2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九講函數(shù)模型及其應(yīng)用 課件（40張）

第九講函數(shù)模型及其應(yīng)用課標(biāo)要求考情分析1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類(lèi)型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律.1.本講考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的能力，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題.課標(biāo)要求考情分析2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問(wèn)題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義.3.收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義2.題型以選擇、填空題為主，中等難度(續(xù)表)常見(jiàn)函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型y＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)1.常見(jiàn)的函數(shù)模型常見(jiàn)函數(shù)模型函數(shù)解析式指數(shù)型函數(shù)模型y＝b·ax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)

對(duì)數(shù)型函數(shù)模型y＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，x＞0，a＞0，且a≠1，b≠0)冪型函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)對(duì)勾函數(shù)模型(續(xù)表)函數(shù)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)

上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)比較3.解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型.(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.

考點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫(huà)變化過(guò)程

1.如圖2-9-1，有一直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，若P處有一棵樹(shù)與兩墻的距離分別是4m和am(0＜a＜12).不考慮樹(shù)的粗細(xì)，現(xiàn)用16m長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形花圃ABCD，設(shè)此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹(shù)圍在矩形花圃?xún)?nèi)，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是()圖2-9-1ABCD

解析：依題意，設(shè)AD的長(zhǎng)為xm，則CD的長(zhǎng)為(16－x)m，則矩形ABCD的面積為x(16－x)m2.因?yàn)橐獙Ⅻc(diǎn)P圍在矩形ABCD內(nèi)，所以a≤x≤12.當(dāng)0＜a≤8時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8時(shí)，u＝64；當(dāng)8＜a＜12時(shí)，u＝a(16－a).作出函數(shù)圖象可得其形狀與B選項(xiàng)接近.故選B.答案：B

2.汽車(chē)的“燃油效率”是指汽車(chē)每消耗1L汽油行駛的里程，圖2-9-2描述了甲、乙、丙三輛汽車(chē)在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()圖2-9-2A.消耗1L汽油，乙車(chē)最多可行駛5kmB.以相同速度行駛相同路程，三輛車(chē)中，甲車(chē)消耗汽油最多C.甲車(chē)以80km/h的速度行駛1h，消耗10L汽油D.某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80km/h，相同條件下，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油

解析：根據(jù)圖象知消耗1L汽油，乙車(chē)最多行駛里程大于5km，A錯(cuò)誤；以相同速度行駛時(shí)，甲車(chē)燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車(chē)消耗汽油最少，B錯(cuò)誤；甲車(chē)以80km/h的速度行駛時(shí)燃油效率為10km/L，行駛1h，里程為80km，消耗8L汽油，C錯(cuò)誤；最高限速80km/h，丙車(chē)的燃油效率比乙車(chē)高，因此相同條件下，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油，D正確.答案：D

3.有一個(gè)盛水的容器，由懸在它上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿(mǎn)，在注水過(guò)程中時(shí)間t與水面高度y之間的關(guān)系如圖2-9-3所示.若圖中PQ為一線段，則與之對(duì)應(yīng)的容器的形狀是()圖2-9-3ABCD

解析：由函數(shù)圖象可判斷出該容器必定有不同規(guī)則的形狀，且函數(shù)圖象的變化先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細(xì).又因?yàn)镻Q為線段，則這一段是均勻變化的，所以容器上端必是直的一段，所以只有B選項(xiàng)的容器的形狀符合題意.故選B.答案：B【題后反思】判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇圖象.

(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際情況的答案，選擇出符合實(shí)際情況的答案.考點(diǎn)二構(gòu)建函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題

考向1構(gòu)建二次函數(shù)、分段函數(shù)模型

[例1]國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止.每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元. (1)寫(xiě)出每張飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；

(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？(2)設(shè)旅行社獲利S元，

因?yàn)镾＝900x－15000在區(qū)間(0，30]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝30時(shí)，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30，75]，所以當(dāng)x＝60時(shí)，S取得最大值21000.

故當(dāng)每團(tuán)人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn).

考向2構(gòu)建指數(shù)(對(duì)數(shù))型函數(shù)模型(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到2023年為止，該森林已砍伐了多少年？

[例3]某汽車(chē)運(yùn)輸公司購(gòu)買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系如圖2-9-4所示(拋物線的一段)，則為使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大，每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)年數(shù)為_(kāi)_______.圖2-9-4解析：根據(jù)題圖，求得y＝－(x－6)2＋11(x>0)，∴要使年平均利潤(rùn)最大，每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)年數(shù)為5.答案：5【題后反思】

(1)實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車(chē)計(jì)價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.但應(yīng)關(guān)注以下兩點(diǎn)：①分段要簡(jiǎn)潔合理，不重不漏；②分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)值中的最大(最小)值.

(2)指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型的解題關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，求解時(shí)要準(zhǔn)確進(jìn)行指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算，靈活進(jìn)行指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化.

【考法全練】

1.(考向2)基本再生數(shù)

R0與世代間隔T是某流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)R0

指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔T指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在流行病發(fā)生的初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿(mǎn)足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在流行病發(fā)生的初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案：B

2.(考向3)某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖2-9-5).考慮防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等米.記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x米，外周長(zhǎng)(梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和)為y米.要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長(zhǎng)最小)，則防洪堤的腰長(zhǎng)x＝________米.

圖2-9-5

3.(考向1)小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專(zhuān)業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本W(wǎng)(x)萬(wàn)元.在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件38.每件產(chǎn)品售價(jià)為5元，通過(guò)市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完.(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤(rùn)＝年銷(xiāo)售收入－固定成本－流動(dòng)成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

解：(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5元，則x萬(wàn)件商品銷(xiāo)售收入為5x萬(wàn)元，依題意得，

綜上所述，當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為15萬(wàn)元.

⊙已知函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題

[例4]為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層.體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元.設(shè)f(x)為隔熱層建造成本與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最?。坎⑶笞钚≈?解：(1)當(dāng)x＝0時(shí)，C(0)＝8，∴k＝40，

此時(shí)x＝5，因此f(x)的最小值為70. ∴隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，最小值為70萬(wàn)元.【反思感悟】已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)分析所給函數(shù)模型，分清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題.【高分訓(xùn)練】

1.擬定甲、乙兩地通話(huà)m分鐘的電話(huà)費(fèi)(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m>0，[m]是不超過(guò)m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話(huà)6.5分鐘的電話(huà)費(fèi)為_(kāi)_______元.解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，