C點的坐標須滿足，且，故端點C的軌跡方程應為（x-4）2+(y-2)2=10(x3,y5；x5,y－1)。它表示以（4，2）為圓心，以為半徑的圓，除去（3，5）（5，-1）兩點。例題8求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x，y滿足約束條件：錯解：作出可行域如圖1所示，過原點作直線L0：3x+5y=0。由于經(jīng)過B點且與L0平行的直線與原點的距離最近，故z=3x+5y在B點取得最小值。解方程組，得B點坐標為（3，0），∴z最小＝33＋50=9。由于經(jīng)過A點且與L0平行的直線與原點的距離最大，故z=3x+5y在A點取得最大值。解方程組，得A點坐標為（，）?！鄗最大＝3＋5=17。剖析：上述解法中，受課本例題的影響，誤認為在對過原點的直線L0的平行移動中，與原點距離最大的直線所經(jīng)過的可行域上的點，即為目標函數(shù)Z取得最大值的點。反之，即為Z取得最小值的點，并把這一認識移到不同情況中加以應用，由此造成了解題失誤。事實上，過原點作直線L0：3x+5y=0，由于使z=3x+5y＞0的區(qū)域為直線L0的右上方，而使z=3x+5y＜0的區(qū)域為L0的左下方。由圖知：z=3x+5y應在A點取得最大值，在C點取得最小值。解方程組，得C（－2，－1）?！鄗最?。?（－2）＋5（－1）=－11。例題9已知正方形ABCD對角線AC所在直線方程為.拋物線過B，D兩點（1）若正方形中心M為（2，2）時，求點N(b,c)的軌跡方程。（2）求證方程的兩實根，滿足解答：（1）設(shè)因為B,D在拋物線上所以兩式相減得則代入（1）得故點的方程是一條射線。（2）設(shè)同上（1）-（2）得（1）+（2）得（3）代入（4）消去得得又即的兩根滿足故。易錯原因：審題不清，忽略所求軌跡方程的范圍。例題10已知雙曲線兩焦點，其中為的焦點，兩點A(-3,2)B(1,2)都在雙曲線上，（1）求點的坐標；（2）求點的軌跡方程，并畫出軌跡的草圖；（3）若直線與的軌跡方程有且只有一個公共點，求實數(shù)t的取值范圍。解答：（1）由得：，故（2）設(shè)點，則又雙曲線的定義得又或點的軌跡是以為焦點的橢圓除去點或除去點圖略。（3）聯(lián)列：消去得整理得：當時得從圖可知：，又因為軌跡除去點所以當直線過點時也只有一個交點，即或5易錯原因：（1）非標準方程求焦點坐標時計算易錯；（2）求點的軌跡時易少一種情況；（3）對有且僅有一個交點誤認為方程只有一解。例題11已知圓，圓都內(nèi)切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程。錯解：圓O2：，即為所以圓O2的圓心為,半徑,而圓的圓心為,半徑,設(shè)所求動圓圓心M的坐標為(x,y),半徑為r則且，所以即，化簡得即為所求動圓圓心的軌跡方程。剖析：上述解法將=3看成,誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是雙曲線的概念不清所致。事實上，|表示動點M到定點及的距離差為一常數(shù)3。且,點M的軌跡為雙曲線右支，方程為例題12點P與定點F（2，0）的距離和它到直線x=8的距離比是1：3,求動點P與定點距離的最值。錯解：設(shè)動點P(x,y)到直線x=8的距離為d，則即兩邊平方、整理得=1（1）由此式可得：因為所以剖析由上述解題過程知,動點P(x,y)在一橢圓上，由橢圓性質(zhì)知，橢圓上點的橫縱坐標都是有限制的，上述錯解在于忽視了這一取值范圍，由以上解題過程知，的最值可由二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性給予解決即：當時，例題13已知雙曲線的離心率e=,過點A（）和B(a,0)的直線與原點的距離為,直線y=kx+m與該雙曲線交于不同兩點C、D，且C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，求m的取值范圍。錯解由已知，有解之得：所以雙曲線方程為把直線y=kx+m代入雙曲線方程，并整理得：所以(1)設(shè)CD中點為，則APCD，且易知：所以(2)將(2)式代入(1)式得解得m>4或故所求m的范圍是剖析上述錯解，在于在減元過程中，忽視了元素之間的制約關(guān)系，將代入(1)式時，m受k的制約。因為所以故所求m的范圍應為m>4或例題14橢圓中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率,已知點P（）到橢圓上的點最遠距離是，求這個橢圓的方程。