第01講基本立體圖形簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積

第1節(jié)基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積考試要求1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖．1、下列說法中正確的是=1\*GB3①有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱=2\*GB3②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.=3\*GB3③棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．=4\*GB3④錐體的體積等于底面積與高之積．=5\*GB3⑤已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a，則R＝eq\f(\r(3),2)a.=6\*GB3⑥圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.【答案】=3\*GB3③=5\*GB3⑤下列說法正確的是（）A以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；B以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；C圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；D一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．【答案】C【解析】由圓錐、圓臺(tái)、圓柱的定義可知A、B錯(cuò)誤，C正確．對(duì)于D，只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，D不正確．3．如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()A．棱臺(tái)B．四棱柱C．五棱柱D．簡(jiǎn)單組合體【答案】C【解析】由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．4.下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍然相等B．相等的線段在直觀圖中仍然相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段仍然平行【答案】D【解析】由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長(zhǎng)度都有可能改變，而線段的平行關(guān)系不變，正方形的直觀圖是平行四邊形．5．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A．1cmB．2cmC．3cmD.eq\f(3,2)cm【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為rcm，母線長(zhǎng)為lcm，依題意得2πr＝πl(wèi)，∴l(xiāng)＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).6.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A.12π B.eq\f(32,3)π C.8π 【答案】A【解析】由題意可知正方體的棱長(zhǎng)為2，其體對(duì)角線為2eq\r(3)即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π.1、下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是()A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C.長(zhǎng)方體是直平行六面體D.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體【答案】CD【解析】A中，當(dāng)頂點(diǎn)在底面的投影是正多邊形的中心才是正棱錐，不正確；B中，當(dāng)平面與圓柱的母線平行或垂直時(shí)，截得的截面才為矩形或圓，否則為橢圓或橢圓的一部分，B不正確；C正確；D正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形.【規(guī)律形成】識(shí)別空間幾何體的兩種方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進(jìn)行判定．(2)反例法：通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．2.已知水平放置的四邊形OABC按斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，則原四邊形OABC的面積為()A.eq\f(3\r(2),2)B．3eq\r(2)C．4eq\r(2)D．5eq\r(2)【答案】B【解析】方法一由已知求得O′C′＝eq\r(2)，把直觀圖還原為原圖形如圖，可得原圖形為直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，且OA＝1，BC＝2，OC＝2eq\r(2)，得原四邊形OABC的面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×2eq\r(2)＝3eq\r(2).方法二由題意知A′B′＝1，∴S直觀圖＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，∴S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖＝3eq\r(2).【規(guī)律形成】(1)在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半.”(2)按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.3、(2020·浙江卷)已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位：cm)是________.【答案】1【解析】如圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于側(cè)面展開圖為半圓，可知eq\f(1,2)πl(wèi)2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.【變式1】某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，M，N分別是圓柱上、下底面圓周上的兩點(diǎn)，其中OE⊥ON，如圖所示，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2【答案】B【解析】圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為EP的四等分點(diǎn))如圖所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．EN＝eq\f(1,4)×16＝4，EM＝2，∴MN＝eq\r(EM2＋EN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.【變式2】如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處.若該小蟲爬行的最短路程為4eq\r(3)m，則圓錐底面圓的半徑等于______m.【答案】eq\f(4,3)【解析】圓錐頂點(diǎn)記為O，把圓錐側(cè)面沿母線OP展開成如圖所示的扇形，由題意OP＝4，PP′＝4eq\r(3)，則cos∠POP′＝eq\f(42＋42－（4\r(3)）2,2×4×4)＝－eq\f(1,2)，又∠POP′為△POP′一內(nèi)角，所以∠POP′＝eq\f(2π,3).設(shè)底面圓的半徑為r，則2πr＝eq\f(2π,3)×4，所以r＝eq\f(4,3).【變式3】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝eq\r(3)，AC＝1，AA1＝3，F(xiàn)為棱AA1上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)BF＋FC1最小時(shí)，△BFC1的面積為________．【答案】eq\f(\r(15),2)【解析】將直三棱柱ABC-A1B1C1沿棱AA1展開成平面，連接BC1(圖略)，與AA1的交點(diǎn)即為滿足BF＋FC1最小時(shí)的點(diǎn)F，∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝eq\r(3)，AC＝1，AA1＝3，再結(jié)合棱柱的性質(zhì)，可得A1F＝eq\f(1,3)AA1＝1，故AF＝2.