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文檔簡(jiǎn)介

第4章

向量與線性方程組主要內(nèi)容n維向量及其線性運(yùn)算向量及其線性組合向量的線性相關(guān)性向量組的秩向量空間線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.5向量空間本節(jié)主要內(nèi)容向量空間的定義過(guò)渡矩陣與坐標(biāo)變換定義1設(shè)是n維向量構(gòu)成的非空集合,如果有（2）對(duì)

；；對(duì)集合中向量的加法和數(shù)乘兩種（1）對(duì)運(yùn)算滿足以下條件:，，有則稱為向量空間.定義2

在向量空間中,如果存在個(gè)向量線性無(wú)關(guān),而中任意(若存在)線性相關(guān),個(gè)向量

則稱為的一組基.

稱為向量空間的維數(shù),

記為由定義2知,（1）為向量空間的一組基的充分必要條件是線性無(wú)關(guān)且中任一向量總可由線性表示．（2）維向量空間中任意個(gè)線性無(wú)關(guān)向量都的一組基.是

定義3

設(shè)是向量空間的一組基,對(duì)于任意,存在一組有序數(shù)使則稱這組有序數(shù)為向量在基下的坐標(biāo),并記作，.在基下的坐標(biāo)是唯一的.注：設(shè)及是維向量空間的兩組基,且即其中矩陣稱為基到基的過(guò)渡矩陣.1.過(guò)渡矩陣由這兩組基唯一確定．注：2.過(guò)渡矩陣是可逆的．定理1設(shè)及是維向量空間的兩組基,且基到基的過(guò)渡矩陣為.設(shè)中的向量在基下的坐標(biāo)為，在基下的坐標(biāo)為，則有坐標(biāo)變換公式或.例1

驗(yàn)證維向量的集合是一個(gè)向量空間.例2

驗(yàn)證向量集合不是一個(gè)向量空間.例3

證明向量組是向量空間的一組基.例4設(shè)兩個(gè)向量組和，都是向量空間的基,求(1)由基到基的過(guò)渡矩陣;(2)向量在兩組基下的坐標(biāo).解

(1)設(shè)由基到基的過(guò)渡矩陣為，則即，.由于可知向量組線性無(wú)關(guān),故矩陣可逆.于是.(2)設(shè)向量在基下的坐標(biāo)是,即于是.設(shè)向量在基

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