七年級數(shù)學(xué)上冊專題12 一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用(人教版)(原卷版)

/專題12一元一次方程實(shí)際應(yīng)用【思維導(dǎo)圖】一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟列方程解應(yīng)用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗(yàn)、答．備注：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．（5）“檢驗(yàn)”就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，當(dāng)有不符合的解時，及時指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．◎考點(diǎn)題型1配套問題例．（2022·四川廣元·七年級期末）有一所寄宿制學(xué)校，開學(xué)安排宿舍時，如果每間宿舍安排住4人，就會空出5間宿舍；如果每間宿舍安排住3人，就有100人沒床位，那么在學(xué)校住宿的學(xué)生有多少人？設(shè)在學(xué)校住宿的學(xué)生有x人，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C． D．變式1．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）用200張彩紙制作圓柱，每張彩紙可制作圓柱側(cè)面20個或底面60個，一個圓柱側(cè)面與兩個底面組成一個圓柱．為使制作的圓柱側(cè)面和底面正好配套，設(shè)把x張彩紙制作圓柱側(cè)面，則方程可列為（

）A． B．C． D．變式2．（2022·遼寧阜新·七年級期末）某服裝廠要生產(chǎn)同一種型號的服裝，已知3m長的布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套．(1)列一元一次方程解決問題：現(xiàn)庫內(nèi)存有布料200m，應(yīng)如何分配布料做上衣和做褲子才能恰好配套？可以生產(chǎn)多少套衣服？(2)如果恰好有這種布料327m，最多可以生產(chǎn)多少套衣服？本著不浪費(fèi)的原則，如果有剩余，余料可以做幾件上衣或褲子？變式3．（2021·山東煙臺·期末）列方程解應(yīng)用題某啤酒公司的啤酒車間先將散裝啤酒灌裝成瓶裝啤酒，再將瓶裝啤酒裝箱出車間．該車間有灌裝、裝箱生產(chǎn)線共21條，每條灌裝生產(chǎn)線每小時裝350瓶，每條裝箱生產(chǎn)線每小時裝450瓶．某日，生產(chǎn)前車間內(nèi)已有未裝箱的瓶裝啤酒5200瓶，8:00開始，車間內(nèi)的生產(chǎn)線全部投入生產(chǎn)．(1)若當(dāng)日到10:00時，該車間內(nèi)未裝箱的瓶裝啤酒達(dá)到5500瓶.設(shè)灌裝生產(chǎn)線有x條，當(dāng)日到10:00時，灌裝生產(chǎn)線共裝多少瓶啤酒（用含x的代數(shù)式表示）？該車間內(nèi)灌裝生產(chǎn)線有多少條？(2)若該日車間工作8小時，灌裝生產(chǎn)線設(shè)計(jì)多少條時？該日車間內(nèi)的瓶裝啤酒恰好全部裝箱？◎考點(diǎn)題型2工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1．基本關(guān)系式：（1）總工作量=工作效率×工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和．例．（2022·山東濟(jì)寧·七年級期末）一項(xiàng)工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成需要12天，由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成需要16天．甲工程隊(duì)單獨(dú)施工5天后，為加快工程進(jìn)度，又抽調(diào)乙工程隊(duì)加入該工程施工，問還需多少天可以完成該工程？如果設(shè)還需x天可以完成該工程，則可列方程為（

）A． B． C． D．變式1．（2022·福建三明·七年級期末）某車間原計(jì)劃用15小時生產(chǎn)一批零件，實(shí)際每小時多生產(chǎn)了10件，用了13小時不但完成了任務(wù)，而且還多生產(chǎn)了80件，設(shè)原計(jì)劃每小時生產(chǎn)個零件，那么下列方程正確的是（