由圖形及棱柱的性質(zhì)，可得BF＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，F(xiàn)C1＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，BC1＝eq\r(3＋9)＝2eq\r(3)，cos∠BFC1＝eq\f(BF2＋FC\o\al(2,1)－BC\o\al(2,1),2×BF×FC1)＝eq\f(8＋2－12,2×2\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,4).故sin∠BFC1＝eq\r(1－\f(1,16))＝eq\f(\r(15),4)，∴△BFC1的面積為S＝eq\f(1,2)×BF×FC1×sin∠BFC1＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),2).]點(diǎn)評(píng)：本題在探求BF＋FC1最小時(shí)，采用了化曲為直的策略，將空間問題平面化，在解決空間折線段最短問題時(shí)可適當(dāng)考慮其展開圖．4、（1）在我國(guó)瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因?yàn)榱耸侵袊?guó)人的吉利數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如圖為一個(gè)正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm，底面邊長(zhǎng)為7cm(數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù))，用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為()A．120cm2 B．162.7cm2C．785.4cm2 D．1570.8cm2【答案】C【解析】根據(jù)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為7cm，得正六棱柱的側(cè)面積為＝785.4(cm2)，所以至少需要絨布的面積為785.4cm2.（2）(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為()A．20＋12eq\r(3) B．28eq\r(2)C.eq\f(56,3) D.eq\f(28\r(2),3)【答案】D【解析】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上、下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高h(yuǎn)＝eq\r(22－2\r(2)－\r(2)2)＝eq\r(2)，下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，所以該棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)h(S1＋S2＋eq\r(S1S2))＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(16＋4＋eq\r(64))＝eq\f(28\r(2),3).（3）如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________.【答案】eq\f(\r(2),3)【解析】如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH.則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱.依題意，三棱錐E－ADG的高EG＝eq\f(1,2)，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.則AG＝eq\r(AE2－EG2)＝＝eq\f(\r(3),2).取AD的中點(diǎn)M，則MG＝eq\f(\r(2),2)，所以S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，∴V多面體＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).【規(guī)律形成】1.空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.2.求空間幾何體的體積的常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進(jìn)行求解；(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體；(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.5、已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)【答案】C【解析】如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝＝eq\f(13,2).【變式1】在三棱錐A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為________.【答案】20π【解析】根據(jù)題意得BC⊥平面ABD，則BC⊥BD，即AD，BC，BD三條線兩兩垂直，所以可將三棱錐A－BCD放置于長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖所示.該三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，球心為長(zhǎng)方體體對(duì)角線的中點(diǎn).即外接球的半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.此時(shí)AC為該球的直徑，所以該球的表面積S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.【變式2】在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD＝eq\r(3)，AD＝BC＝eq\r(5)，則該三棱錐外接球的半徑為________.【答案】eq\f(\r(6),2)【解析】考慮到三棱錐A－BCD對(duì)棱相等，可利用長(zhǎng)方體面對(duì)角線相等，將該三棱錐放置于長(zhǎng)方體內(nèi)，三組對(duì)棱即為長(zhǎng)方體的三組面對(duì)角線，如圖所示.該三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，球心在長(zhǎng)方體對(duì)角線的中點(diǎn)，即外接球的半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.設(shè)此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y2＋z2＝5，,x2＋z2＝3，))即x2＋y2＋z2＝6.所以外接球的半徑R＝eq\f(1,2)eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(\r(6),2).【變式3】在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AB＝2eq\r(3)，AC＝4，∠BAC＝30°，則該三棱錐外接球的體積為________.【答案】9eq\r(2)π【解析】如圖所示，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝(2eq\r(3))2＋42－2×2eq\r(3)×4·cos30°＝4.所以AB2＋BC2＝16＝AC2，即△ABC為直角三角形.故△ABC外接圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn).取AC的中點(diǎn)為O1，連接PO1，則PO1⊥AC.由平面PAC⊥平面ABC，得PO1⊥平面ABC.該三棱錐外接球的球心在線段PO1上.設(shè)球心為O，連接OA，則OA＝OP，且均為外接球的半徑.在Rt△PO1A中，PO1＝eq\r(（2\r(3)）2－22)＝2eq\r(2).在Rt△OO1A中，OA2＝OOeq\o\al(2,1)＋AOeq\o\al(2,1)，即R2＝(2eq\r(2)－R)2＋4，則R＝eq\f(3\r(2),2).所以外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π＝9eq\r(2)π.【變式4】設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)【答案】B【解析】由等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，可得eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝eq\f(\r(3),3)AB＝2eq\r(3).