七年級數(shù)學上冊專題12 一元一次方程的實際應用(人教版)(原卷版)

/專題12一元一次方程實際應用【思維導圖】一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．備注：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關系，尋找等量關系；（2）“設”就是設未知數(shù)，一般求什么就設什么為x，但有時也可以間接設未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．◎考點題型1配套問題例．（2022·四川廣元·七年級期末）有一所寄宿制學校，開學安排宿舍時，如果每間宿舍安排住4人，就會空出5間宿舍；如果每間宿舍安排住3人，就有100人沒床位，那么在學校住宿的學生有多少人？設在學校住宿的學生有x人，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C． D．變式1．（2022·福建三明·模擬預測）用200張彩紙制作圓柱，每張彩紙可制作圓柱側面20個或底面60個，一個圓柱側面與兩個底面組成一個圓柱．為使制作的圓柱側面和底面正好配套，設把x張彩紙制作圓柱側面，則方程可列為（

）A． B．C． D．變式2．（2022·遼寧阜新·七年級期末）某服裝廠要生產(chǎn)同一種型號的服裝，已知3m長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套．(1)列一元一次方程解決問題：現(xiàn)庫內(nèi)存有布料200m，應如何分配布料做上衣和做褲子才能恰好配套？可以生產(chǎn)多少套衣服？(2)如果恰好有這種布料327m，最多可以生產(chǎn)多少套衣服？本著不浪費的原則，如果有剩余，余料可以做幾件上衣或褲子？變式3．（2021·山東煙臺·期末）列方程解應用題某啤酒公司的啤酒車間先將散裝啤酒灌裝成瓶裝啤酒，再將瓶裝啤酒裝箱出車間．該車間有灌裝、裝箱生產(chǎn)線共21條，每條灌裝生產(chǎn)線每小時裝350瓶，每條裝箱生產(chǎn)線每小時裝450瓶．某日，生產(chǎn)前車間內(nèi)已有未裝箱的瓶裝啤酒5200瓶，8:00開始，車間內(nèi)的生產(chǎn)線全部投入生產(chǎn)．(1)若當日到10:00時，該車間內(nèi)未裝箱的瓶裝啤酒達到5500瓶.設灌裝生產(chǎn)線有x條，當日到10:00時，灌裝生產(chǎn)線共裝多少瓶啤酒（用含x的代數(shù)式表示）？該車間內(nèi)灌裝生產(chǎn)線有多少條？(2)若該日車間工作8小時，灌裝生產(chǎn)線設計多少條時？該日車間內(nèi)的瓶裝啤酒恰好全部裝箱？◎考點題型2工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設為1．基本關系式：（1）總工作量=工作效率×工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和．例．（2022·山東濟寧·七年級期末）一項工程由甲工程隊單獨完成需要12天，由乙工程隊單獨完成需要16天．甲工程隊單獨施工5天后，為加快工程進度，又抽調(diào)乙工程隊加入該工程施工，問還需多少天可以完成該工程？如果設還需x天可以完成該工程，則可列方程為（

）A． B． C． D．變式1．（2022·福建三明·七年級期末）某車間原計劃用15小時生產(chǎn)一批零件，實際每小時多生產(chǎn)了10件，用了13小時不但完成了任務，而且還多生產(chǎn)了80件，設原計劃每小時生產(chǎn)個零件，那么下列方程正確的是（

）A． B．C． D．變式2．（2022·河南三門峽·七年級期末）整理一批快遞，如果由一個人單獨做要用20小時，現(xiàn)先安排一部分人用1小時整理，隨后又增加4人和他們一起做了2小時，恰好完成整理工作，假設每個人的工作效率相同，那么應先安排多少人整理這批快遞？變式3．（2023·江蘇·七年級專題練習）在防疫政策的指導下，疫情得到了全面控制某醫(yī)療器械廠計劃在規(guī)定時間內(nèi)完成一批防護服的生產(chǎn)任務，如果每天生產(chǎn)防護服300套，那么就比原計劃生產(chǎn)任務少生產(chǎn)100套；如果每天生產(chǎn)350套，那么可提前一天完成任務，并且還超過原計劃生產(chǎn)任務50套，求這批防護服原計劃生產(chǎn)任務是多少？◎考點題型3銷售盈虧問題（1）(2)標價＝成本(或進價)×(1＋利潤率)(3)實際售價＝標價×打折率(4)利潤＝售價－成本(或進價)＝成本×利潤率注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；當右邊為負時，就是虧損.打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售．例．（2022·河北保定·七年級期末）一件上衣標價為225元，若以標價的八折（即標價的80%）出售，仍可獲利20%，則該件上衣的進價為（

