2024屆天津市河東區(qū)九年級數(shù)學第一學期期末教學質量檢測試題含解析

2024屆天津市河東區(qū)九年級數(shù)學第一學期期末教學質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．計算，正確的結果是（）A．2 B．3a C． D．2．下列一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是()A． B． C． D．3．如圖，在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，則sinA的值（）A． B． C． D．4．甲、乙兩位同學在一次用頻率估計概率的試驗中，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，給出的統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結果的試驗可能是（）A．擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率B．擲一枚硬幣，出現(xiàn)反面朝上的概率C．擲一枚骰子，出現(xiàn)點的概率D．從只有顏色不同的兩個紅球和一個黃球中，隨機取出一個球是黃球的概率5．下列一元二次方程中有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（）A．(x+2)2＝0 B．x2+3＝0 C．x2+2x-17＝0 D．x2+x+5＝06．某校對部分參加夏令營的中學生的年齡（單位：歲）進行統(tǒng)計，結果如下表：則這些學生年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）年齡1314151617人數(shù)12231A．16，15 B．16，14 C．15，15 D．14，157．如圖，是由繞點順時針旋轉后得到的圖形，若點恰好落在上，且的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．下面的函數(shù)是反比例函數(shù)的是()A． B． C． D．9．教育局組織學生籃球賽，有x支球隊參加，每兩隊賽一場時，共需安排45場比賽，則符合題意的方程為（）A． B． C． D．10．已知：如圖，菱形ABCD的周長為20cm，對角線AC=8cm，直線l從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AC向右運動，直到過點C為止在運動過程中，直線l始終垂直于AC，若平移過程中直線l掃過的面積為S（cm2），直線l的運動時間為t（s），則下列最能反映S與t之間函數(shù)關系的圖象是（）A． B．C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．關于x的方程kx2-4x-=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是．12．如圖，在菱形中，與交于點，若，則菱形的面積為_____．13．如圖，在平面直角坐標系中，點A是x軸正半軸上一點，菱形OABC的邊長為5，且tan∠COA=，若函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為________．14．已知關于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個實數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，則m+n=_____．15．如圖，矩形的面積為，它的對角線與雙曲線相交于點，且，則________．16．已知，且，且與的周長和為175，則的周長為_________．17．二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，由圖象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集為______．18．如圖所示，已知中，，邊上的高，為上一點，，交于點，交于點，設點到邊的距離為.則的面積關于的函數(shù)圖象大致為__________.三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，是⊙的直徑，、是圓周上的點，，弦交于點.(1)求證：；(2)若，求的度數(shù).20．（6分）某商場銷售一種商品的進價為每件30元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系如圖所示．（1）根據(jù)圖象直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式．（2）設這種商品月利潤為W（元），求W與x之間的函數(shù)關系式．（3）這種商品的銷售單價定為多少元時，月利潤最大？最大月利潤是多少？21．（6分）綜合與探究如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣3，0）、B兩點，與y軸相交于點．當x＝﹣4和x＝2時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)值y相等，連接AC，BC．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）若點M、N同時從B點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動，當運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，則t的值為，點P的坐標為；（4）拋物線對稱軸上是否存在一點F，使得△ACF是以AC為直角邊的直角三角形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出點F的坐標．22．（8分）如圖1，AD、BD分別是△ABC的內(nèi)角∠BAC、∠ABC的平分線，過點A作AE⊥AD，交BD的延長線于點E.（1）求證：∠E=∠C；（2）如圖2，如果AE=AB，且BD：DE=2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是銳角，且△ABC與△ADE相似，求∠ABC的度數(shù).23．（8分）為實現(xiàn)“先富帶動后富，從而達到共同富?！?，某縣為做好“精準扶貧”，2017年投入資金1000萬元用于教育扶貧，以后投入資金逐年增加，2019年投入資金達到1440萬元．（1）從2017年到2019年，該縣投入用于教育扶貧資金的年平均增長率是多少？（2）假設保持這個年平均增長率不變，請預測一下2020年該縣將投入多少資金用于教育扶貧？24．（8分）如圖，在矩形中，，點在直線上，與直線相交所得的銳角為60°.點在直線上，，直線，垂足為點且，以為直徑，在的左側作半圓，點是半圓上任一點.發(fā)現(xiàn)：的最小值為_________，的最大值為__________，與直線的位置關系_________.思考：矩形保持不動，半圓沿直線向左平移，當點落在邊上時，求半圓與矩形重合部分的周長和面積.