）A． B．C． D．變式2．（2022·河南三門峽·七年級期末）整理一批快遞，如果由一個人單獨(dú)做要用20小時，現(xiàn)先安排一部分人用1小時整理，隨后又增加4人和他們一起做了2小時，恰好完成整理工作，假設(shè)每個人的工作效率相同，那么應(yīng)先安排多少人整理這批快遞？變式3．（2023·江蘇·七年級專題練習(xí)）在防疫政策的指導(dǎo)下，疫情得到了全面控制某醫(yī)療器械廠計(jì)劃在規(guī)定時間內(nèi)完成一批防護(hù)服的生產(chǎn)任務(wù)，如果每天生產(chǎn)防護(hù)服300套，那么就比原計(jì)劃生產(chǎn)任務(wù)少生產(chǎn)100套；如果每天生產(chǎn)350套，那么可提前一天完成任務(wù)，并且還超過原計(jì)劃生產(chǎn)任務(wù)50套，求這批防護(hù)服原計(jì)劃生產(chǎn)任務(wù)是多少？◎考點(diǎn)題型3銷售盈虧問題（1）(2)標(biāo)價＝成本(或進(jìn)價)×(1＋利潤率)(3)實(shí)際售價＝標(biāo)價×打折率(4)利潤＝售價－成本(或進(jìn)價)＝成本×利潤率注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；當(dāng)右邊為負(fù)時，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售．例．（2022·河北保定·七年級期末）一件上衣標(biāo)價為225元，若以標(biāo)價的八折（即標(biāo)價的80%）出售，仍可獲利20%，則該件上衣的進(jìn)價為（

）元．A．140 B．150 C．160 D．180變式1．（2022·廣東·汕頭市金平區(qū)金園實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期末）某商店以120元一件購進(jìn)一批上衣，提價25%后出售，以8折售出，則在這次買賣中每件上衣（

）A．賺了5元 B．賺了13元 C．賠了9元 D．不賠不賺變式2．（2022·河南駐馬店·七年級期末）某超市用4900元購進(jìn)甲、乙兩種商品，且購買乙種商品的數(shù)量比甲種商品數(shù)量的2倍還多10件．甲、乙兩種商品的進(jìn)價和標(biāo)價如表：甲乙進(jìn)價（元/件）3422標(biāo)價（元/件）5035(1)該超市購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？(2)若甲商品打9折銷售，乙商品打8折銷售，這批商品全部售完可獲利多少元？變式3．（2022·廣東·汕頭市金平區(qū)金園實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期末）某市兩超市在元旦節(jié)期間分別推出如下促銷方式：甲超市：全場均按八八折優(yōu)惠；乙超市：購物不超過200元，不給于優(yōu)惠；超過了200元而不超過500元一律打九折；超過500元時，其中的500元打九折，超過500元的部分打八折；已知兩家超市相同商品的標(biāo)價都一樣．(1)當(dāng)一次性購物總額是400元時，甲、乙兩家超市實(shí)付款分別是多少？(2)某顧客在乙超市購物實(shí)際付款482元，試問該顧客的選擇劃算嗎？試說明理由．◎考點(diǎn)題型4比賽積分問題例．（2022·陜西咸陽·七年級期末）某校舉辦班級籃球比賽，每場比賽都要決出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場得2分，負(fù)一場得1分．如果七年級（1）班在8場比賽中共得13分，設(shè)獲勝的場數(shù)是x場，則可列方程為（

）A． B．C． D．變式1．（2021·河南安陽·七年級開學(xué)考試）在一次數(shù)學(xué)搶答競賽中，共有20道題，規(guī)定每答對一道得10分、答錯一道扣5分，奮斗組最后得分是155分．那么，奮斗組共答錯了（