所以三棱錐D－ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D－ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).【規(guī)律形成】“切”“接”問題的處理規(guī)律(1)“切”的處理首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決，截面過球心．(2)“接”的處理空間幾何體外接球問題的處理關(guān)鍵是確定球心的位置，常見的求解方法有如下幾種：(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解.(3)利用平面幾何體知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.1、過棱長(zhǎng)為1的正方體的一條體對(duì)角線作截面，則截得正方體的截面面積的最小值是()A．1B．eq\r(2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(6),2)【答案】D【解析】取AA1的中點(diǎn)E，CC1的中點(diǎn)F，連接BE，ED1，D1F，F(xiàn)B，如圖所示．四邊形BED1F為過棱長(zhǎng)為1的正方體的一條體對(duì)角線BD1所作截面的面積最小的截面，且四邊形BED1F是菱形，其截面面積為eq\f(1,2)·BD1·EF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).故選D.2、(2022·全國(guó)甲卷)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若eq\f(S甲,S乙)＝2，則eq\f(V甲,V乙)等于()A.eq\r(5)B．2eq\r(2)C.eq\r(10)D.eq\f(5\r(10),4)【答案】C【解析】方法一由甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，結(jié)合eq\f(S甲,S乙)＝2，可知甲、乙兩個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之比是2∶1.不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l＝3，甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則由題意知，兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好可以拼成一個(gè)周長(zhǎng)為6π的圓，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝eq\r(l2－r\o\al(2,1))＝eq\r(5)，h2＝eq\r(l2－r\o\al(2,2))＝2eq\r(2)，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(4\r(5),2\r(2))＝eq\r(10).故選C.方法二設(shè)兩圓錐的母線長(zhǎng)為l，甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，側(cè)面展開圖的圓心角分別為n1，n2，則由eq\f(S甲,S乙)＝eq\f(πr1l,πr2l)＝eq\f(\f(n1πl(wèi)2,2π),\f(n2πl(wèi)2,2π))＝2，得eq\f(r1,r2)＝eq\f(n1,n2)＝2.由題意知n1＋n2＝2π，所以n1＝eq\f(4π,3)，n2＝eq\f(2π,3)，所以2πr1＝eq\f(4π,3)l,2πr2＝eq\f(2π,3)l，得r1＝eq\f(2,3)l，r2＝eq\f(1,3)l.由勾股定理得，h1＝eq\r(l2－r\o\al(2,1))＝eq\f(\r(5),3)l，h2＝eq\r(l2－r\o\al(2,2))＝eq\f(2\r(2),3)l，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(4\r(5),2\r(2))＝eq\r(10).故選C.1.下列說法中，正確的是()A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.若棱柱有兩個(gè)側(cè)面是矩形，則該棱柱的其他側(cè)面也是矩形C.正方體的所有棱長(zhǎng)都相等D.棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等【答案】C【解析】棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，A錯(cuò)誤；其他側(cè)面可能是平行四邊形，B錯(cuò)誤；棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)并不一定相等，D錯(cuò)誤；易知C正確.2．(2023·淄博模擬)若圓錐的母線長(zhǎng)為2eq\r(3)，側(cè)面展開圖的面積為6π，則該圓錐的體積是()A.eq\r(3)πB．3πC．3eq\r(3)πD．9π【答案】B【解析】設(shè)圓錐的高為h，底面圓半徑為r，因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為2eq\r(3)，所以側(cè)面展開圖的面積為πr×2eq\r(3)＝6π，解得r＝eq\r(3)，所以h＝eq\r(2\r(3)2－\r(3)2)＝3，所以圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×(eq\r(3))2×3＝3π.3.如圖是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的△AOB的直觀圖(圖中虛線分別與x′軸、y′軸平行)，則原圖形△AOB的面積是()A．8 B．16C．32 D．64【答案】C【解析】根據(jù)題意，如圖，原圖形△AOB的底邊OB的長(zhǎng)為4，高為16，所以其面積S＝eq\f(1,2)×4×16＝32.4、在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個(gè)問題：“今有木長(zhǎng)二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長(zhǎng)幾何？”意思是“圓木長(zhǎng)2丈4尺，圓周長(zhǎng)為5尺，葛藤?gòu)膱A木的底部開始向上生長(zhǎng)，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長(zhǎng)多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個(gè)問題中，葛藤長(zhǎng)的最小值為()A．2丈4尺 B．2丈5尺C．2丈6尺 D．2丈8尺【答案】C【解析】由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊(即圓木的高)長(zhǎng)24尺，另一條直角邊長(zhǎng)5×2＝10(尺)，因此葛藤長(zhǎng)的最小值為eq\r(242＋102)＝26(尺)，即為2丈6尺．故選C．5、.(2020·全國(guó)Ⅰ卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓.若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因?yàn)椤袿1的面積為4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以eq\f(AB,sin60°)＝2r，解得AB＝2eq\r(3)，故OO1＝2eq\r(3)，所以R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(2eq\r(3))2＋22＝16，所以球O的表面積S＝4πR2＝64π.6、如圖，在正四棱錐P－ABCD中，B1為PB的中點(diǎn)，D1為PD的中點(diǎn)，則棱錐A－B1CD1與棱錐P－ABCD的體積之比是()A．1∶4B．3∶8C．1∶2D．2∶3【答案】A【解析】棱錐A－B1CD1的體積可以看成是正四棱錐P－ABCD的體積減去角上的四個(gè)小棱錐的體積得到的．因?yàn)锽1為PB的中點(diǎn)，D1為PD的中點(diǎn)，所以棱錐B1－ABC的體積和棱錐D1－ACD的體積都是正四棱錐P－ABCD的體積的eq\f(1,4)，棱錐C－PB1D1的體積與棱錐A－PB1D1的體積之和是正四棱錐P－ABCD的體積的eq\f(1,4)，則中間剩下的棱錐A－B1CD1的體積＝VP－ABCD－3×eq\f(1,4)VP－ABCD＝eq\f(1,4)VP－ABCD，則∶VP－ABCD＝1∶4.7、（多選題）如圖圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球,這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等,,為圓柱上下底面的圓心,為球心,為底面圓的一條直徑,若球的半徑,則()

