第五章定積分

PAGE16第五章定積分教學目的：理解定積分的概念。掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導數(shù)定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。教學重點：定積分的性質(zhì)及定積分中值定理定積分的換元積分法與分部積分法。牛頓—萊布尼茨公式。教學難點：定積分的概念積分中值定理定積分的換元積分法分部積分法。變上限函數(shù)的導數(shù)。§5.1定積分概念與性質(zhì)一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積曲邊梯形:設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上非負、連續(xù).由直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形,其中曲線弧稱為曲邊.求曲邊梯形的面積的近似值:將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形,每個小曲邊梯形都用一個等寬的小矩形代替,每個小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積,則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值.具體方法是:在區(qū)間[a,b]中任意插入若干個分點a=x0<x1<x2<<xn-1<xn=b,把[a,b]分成n個小區(qū)間[x0,x1],[x1,x2],[x2,x3],,[xn-1,xn],它們的長度依次為x1=x1-x0,x2=x2-x1,,xn=xn-xn-1.經(jīng)過每一個分點作平行于y軸的直線段,把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形.在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點i,以[xi-1,xi]為底、f(i)為高的窄矩形近似替代第i個窄曲邊梯形(i=1,2,,n),把這樣得到的n個窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值,即Af(1)x1+f(2)x2++f(n)xn.求曲邊梯形的面積的精確值:顯然,分點越多、每個小曲邊梯形越窄,所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值,因此,要求曲邊梯形面積A的精確值,只需無限地增加分點,使每個小曲邊梯形的寬度趨于零.記=max{x1,x2,,xn},于是,上述增加分點,使每個小曲邊梯形的寬度趨于零,相當于令0.所以曲邊梯形的面積為二、定積分定義拋開上述問題的具體意義,抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括,就抽象出下述定積分的定義.定義設函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干個分點a=x0<x1<x2<<xn-1<xn=b,把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間[x0,x1],[x1,x2],,[xn-1,xn],各小段區(qū)間的長依次為x1=x1-x0,x2=x2-x1,,xn=xn-xn-1.在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一個點i(xi-1<i<xi),作函數(shù)值f(i)與小區(qū)間長度xi的乘積f(i)xi(i=1,2,,n),并作出和.記=max{x1,x2,,xn},如果不論對[a,b]怎樣分法,也不論在小區(qū)間[xi-1,xi]上點i怎樣取法,只要當0時,和S總趨于確定的極限I,這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作,即.其中f(x)叫做被積函數(shù),f(x)dx叫做被積表達式,x叫做積分變量,a叫做積分下限,b叫做積分上限,[a,b]叫做積分區(qū)間.定義設函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,用分點a=x0<x1<x2<<xn-1<xn=b把[a,b]分成n個小區(qū)間[x0,x1],[x1,x2],,[xn-1,xn],記xi=xi-xi-1(i=1,2,,n).任i[xi-1,xi](i=1,2,,n)作和.記=max{x1,x2,,xn},如果當0時上述和式的極限存在且極限值與區(qū)間[a,b]的分法和i的取法無關(guān)則稱這個極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作,即.根據(jù)定積分的定義,曲邊梯形的面積為.變速直線運動的路程為.說明:(1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量的記法無關(guān),即.(2)和通常稱為f(x)的積分和.(3)如果函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分存在,我們就說f(x)在區(qū)間[a,b]上可積.函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足什么條件時,f(x)在[a,b]上可積呢？定理1設f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上可積.定理2設f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,且只有有限個間斷點,則f(x)在[a,b]上可積.