25．（10分）已知，如圖在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P由點A出發(fā)沿AB方向向終點B勻速移動，速度為1cm/s，點Q由點B出發(fā)沿BC方向向終點C勻速移動，速度為2cm/s．如果動點P，Q同時從A，B出發(fā)，當P或Q到達終點時運動停止．幾秒后，以Q，B，P為頂點的三角形與△ABC相似？26．（10分）如圖，在中，，，夾邊的長為6，求的面積．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪除法法則即可解答．【題目詳解】根據(jù)同底數(shù)冪除法法則（同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減）可得，a6÷a1＝a6﹣1＝a1．故選D．【題目點撥】本題考查了整式除法的基本運算，必須熟練掌握運算法則．2、B【分析】先將各選項一元二次方程化為一般式，再計算判別式即得．【題目詳解】A選項中，則，，，則，有兩個相等的實數(shù)根，不符合題意；B選項可化為，則，，，則，有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；C選項可化為，則，，，則，無實數(shù)根，不符合題意；D選項可化為，則，，，則，無實數(shù)根，不符合題意．故選：B．【題目點撥】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題關鍵是熟知：判別式時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；判別式時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；判別式時，一元二次方程無實數(shù)根．3、A【分析】根據(jù)勾股定理得出BC的長，再根據(jù)sinA＝代值計算即可．【題目詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝8，∴sinA＝＝＝；故選：A．【題目點撥】本題考查勾股定理及正弦的定義，熟練掌握正弦的表示是解題的關鍵.4、D【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖可知，試驗結果在0.33附近波動，即其概率P≈0.33，計算四個選項的概率，約為0.33者即為正確答案．【題目詳解】解：A.擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項不符合題意；B.擲一枚硬幣，出現(xiàn)反面朝上的概率為，故此選項不符合題意；C.擲一枚骰子，出現(xiàn)點的概率為，故此選項不符合題意；D.從只有顏色不同的兩個紅球和一個黃球中，隨機取出一個球是黃球的概率為，故此選項符合題意；故選：D.【題目點撥】本題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．同時此題在解答中要用到概率公式．5、C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，分別計算△的值，進行判斷即可．【題目詳解】解：選項A：△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；選項B、△=0-12=-12＜0，方程沒有實數(shù)根；選項C、△=4-4×1×(-17)=4+68=72>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；選項D、△=1-4×5=-19＜0，方程沒有實數(shù)根．故選：C．【題目點撥】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac；當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．6、A【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個；找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)．【題目詳解】解：由表可知16歲出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為16歲，因為共有1+2+2+3+1=9個數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)為第5個數(shù)據(jù)，即中位數(shù)為15歲，故選：A．【題目點撥】本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的定義，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù).當有奇數(shù)個數(shù)時，中位數(shù)是從小到大排列順序后位于中間位置的數(shù)；當有偶數(shù)個數(shù)時，中位數(shù)是從小到大排列順序后位于中間位置兩個數(shù)的平均數(shù).7、C【分析】由旋轉的性質知∠AOD=30°、OA=OD，根據(jù)等腰三角形的性質及內(nèi)角和定理可得答案．【題目詳解】解：由題意得，，∴．故選：C．【題目點撥】本題主要考查旋轉的性質，熟練掌握旋轉的性質：①對應點到旋轉中心的距離相等．②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．③旋轉前、后的圖形全等是解題的關鍵．8、A【解題分析】一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y=或y=kx-1（k為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)，據(jù)此進行求解即可.【題目詳解】解：A、是反比例函數(shù)，正確；