）元．A．140 B．150 C．160 D．180變式1．（2022·廣東·汕頭市金平區(qū)金園實驗中學七年級期末）某商店以120元一件購進一批上衣，提價25%后出售，以8折售出，則在這次買賣中每件上衣（

）A．賺了5元 B．賺了13元 C．賠了9元 D．不賠不賺變式2．（2022·河南駐馬店·七年級期末）某超市用4900元購進甲、乙兩種商品，且購買乙種商品的數(shù)量比甲種商品數(shù)量的2倍還多10件．甲、乙兩種商品的進價和標價如表：甲乙進價（元/件）3422標價（元/件）5035(1)該超市購進甲、乙兩種商品各多少件？(2)若甲商品打9折銷售，乙商品打8折銷售，這批商品全部售完可獲利多少元？變式3．（2022·廣東·汕頭市金平區(qū)金園實驗中學七年級期末）某市兩超市在元旦節(jié)期間分別推出如下促銷方式：甲超市：全場均按八八折優(yōu)惠；乙超市：購物不超過200元，不給于優(yōu)惠；超過了200元而不超過500元一律打九折；超過500元時，其中的500元打九折，超過500元的部分打八折；已知兩家超市相同商品的標價都一樣．(1)當一次性購物總額是400元時，甲、乙兩家超市實付款分別是多少？(2)某顧客在乙超市購物實際付款482元，試問該顧客的選擇劃算嗎？試說明理由．◎考點題型4比賽積分問題例．（2022·陜西咸陽·七年級期末）某校舉辦班級籃球比賽，每場比賽都要決出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．如果七年級（1）班在8場比賽中共得13分，設獲勝的場數(shù)是x場，則可列方程為（

）A． B．C． D．變式1．（2021·河南安陽·七年級開學考試）在一次數(shù)學搶答競賽中，共有20道題，規(guī)定每答對一道得10分、答錯一道扣5分，奮斗組最后得分是155分．那么，奮斗組共答錯了（

）道題A．3 B．6 C．9 D．17變式2．（2022·新疆克拉瑪依·七年級期末）利用二元一次方程組解應用題：為有效落實雙減工作，切實做到減負提質(zhì)，很多學校高度重視學生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，共得25分，求該隊獲勝的場數(shù)．變式3．（2022·浙江紹興·八年級期末）為增強同學們垃圾分類意識，某學校舉行了垃圾分類知識競賽，一共有25道題，滿分100分，每一題答對得4分，答錯扣1分，不答得0分．(1)若某參賽同學只有1道題沒有作答，最后他的總得分為86分，則該參賽同學一共答對了多少道題？(2)若規(guī)定參賽者每道題都必須作答且總得分大于或等于90分才可以被評為“垃圾分類小達人”，則參賽者至少需答對多少道題才能被評為“垃圾分類小達人”？◎考點題型5方案選擇問題選擇設計方案的一般步驟：（1）運用一元一次方程解應用題的方法求解兩種方案值相等的情況．（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結論．例．（2021·江蘇蘇州·七年級期末）商店將標價為6元的筆記本，采用如下方式進行促銷；若購買不超過3本，則按原價付款；若一次性購買3本以上，則超過的部分打七折．小明有54元錢，他購買筆記本的數(shù)量是（）A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本變式1．（2022·云南文山·七年級期末）某班參加“3.12”植樹活動，若每人植棵樹，則余棵樹；若每人植棵樹，則差棵樹，求該班有多少名學生？若設該班有名學生，則可列方程是（

）A． B．C． D．變式2．（2022·山東濰坊·八年級期末）某校開展校園藝術節(jié)系列活動，派小明到文體超市購買若干個文具袋作為獎品．這種文具袋標價每個10元，請認真閱讀結賬時老板與小明的對話：(1)結合兩人的對話內(nèi)容，求小明原計劃購買文具袋多少個？(2)學校決定，再次購買鋼筆和簽字筆共60支作為補充獎品，兩次購買獎品總支出不超過500元．其中鋼筆標價每支10元，簽字筆標價每支6元，經(jīng)過溝通，這次老板給予8折優(yōu)惠，那么小明最多可購買鋼筆多少支？變式3．（2022·湖北孝感·七年級期末）一種商品按銷售量分三部分制定銷售單價，如下表：銷售量單價不超過100件的部分3元/件超過100件不超過200件的部分2.5元/件超過200件的部分2元/件如購買120件這種商品，則需100×3＋（120－100）×2.5＝350（元）(1)求購買100件、200件和260件這種商品，分別需要多少元？(2)某人購買這種商品花了400元，求他購買了這種商品多少件？(3)若某人花了n（n＞0）元，恰好購買了件這種商品，求n的值．◎考點題型6數(shù)字問題已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．例．（2022·四川眉山·七年級期末）如圖，三階幻方中每行、每列及每條對角線上的各數(shù)和都相等，則t的值為（