錯解設(shè)所求橢圓方程為因為，所以a=2b于是橢圓方程為設(shè)橢圓上點M（x,y）到點P的距離為d,則：所以當時，有所以所求橢圓方程為剖析由橢圓方程得由(1)式知是y的二次函數(shù)，其對稱軸為上述錯解在于沒有就對稱軸在區(qū)間內(nèi)或外進行分類，其正解應對f(y)=的最值情況進行討論：（1）當，即時=7,方程為（2）當,即時，，與矛盾。綜上所述，所求橢圓方程為例題15已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。錯解設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、則（1）得因為A（1，1）為線段PQ的中點，所以將(4)、(5)代入（3）得若，則直線的斜率所以符合題設(shè)條件的直線存在。其方程為剖析在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。應在上述解題的基礎(chǔ)上，再由得根據(jù),說明所求直線不存在。例題16已知橢圓，F(xiàn)為它的右焦點，直線過原點交橢圓C于A、B兩點。求是否存在最大值或最小值？若不存在，說明理由。錯解設(shè)A、B兩點坐標分別為、因為，所以，又橢圓中心為（1，0）,右準線方程為x=5，所以即，同理所以設(shè)直線的方程為y=kx，代入橢圓方程得所以代入(1)式得所以，所以|有最小值3,無最大值。剖析上述錯解過程忽視了過原點斜率不存在的直線，當?shù)男甭什淮嬖跁r，有所以有最小值為3，最大值為25/4課后練習題1、圓x2+2x+y2+4y–3=0上到直線x+y+1=0的距離等于的點共有（）A、1個B、2個C、3個D、4個分析：這里直線和圓相交，很多同學受思維定勢的影響，錯誤地認為圓在此直線的兩側(cè)各有兩點到直線的距離為，導致錯選（D）。事實上，已知圓的方程為：（x+1）2+(y+2)2=8，這是一個以（-1，-2）為圓心，以2為半徑的圓，圓的圓心到直線x+y+1=0的距離為d==，這樣只需畫出（x+1）2+(y+2)2=8和直線x+y+1=0以及和x+y+1=0的距離為的平行直線即可。如圖2所示，圖中三個點A、B、C為所求，故應選（C）。2、過定點（1，2）作兩直線與圓相切，則k的取值范圍是Ak>2B-3<k<2Ck<-3或k>2D以上皆不對解答：D易錯原因：忽略題中方程必須是圓的方程，有些學生不考慮3、設(shè)雙曲線的半焦距為C，直線L過兩點，已知原點到直線L的距離為，則雙曲線的離心率為A2B2或CD解答：D易錯原因：忽略條件對離心率范圍的限制。4、已知二面角的平面角為，PA，PB，A，B為垂足，且PA=4，PB=5，設(shè)A、B到二面角的棱的距離為別為，當變化時，點的軌跡是下列圖形中的ABCD解答：D易錯原因：只注意尋找的關(guān)系式，而未考慮實際問題中的范圍。5、若曲線與直線+3有兩個不同的公共點，則實數(shù)k的取值范圍是ABCD解答：C易錯原因：將曲線轉(zhuǎn)化為時不考慮縱坐標的范圍；另外沒有看清過點(2,-3)且與漸近線平行的直線與雙曲線的位置關(guān)系。6、已知圓+y=4和直線y=mx的交點分別為P、Q兩點，O為坐標原點，則︱OP︱·︱OQ︱=()A1+mBC5D10正確答案：C錯因：學生不能結(jié)合初中學過的切割線定︱OP︱·︱OQ︱等于切線長的平方來解題。7、雙曲線－＝1中，被點P(2,1)平分的弦所在直線方程是（）A8x-9y=7B8x+9y=25C正確答案：D錯因：學生用“點差法”求出直線方程沒有用“△”驗證直線的存在性。8、已知是三角形的一個內(nèi)角，且sin+cos=則方程xsin－ycos=1表示（）A焦點在x軸上的雙曲線B焦點在y軸上的雙曲線C焦點在x軸上的橢圓D焦點在y軸上的橢圓正確答案：D錯因：學生不能由sin+cos=判斷角為鈍角。9、過拋物線的焦點F作互相垂直的兩條直線，分別交準線于P、Q兩點，又過P、Q分別作拋物線對稱軸OF的平行線交拋物線于M﹑N兩點,則M﹑N﹑F三點A共圓B共線C在另一條拋物線上D分布無規(guī)律正確答案：B錯因：學生不能結(jié)合圖形靈活應用圓錐曲線的第二定義分析問題。10、已知實數(shù)x，y滿足3x2+2y2=6x，則x2+y2的最大值是()A、B、4C、5D、2正確答案：B錯誤原因：忽視了條件中x的取值范圍而導致出錯。11、過點(0,1)作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（）A.1條B.2條C.3條D.0條正確答案：C錯解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，即：，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.剖析：本題的解法有兩個問題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率k=0的情形丟掉了，故本題應有三解，即直線有三條。