）道題A．3 B．6 C．9 D．17變式2．（2022·新疆克拉瑪依·七年級期末）利用二元一次方程組解應(yīng)用題：為有效落實(shí)雙減工作，切實(shí)做到減負(fù)提質(zhì)，很多學(xué)校高度重視學(xué)生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，某隊(duì)在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，共得25分，求該隊(duì)獲勝的場數(shù)．變式3．（2022·浙江紹興·八年級期末）為增強(qiáng)同學(xué)們垃圾分類意識，某學(xué)校舉行了垃圾分類知識競賽，一共有25道題，滿分100分，每一題答對得4分，答錯扣1分，不答得0分．(1)若某參賽同學(xué)只有1道題沒有作答，最后他的總得分為86分，則該參賽同學(xué)一共答對了多少道題？(2)若規(guī)定參賽者每道題都必須作答且總得分大于或等于90分才可以被評為“垃圾分類小達(dá)人”，則參賽者至少需答對多少道題才能被評為“垃圾分類小達(dá)人”？◎考點(diǎn)題型5方案選擇問題選擇設(shè)計(jì)方案的一般步驟：（1）運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況．（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論．例．（2021·江蘇蘇州·七年級期末）商店將標(biāo)價為6元的筆記本，采用如下方式進(jìn)行促銷；若購買不超過3本，則按原價付款；若一次性購買3本以上，則超過的部分打七折．小明有54元錢，他購買筆記本的數(shù)量是（）A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本變式1．（2022·云南文山·七年級期末）某班參加“3.12”植樹活動，若每人植棵樹，則余棵樹；若每人植棵樹，則差棵樹，求該班有多少名學(xué)生？若設(shè)該班有名學(xué)生，則可列方程是（

）A． B．C． D．變式2．（2022·山東濰坊·八年級期末）某校開展校園藝術(shù)節(jié)系列活動，派小明到文體超市購買若干個文具袋作為獎品．這種文具袋標(biāo)價每個10元，請認(rèn)真閱讀結(jié)賬時老板與小明的對話：(1)結(jié)合兩人的對話內(nèi)容，求小明原計(jì)劃購買文具袋多少個？(2)學(xué)校決定，再次購買鋼筆和簽字筆共60支作為補(bǔ)充獎品，兩次購買獎品總支出不超過500元．其中鋼筆標(biāo)價每支10元，簽字筆標(biāo)價每支6元，經(jīng)過溝通，這次老板給予8折優(yōu)惠，那么小明最多可購買鋼筆多少支？變式3．（2022·湖北孝感·七年級期末）一種商品按銷售量分三部分制定銷售單價，如下表：銷售量單價不超過100件的部分3元/件超過100件不超過200件的部分2.5元/件超過200件的部分2元/件如購買120件這種商品，則需100×3＋（120－100）×2.5＝350（元）(1)求購買100件、200件和260件這種商品，分別需要多少元？(2)某人購買這種商品花了400元，求他購買了這種商品多少件？(3)若某人花了n（n＞0）元，恰好購買了件這種商品，求n的值．◎考點(diǎn)題型6數(shù)字問題已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．例．（2022·四川眉山·七年級期末）如圖，三階幻方中每行、每列及每條對角線上的各數(shù)和都相等，則t的值為（

）A．18 B．16 C．12 D．10變式1．（2022·浙江湖州·七年級期末）數(shù)學(xué)魔術(shù)：魔術(shù)師請觀眾心想一個數(shù)，然后將這個數(shù)按以下步驟操作：魔術(shù)師能立刻說出觀眾想的那個數(shù)．小玲告訴魔術(shù)師的數(shù)是2，那么她心里想的數(shù)是（

）A．0 B． C． D．變式2．（2022·河北·石家莊市第二十八中學(xué)二模）數(shù)軸上有不同兩點(diǎn)、，點(diǎn)A表示的數(shù)是：2+3．

點(diǎn)B表示的數(shù)是：3-2．(1)若點(diǎn)表示的數(shù)是-1，求點(diǎn)表示的數(shù)；(2)若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，求的取值范圍．變式3．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）已知一列數(shù)2，0，﹣1．﹣．(1)求最大的數(shù)和最小的數(shù)的差；(2)若再添上一個有理數(shù)m，使得五個有理數(shù)的和為0，求m的值．◎考點(diǎn)題型7幾何問題例．（2022·河南許昌·七年級期末）在如圖所示的數(shù)軸上，，A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是和-1，則點(diǎn)C所對應(yīng)的實(shí)數(shù)是（

）A． B． C． D．變式1．（2022·遼寧大連·七年級期末）一個長方形的周長為28cm，若把它的長減少1cm，寬增加3cm，就變成一個正方形，則這個長方形的面積是（