定積分的幾何意義:在區(qū)間[a,b]上,當f(x)0時,積分在幾何上表示由曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積;當f(x)0時,由曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方,定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值;.當f(x)既取得正值又取得負值時,函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方,而其它部分在x軸的下方.如果我們對面積賦以正負號,在x軸上方的圖形面積賦以正號,在x軸下方的圖形面積賦以負號,則在一般情形下,定積分的幾何意義為:它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a、x=b之間的各部分面積的代數(shù)和.用定積分的定義計算定積分:例1.利用定義計算定積分.解把區(qū)間[0,1]分成n等份,分點為和小區(qū)間長度為(i=1,2,,n-1),(i=1,2,,n).取(i=1,2,,n),作積分和.因為,當0時,n,所以.利定積分的幾何意義求積分:例2.用定積分的幾何意義求.解:函數(shù)y=1-x在區(qū)間[0,1]上的定積分是以y=1-x為曲邊,以區(qū)間[0,1]為底的曲邊梯形的面積.因為以y=1-x為曲邊,以區(qū)間[0,1]為底的曲邊梯形是一直角三角形,其底邊長及高均為1,所以.三、定積分的性質(zhì)兩點規(guī)定:(1)當a=b時,.(2)當ab時,.性質(zhì)1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即.證明:.性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面即.這是因為.性質(zhì)如果將積分區(qū)間分成兩部分則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和即.這個性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性.值得注意的是不論a,b,c的相對位置如何總有等式成立.例如,當a<b<c時,由于,于是有.性質(zhì)4如果在區(qū)間[ab]上f(x)o1則.性質(zhì)5如果在區(qū)間[a,b]上f(x)30,則(a<b).推論1如果在區(qū)間[a,b]上f(x)g(x)則(a<b).這是因為g(x)-f(x)0,從而,所以.推論2(a<b).這是因為-|f(x)|￡f(x)￡|f(x)|,所以,即|.性質(zhì)6設M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值,則(a<b).證明因為m￡f(x)￡M,所以,從而.性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一個點,使下式成立:.這個公式叫做積分中值公式.證明由性質(zhì)6,各項除以b-a得,再由連續(xù)函數(shù)的介值定理,在[a,b]上至少存在一點,使,于是兩端乘以b-a得中值公式.積分中值公式的幾何解釋:應注意:不論a<b還是a>b,積分中值公式都成立.§5.2微積分基本公式一、積分上限函數(shù)及其導數(shù)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),并且設x為[a,b]上的一點.我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分稱為積分上限的函數(shù).它是區(qū)間[a,b]上的函數(shù),記為(x),或(x).定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)(x)在[a,b]上具有導數(shù),并且它的導數(shù)為(x)(ax<b).簡要證明若x(a,b),取x使xx(a,b).(xx)(x),應用積分中值定理,有f()x,其中在x與xx之間,x0時,x.于是(x).若xa,取x>0,則同理可證(x)f(a);若xb,取x<0,則同理可證(x)f(b).定理2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)(x)就是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù).定理的重要意義一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的,另一方面初步地揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系.二、牛頓萊布尼茨公式定理3如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù),則.此公式稱為牛頓萊布尼茨公式,也稱為微積分基本公式.這是因為F(x)和(x)都是f(x)的原函數(shù),所以存在常數(shù)C,使F(x)(x)C(C為某一常數(shù)).由F(a)(a)C及(a)0,得CF(a),F(x)(x)F(a).由F(b)(b)F(a),得(b)F(b)F(a),即.證明:已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù),又根據(jù)定理2,積分上限函數(shù)(x)也是f(x)的一個原函數(shù).于是有一常數(shù)C,使F(x)(x)C(axb).當xa時,有F(a)(a)C,而(a)0,所以CF(a);當xb時,F(b)(b)F(a),所以(b)F(b)F(a),即.