12、已知動點P（x,y）滿足，則P點的軌跡是（）A、直線B、拋物線C、雙曲線D、橢圓正確答案：A錯因：利用圓錐曲線的定義解題，忽視了（1，2）點就在直線3x+4y-11=0上。13、在直角坐標系中，方程所表示的曲線為（）A．一條直線和一個圓B．一條線段和一個圓C．一條直線和半個圓D．一條線段和半個圓正確答案：D錯因：忽視定義取值。14、設(shè)和為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上且滿足，則的面積是（）。A.1B.C.2D.正解：A①又②聯(lián)立①②解得誤解：未將兩邊平方，再與②聯(lián)立，直接求出。15、已知對稱軸為坐標軸的雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線上有一點M（），使，那雙曲線的交點（）。時在時在軸上正解：B。由得，可設(shè)，此時的斜率大于漸近線的斜率，由圖像的性質(zhì)，可知焦點在軸上。所以選B。誤解：設(shè)雙曲線方程為，化簡得：，代入，，，焦點在軸上。這個方法沒錯，但確定有誤，應，焦點在軸上。誤解：選B，沒有分組。16、與圓相切，且縱截距和橫截距相等的直線共有（）A、2條B、3條C、4條D、6條答案：C錯解：A錯因：忽略過原點的圓C的兩條切線17、若雙曲線的右支上一點P（a,b）直線y=x的距離為，則a+b的值是（）A、B、C、D、答案：B錯解：C錯因：沒有挖掘出隱含條件18、雙曲線中，被點P（2，1）平分的弦所在的直線方程為（）A、B、C、D、不存在答案：D錯解：A錯因：沒有檢驗出與雙曲線無交點。19、過函數(shù)y=-的圖象的對稱中心，且和拋物線y2=8x有且只有一個公共點的直線的條數(shù)共有（）A、1條B、2條C、3條D、不存在正確答案：（B）錯誤原因：解本題時極易忽視中心（2，4）在拋物線上，切線只有1條，又易忽視平行于拋物線對稱軸的直線和拋物線只有一個公共點。20、雙曲線上的點P到點(5,0)的距離為，則點P到點()的距離_______。錯解設(shè)雙曲線的兩個焦點分別為,,由雙曲線定義知所以或剖析由題意知，雙曲線左支上的點到左焦點的最短距離為1,所以不合題意，事實上，在求解此類問題時，應靈活運用雙曲線定義，分析出點P的存在情況，然后再求解。如本題中，因左頂點到右焦點的距離為，故點P只能在右支上，所求21、一雙曲線與橢圓有共同焦點，并且與其中一個交點的縱坐標為4，則這個雙曲線的方程為_____。正解：-，設(shè)雙曲線的方程為（27）又由題意知故所求雙曲線方程為誤解：不注意焦點在軸上，出現(xiàn)錯誤。22、過雙曲線x2－的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，且，則這樣的直線有___________條。錯解：2錯因：設(shè)代入橢圓的方程算出有兩條，當不存在，即直線AB軸時，｜AB｜＝4，忽視此種情況。正解：323、一動點到定直線x=3的距離是它到定點F（4，0）的距離的比是，則動點軌道方程為。答案：錯解：由題意有動點的軌跡是雙曲線，又F（4，0），所以c=4，又準線x=3,所以，故雙曲線方程為錯因：沒有明確曲線的中心位置，而套用標準方程。24、經(jīng)過雙曲線的右焦點F2作傾斜角為的弦AB，則的周長為。答案：設(shè)其中，所以，將弦AB的方程代入雙曲線方程，整理得，可求得，故答案為錯解：10錯因：作圖錯誤，沒有考慮傾斜角為的直線與漸近線的關(guān)系，而誤將直線作成與右支有兩交點。25、如果不論實數(shù)b取何值，直線與雙曲線總有公共點，那么k的取值范圍為。答案：錯解：錯因：沒考慮b=0時，直線不能與漸近線平行。26、雙曲線eq\f(x2,9)-\f(y2,16)=1上有一點P到左準線的距離為eq\f(16,5),則P到右焦點的距離為。錯解：設(shè)F1、F2分別為由雙曲線的左、右焦點，則由雙曲線的方程為eq\f(x2,9)-\f(y2,16)=1，易求得a=3,c=5,從而離心率e＝eq\f(5,3),再由第二定義，易求|PF1|=ed1＝，于是又由第一定義，得|PF2|=。剖析：以上出現(xiàn)兩解的原因是考慮到P可能在不同的兩支上。而事實上P若在右支上，則其到F1的最短距離應為右頂點A2到F1的距離|A2F1|＝a+c＝8，而，故點P只能在左支，于是|PF2|=。小結(jié)：一般地，若|PF1|≥a+c,則P可能在兩支上，若|PF1|<a+c,則P只能在一支上。27、已知雙曲線的一條準線方程為x=2,其相應的焦點為(8,0)，離心率為eq\f(3,2)，求雙曲線的方程。錯解：由,于是可求得雙曲線的方程為。點評：看起來問題已經(jīng)解決，然而離心率這個條件似乎多余，而根據(jù)求得的方程又得不到離心率為eq\f(