）A．48 B．45 C．40 D．33變式2．（2022·河南平頂山·七年級期末）如圖所示，有甲、乙兩個容器，甲容器盛滿水，乙容器里沒有水，現(xiàn)將甲容器中的水全部倒入乙容器，問：水會不會溢出？如果不會溢出，請你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水會溢出，請你說明理由．（容器壁厚度忽略不計(jì)，圖中數(shù)據(jù)的單位：cm）變式3．（2023·江蘇·七年級專題練習(xí)）用一根長為10米的鐵絲圍成一個長方形，若該長方形的長比寬多2米，長方形的長、寬各為多少？◎考點(diǎn)題型8和差倍分問題（1）基本量及關(guān)系：增長量＝原有量×增長率，現(xiàn)有量＝原有量+增長量，現(xiàn)有量＝原有量-降低量．（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．例．（2022·黑龍江黑河·七年級期末）遜克縣中小學(xué)校的第二課堂活動開展的有聲有色．某校合唱團(tuán)30人，舞蹈隊(duì)20人要共同外出表演，現(xiàn)根據(jù)演出需要，從舞蹈隊(duì)中抽調(diào)了部分同學(xué)參加合唱團(tuán)，使合唱團(tuán)的人數(shù)恰好是舞蹈隊(duì)人數(shù)的4倍．設(shè)從舞蹈隊(duì)中抽調(diào)了x人參加合唱團(tuán)，可列方程為（

）．A．4（30﹣x）＝20＋x B．30＋x＝4（20﹣x）C．30﹣4x＝20＋x D．30﹣x＝4（20﹣x）變式1．（2022·重慶市第七中學(xué)校七年級期中）學(xué)校在舉辦“讀書月”的活動中，將一些圖書分給了七年級一班的學(xué)生閱讀，如果每人分2本，則剩余15本；如果每人分3本，則還缺20本．若設(shè)該校七年級一班有學(xué)生人，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．變式2．（2022·河南鄭州·七年級期末）某校組織七年級（）班學(xué)生分成甲、乙兩隊(duì)參加社會勞動實(shí)踐，其中甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的倍，后因勞動需要，從甲隊(duì)抽調(diào)人支援乙隊(duì)，這時甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的一半，則甲、乙兩隊(duì)原來各有多少人？變式3．（2022·吉林·東北師大附中七年級期中）請根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：(1)分別求每個水瓶和每個水杯的錢數(shù)．(2)王老師購買了6個水瓶和20個水杯，商家打八折，求王老師花的錢數(shù)．◎考點(diǎn)題型9電費(fèi)水費(fèi)問題例．（2022·云南文山·七年級期末）為鼓勵居民節(jié)約用水，某市對居民用水實(shí)行“階梯收費(fèi)”，規(guī)定每戶每月用水量不超過10噸，水價為每噸2元；超過10噸的部分每噸3.5元．已知小莉家某月交水費(fèi)34元，則小莉家該月用水多少噸？若設(shè)小莉家該月用水x噸，則可列方程為（

）A． B．C． D．變式1．（2022·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室二模）濰坊出租車采用階梯式的計(jì)價收費(fèi)辦法如下表：行駛里程計(jì)費(fèi)方法不超過3公里起步價8元超過3公里且不超過7公里的部分每公里按標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)收費(fèi)超過7公里且不超過25公里的部分每公里再加收標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)的50%超過25公里且不超過100公里的部分每公里再加收標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)的75%超過100公里的部分每公里再加收標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)的100%說明：行駛里程不足1公里，按1公里計(jì)算；行駛里程超過3公里時的標(biāo)準(zhǔn)租費(fèi)為1.8元/公里．若某人一次乘車費(fèi)用為26元，那么行駛里程為（