A.球與圓柱的體積之比為

B.四面體的體積的取值范圍為

C.平面截得球的截面面積最小值為

D.若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn),則的取值范圍為【答案】A,D【解析】對(duì)于A,球的體積為,圓柱的體積,

則球與圓柱的體積之比為,A正確;

對(duì)于B,設(shè)為點(diǎn)到平面的距離,,而平面經(jīng)過線段的中點(diǎn),

四面體的體積,B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,過作于,如圖,而,則,

又,于是,

設(shè)截面圓的半徑為,球心到平面的距離為,則,

又,

則平面截球的截面圓面積,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,令經(jīng)過點(diǎn)的圓柱的母線與下底面圓的公共點(diǎn)為,連接,,

當(dāng)與都不重合時(shí),設(shè),則,,

當(dāng)與之一重合時(shí),上式也成立,

因此,,,

則,

令,則,

而,即,因此,解得,

所以的取值范圍為,D正確.故選AD.

8、（多選題）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美,寓意獨(dú)特的幾何體,“勒洛四面體”就是其中之一.勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心,以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分.如圖,在勒洛四面體中,正四面體的棱長(zhǎng)為,則下列結(jié)論正確的是()

A.勒洛四面體最大的截面是正三角形

B.若,是勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn),則的最大值為

C.勒洛四面體的體積是

D.勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是【答案】B,D【解析】由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體表面的截面,如