）A．18 B．16 C．12 D．10變式1．（2022·浙江湖州·七年級期末）數(shù)學魔術：魔術師請觀眾心想一個數(shù)，然后將這個數(shù)按以下步驟操作：魔術師能立刻說出觀眾想的那個數(shù)．小玲告訴魔術師的數(shù)是2，那么她心里想的數(shù)是（

）A．0 B． C． D．變式2．（2022·河北·石家莊市第二十八中學二模）數(shù)軸上有不同兩點、，點A表示的數(shù)是：2+3．

點B表示的數(shù)是：3-2．(1)若點表示的數(shù)是-1，求點表示的數(shù)；(2)若點在點的左側，求的取值范圍．變式3．（2022·江蘇·七年級專題練習）已知一列數(shù)2，0，﹣1．﹣．(1)求最大的數(shù)和最小的數(shù)的差；(2)若再添上一個有理數(shù)m，使得五個有理數(shù)的和為0，求m的值．◎考點題型7幾何問題例．（2022·河南許昌·七年級期末）在如圖所示的數(shù)軸上，，A、B兩點對應的實數(shù)分別是和-1，則點C所對應的實數(shù)是（

）A． B． C． D．變式1．（2022·遼寧大連·七年級期末）一個長方形的周長為28cm，若把它的長減少1cm，寬增加3cm，就變成一個正方形，則這個長方形的面積是（

）A．48 B．45 C．40 D．33變式2．（2022·河南平頂山·七年級期末）如圖所示，有甲、乙兩個容器，甲容器盛滿水，乙容器里沒有水，現(xiàn)將甲容器中的水全部倒入乙容器，問：水會不會溢出？如果不會溢出，請你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水會溢出，請你說明理由．（容器壁厚度忽略不計，圖中數(shù)據(jù)的單位：cm）變式3．（2023·江蘇·七年級專題練習）用一根長為10米的鐵絲圍成一個長方形，若該長方形的長比寬多2米，長方形的長、寬各為多少？◎考點題型8和差倍分問題（1）基本量及關系：增長量＝原有量×增長率，現(xiàn)有量＝原有量+增長量，現(xiàn)有量＝原有量-降低量．（2）尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．例．（2022·黑龍江黑河·七年級期末）遜克縣中小學校的第二課堂活動開展的有聲有色．某校合唱團30人，舞蹈隊20人要共同外出表演，現(xiàn)根據(jù)演出需要，從舞蹈隊中抽調(diào)了部分同學參加合唱團，使合唱團的人數(shù)恰好是舞蹈隊人數(shù)的4倍．設從舞蹈隊中抽調(diào)了x人參加合唱團，可列方程為（

）．A．4（30﹣x）＝20＋x B．30＋x＝4（20﹣x）C．30﹣4x＝20＋x D．30﹣x＝4（20﹣x）變式1．（2022·重慶市第七中學校七年級期中）學校在舉辦“讀書月”的活動中，將一些圖書分給了七年級一班的學生閱讀，如果每人分2本，則剩余15本；如果每人分3本，則還缺20本．若設該校七年級一班有學生人，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．變式2．（2022·河南鄭州·七年級期末）某校組織七年級（）班學生分成甲、乙兩隊參加社會勞動實踐，其中甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的倍，后因勞動需要，從甲隊抽調(diào)人支援乙隊，這時甲隊人數(shù)是乙隊人數(shù)的一半，則甲、乙兩隊原來各有多少人？變式3．（2022·吉林·東北師大附中七年級期中）請根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：(1)分別求每個水瓶和每個水杯的錢數(shù)．(2)王老師購買了6個水瓶和20個水杯，商家打八折，求王老師花的錢數(shù)．◎考點題型9電費水費問題例．（2022·云南文山·七年級期末）為鼓勵居民節(jié)約用水，某市對居民用水實行“階梯收費”，規(guī)定每戶每月用水量不超過10噸，水價為每噸2元；超過10噸的部分每噸3.5元．已知小莉家某月交水費34元，則小莉家該月用水多少噸？若設小莉家該月用水x噸，則可列方程為（