）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里變式2．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）某市收取水費(fèi)按以下規(guī)定：若每月每戶不超過20立方米，則每立方米水價按1.2元收費(fèi)；若超過20立方米，則超過部分按每立方米2元收費(fèi)，那么(1)如果某戶居民在某月用水x立方米，且x≤20，則所交水費(fèi)為；(2)如果某戶居民在某月用水x立方米，且x＞20，則所交水費(fèi)為元；(3)如果某戶居民在某月所交水費(fèi)的平均水價為每立方米1.5元，設(shè)這戶居民這個月共用了x立方米的水，請寫出x的范圍，并列出方程．計(jì)費(fèi)方法A計(jì)費(fèi)方法B每月基本服務(wù)費(fèi)（元/月）58元88元每月免費(fèi)通話時間（分）150分350分超出后每分鐘收費(fèi)（元/分）0.25元0.20元(1)若月通話時間是3小時，則使用計(jì)費(fèi)方法A的用戶話費(fèi)為_______元，使用計(jì)費(fèi)方法B的用戶話費(fèi)為_______元；(2)若月通話時間是x分鐘（x>350），則按A、B兩種計(jì)費(fèi)方法的用戶話費(fèi)分別是多少？（用含x的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)通話時間為多長時，按A、B兩種計(jì)費(fèi)方法所需的用戶話費(fèi)相等？◎考點(diǎn)題型10行程問題（1）三個基本量間的關(guān)系：路程=速度×?xí)r間（2）基本類型有：①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：同地不同時出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水速；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析．例．（2021·湖北黃石·七年級期末）汽車以72千米/時的速度在公路上行駛，開向寂靜的山谷，駕駛員按一下喇叭，4秒后聽到回響，這時汽車離山谷多遠(yuǎn)？已知空氣中聲音的轉(zhuǎn)播速度約為340米/秒．設(shè)按喇叭時，汽車離山谷x米，根據(jù)題意，可列出方程為（）A．2x+4×72＝4×340 B．2x﹣4×72＝4×340C．2x+4×20＝4×340 D．2x﹣4×20＝4×340變式1．（2022·河北邢臺·七年級期末）某學(xué)校七年級進(jìn)行一次徒步活動，帶隊(duì)教師和學(xué)生們以4km/h的速度從學(xué)校出發(fā)，20min后，小王騎自行車前去追趕．如果小王以12km/h的速度行駛，那么小王要用多少小時才能追上隊(duì)伍？設(shè)小王要用xh才能追上隊(duì)伍，那么可列出的方程是（

）A．12x＝4（x+20） B．12x＝4（+x）C．12x＝4×+x D．4x＝12（x）變式2．（2022·山東濰坊·七年級期末）甲車和乙車分別從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，分別去往B地和A地，兩車勻速行駛2小時相遇，相遇時甲車比乙車少走了20千米．相遇后，乙車按原速繼續(xù)行駛1.8小時到達(dá)A地．(1)乙車的行駛速度是多少千米/時？(2)相遇后，甲車先以100千米/時的速度行駛了一段路程后，又以120千米/時的速度繼續(xù)行駛，剛好能和乙車同時到達(dá)目的地，試求相遇后，甲車以100千米/時的速度行駛的路程和以120千米/時的速度行駛的路程各是多少千米？變式3．（2022·陜西咸陽·七年級期末）已知甲、乙兩地相距80千米，小明從甲地出發(fā)，開車去乙地．小軍從乙地出發(fā)，開車去甲地．若小明與小軍同時出發(fā)，且小明的平均車速是每小時45千米，小軍的平均車速是每小時55千米，問經(jīng)過多少小時兩人相遇？（請列方程并求解）◎考點(diǎn)題型11比例分配問題尋找相等關(guān)系的方法：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮．例．（2023·福建·泉州五中三模）明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤.”其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩，如果每人分九兩，則還差半斤（注：明代時1斤＝16兩，故有“半斤八兩”這個成語）．設(shè)總共有x個人，根據(jù)題意所列方程正確的是（

）A．7x-4=9x+8 B．7x+4=9x-8C． D．變式1．（2021·江蘇·七年級專題練習(xí)）“和尚分饅頭”問題是我國古代的數(shù)學(xué)名題之一，它出自明代數(shù)學(xué)家程大位寫的《算法統(tǒng)宗》．書中的題目是這樣的：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾?。吭O(shè)有小和尚人，根據(jù)題意