為了方便起見,可把F(b)F(a)記成,于是.進一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系.例1.計算.解:由于是的一個原函數(shù),所以.例2計算.解由于arctanx是的一個原函數(shù),所以.例3.計算.解:ln1ln2ln2.例4.計算正弦曲線ysinx在[0,]上與x軸所圍成的平面圖形的面積.解:這圖形是曲邊梯形的一個特例.它的面積(1)(1)2.例5.汽車以每小時36km速度行駛,到某處需要減速停車.設汽車以等加速度a5m/s2剎車.問從開始剎車到停車,汽車走了多少距離？解從開始剎車到停車所需的時間當t0時,汽車速度v036km/hm/s10m/s.剎車后t時刻汽車的速度為v(t)v0at105t.當汽車停止時,速度v(t)0,從v(t)105t0得,t2(s).于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為(m),即在剎車后,汽車需走過10m才能停住.例7.求.解:這是一個零比零型未定式由羅必達法則,.提示設則§5.3定積分的換元法和分部積分法一、換元積分法定理假設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),函數(shù)x(t)滿足條件:(1)()a,()b;(2)(t)在[,](或[,])上具有連續(xù)導數(shù),且其值域不越出[a,b],則有.這個公式叫做定積分的換元公式.證明由假設知,f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù),因而是可積的;f[(t)](t)在區(qū)間[,](或[,])上也是連續(xù)的,因而是可積的.假設F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則F(b)-F(a).另一方面,因為{F[(t)]}F[(t)](t)f[(t)](t),所以F[(t)]是f[(t)](t)的一個原函數(shù),從而F[()]-F[()]F(b)-F(a).因此.例1計算(a>0).解提示dxacost當x0時t0當xa時例2計算.解令tcosx,則.提示當x0時t1當時t0或.例3計算.解.提示在上|cosx|cosx在上|cosx|cosx例4計算.解.提示dxtdt當x0時t1當x4時t3例5證明:若f(x)在[-a,a]上連續(xù)且為偶函數(shù),則.證明因為,而,所以.討論若f(x)在[-a,a]上連續(xù)且為奇函數(shù),問？提示若f(x)為奇函數(shù),則f(-x)+f(x)0,從而.例6若f(x)在[0,1]上連續(xù),證明(1);(2).證明(1)令,則.(2)令x=-t,則,所以.例7設函數(shù),計算.解設x-2=t,則提示設x2t則dxdt當x1時t1當x4時t2二、分部積分法設函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導數(shù)u(x)、v(x),由(uv)uv+uv得uvuvuv式兩端在區(qū)間[a,b]上積分得或.這就是定積分的分部積分公式.分部積分過程:.例1計算.解.例2計算.解令,則..§5.4定積分的應用回憶曲邊梯形的面積設yf(x)0(x[ab])如果說積分是以[ab]為底的曲邊梯形的面積則積分上限函數(shù)就是以[ax]為底的曲邊梯形的面積而微分dA(x)f(x)dx表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值稱為曲邊梯形的面積元素以[ab]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達式以[ab]為積分區(qū)間的定積分一般情況下為求某一量U先將此量分布在某一區(qū)間[ab]上分布在[ax]上的量用函數(shù)U(x)表示再求這一量的元素dU(x)設dU(x)u(x)dx然后以u(x)dx為被積表達式以[ab]為積分區(qū)間求定積分即得用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)一.平面圖形的面積1、直角坐標情形設平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成則面積元素為[f上(x)f下(x)]dx于是平面圖形的面積為類似地由左右兩條曲線x左(y)與x右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成設平面圖形的面積為例1計算拋物線y2x、yx2所圍成的圖形的面積解(1)畫圖(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:[01](3)確定上下曲線(4)計算積分例2計算拋物線y22x與直線yx4所圍成的圖形的面積解(1)畫圖(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:[24](3)確定左右曲線(4)計算積分例3求橢圓所圍成的圖形的面積解設整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍橢圓在第一象限部分在x軸上的投影區(qū)間為[0a]因為面積元素為ydx所以橢圓的參數(shù)方程為:xacostybsint于是2、極坐標情形曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素由曲線()及射線圍成的圖形稱為曲邊扇形曲邊扇形的面積元素為曲邊扇形的面積為例4.計算阿基米德螺線a(a>0)上相應于從0變到2的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積解:例5.計算心形線a(1cos)(a>0)所圍成的圖形的