）A． B．C． D．變式1．（2022·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學研究室二模）濰坊出租車采用階梯式的計價收費辦法如下表：行駛里程計費方法不超過3公里起步價8元超過3公里且不超過7公里的部分每公里按標準租費收費超過7公里且不超過25公里的部分每公里再加收標準租費的50%超過25公里且不超過100公里的部分每公里再加收標準租費的75%超過100公里的部分每公里再加收標準租費的100%說明：行駛里程不足1公里，按1公里計算；行駛里程超過3公里時的標準租費為1.8元/公里．若某人一次乘車費用為26元，那么行駛里程為（

）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里變式2．（2022·江蘇·七年級專題練習）某市收取水費按以下規(guī)定：若每月每戶不超過20立方米，則每立方米水價按1.2元收費；若超過20立方米，則超過部分按每立方米2元收費，那么(1)如果某戶居民在某月用水x立方米，且x≤20，則所交水費為；(2)如果某戶居民在某月用水x立方米，且x＞20，則所交水費為元；(3)如果某戶居民在某月所交水費的平均水價為每立方米1.5元，設這戶居民這個月共用了x立方米的水，請寫出x的范圍，并列出方程．計費方法A計費方法B每月基本服務費（元/月）58元88元每月免費通話時間（分）150分350分超出后每分鐘收費（元/分）0.25元0.20元(1)若月通話時間是3小時，則使用計費方法A的用戶話費為_______元，使用計費方法B的用戶話費為_______元；(2)若月通話時間是x分鐘（x>350），則按A、B兩種計費方法的用戶話費分別是多少？（用含x的代數(shù)式表示）(3)當通話時間為多長時，按A、B兩種計費方法所需的用戶話費相等？◎考點題型10行程問題（1）三個基本量間的關系：路程=速度×時間（2）基本類型有：①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關系：相遇路程=速度和×相遇時間Ⅱ．尋找相等關系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關系：追及路程=速度差×追及時間Ⅱ．尋找相等關系：同地不同時出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．尋找相等關系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，并且還常常借助畫草圖來分析．例．（2021·湖北黃石·七年級期末）汽車以72千米/時的速度在公路上行駛，開向寂靜的山谷，駕駛員按一下喇叭，4秒后聽到回響，這時汽車離山谷多遠？已知空氣中聲音的轉播速度約為340米/秒．設按喇叭時，汽車離山谷x米，根據(jù)題意，可列出方程為（）A．2x+4×72＝4×340 B．2x﹣4×72＝4×340C．2x+4×20＝4×340 D．2x﹣4×20＝4×340變式1．（2022·河北邢臺·七年級期末）某學校七年級進行一次徒步活動，帶隊教師和學生們以4km/h的速度從學校出發(fā)，20min后，小王騎自行車前去追趕．如果小王以12km/h的速度行駛，那么小王要用多少小時才能追上隊伍？設小王要用xh才能追上隊伍，那么可列出的方程是（

）A．12x＝4（x+20） B．12x＝4（+x）C．12x＝4×+x D．4x＝12（x）變式2．（2022·山東濰坊·七年級期末）甲車和乙車分別從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，分別去往B地和A地，兩車勻速行駛2小時相遇，相遇時甲車比乙車少走了20千米．相遇后，乙車按原速繼續(xù)行駛1.8小時到達A地．(1)乙車的行駛速度是多少千米/時？(2)相遇后，甲車先以100千米/時的速度行駛了一段路程后，又以120千米/時的速度繼續(xù)行駛，剛好能和乙車同時到達目的地，試求相遇后，甲車以100千米/時的速度行駛的路程和以120千米/時的速度行駛的路程各是多少千米？變式3．（2022·陜西咸陽·七年級期末）已知甲、乙兩地相距80千米，小明從甲地出發(fā)，開車去乙地．小軍從乙地出發(fā)，開車去甲地．若小明與小軍同時出發(fā)，且小明的平均車速是每小時45千米，小軍的平均車速是每小時55千米，問經(jīng)過多少小時兩人相遇？（請列方程并求解）◎考點題型11比例分配問題尋找相等關系的方法：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關系去考慮．例．（2023·福建·泉州五中三模）明代數(shù)學家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤.”其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩，如果每人分九兩，則還差半斤（注：明代時1斤＝16兩，故有“半斤八兩”這個成語）．設總共有x個人，根據(jù)題意所列方程正確的是（

）A．7x-4=9x+8 B．7x+4=9x-8C． D．變式1．（2021·江蘇·七年級專題練習）“和尚分饅頭”問題是我國古代的數(shù)學名題之一，它出自明代數(shù)學家程大位寫的《算法統(tǒng)宗》．書中的題目是這樣的：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾?。吭O有小和尚人，根據(jù)題意