B、是二次函數(shù)，錯誤；

C、是正比例函數(shù)，錯誤；

D、是一次函數(shù)，錯誤．

故選：A．【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)的識別，容易出現(xiàn)的錯誤是把當成反比例函數(shù)，要注意對反比例函數(shù)形式的認識．9、A【分析】先列出x支籃球隊，每兩隊之間都比賽一場，共可以比賽x（x-1）場，再根據(jù)題意列出方程為．【題目詳解】解：∵有x支球隊參加籃球比賽，每兩隊之間都比賽一場，

∴共比賽場數(shù)為，

故選：A．【題目點撥】本題是由實際問題抽象出一元二次方程，主要考查了從實際問題中抽象出相等關系．10、B【分析】先由勾股定理計算出BO，OD，進而求出△AMN的面積.從而就可以得出0≤t≤4時的函數(shù)解析式；再得出當4＜t≤8時的函數(shù)解析式．【題目詳解】解：連接BD交AC于點O，令直線l與AD或CD交于點N，與AB或BC交于點M．∵菱形ABCD的周長為20cm，∴AD=5cm．∵AC=8cm，∴AO=OC=4cm，由勾股定理得OD=OB==3cm，分兩種情況：（1）當0≤t≤4時，如圖1，MN∥BD，△AMN∽△ABD，∴，，∴MN=t，∴S=MN·AE=t·t=t2函數(shù)圖象是開口向上，對稱軸為y軸且位于對稱軸右側的拋物線的一部分；（2）當4＜t≤8時，如圖2，MN∥BD，∴△CMN∽△CBD，∴，，MN=t+12，∴S=S菱形ABCD-S△CMN==t2+12t-24=（t-8）2+24.函數(shù)圖象是開口向下，對稱軸為直線t=8且位于對稱軸左側的拋物線的一部分．故選B．【題目點撥】本題是動點函數(shù)圖象題型，當某部分的解析式好寫時，可以寫出來，結合排除法，答案還是不難得到的．二、填空題(每小題3分,共24分)11、k≥-1【解題分析】試題分析：當k=0時，方程變?yōu)橐辉淮畏匠?，有實?shù)根；當k≠0時，則有△=（-4）2-4×（-）k≥0，解得k≥-1；綜上可得k≥-1．考點：根的判別式．12、．【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半求解即可.【題目詳解】四邊形是菱形，，，菱形的面積為；故答案為：．【題目點撥】本題考查了菱形的性質，菱形的性質有：具有平行四邊形的性質；菱形的四條邊相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形的面積等于對角線乘積的一半.13、1【分析】作BD⊥x軸于點D，如圖，根據(jù)菱形的性質和平行線的性質可得∠BAD=∠COA，于是可得，在Rt△ABD中，由AB=5則可根據(jù)勾股定理求出BD和AD的長，進而可得點B的坐標，再把點B坐標代入雙曲線的解析式即可求出k．【題目詳解】解：作BD⊥x軸于點D，如圖，∵菱形OABC的邊長為5，∴AB=OA=5，AB∥OC，∴∠BAD=∠COA，∴在Rt△ABD中，設BD=3x，AD=4x，則根據(jù)勾股定理得：AB=5x=5，解得：x=1，∴BD=3，AD=4，∴OD=9，∴點B的坐標是（9，3），∵的圖象經(jīng)過頂點B，∴k=3×9=1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查了菱形的性質、解直角三角形、勾股定理和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識，屬于?？碱}型，熟練應用上述知識、正確求出點B的坐標是解題的關鍵．14、-1【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得出-2+4=-m，-2×4=n，再求出m+n的值即可．【題目詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個實數(shù)根分別為x1=-2，x2=4，

∴-2+4=-m，-2×4=n，

解得：m=-2，n=-8，

∴m+n=-1，

故答案為：-1．【題目點撥】本題考查了根與系數(shù)的關系的應用，能根據(jù)根與系數(shù)的關系得出-2+4=-m，-2×4=n是解此題的關鍵．15、12【解題分析】試題分析：由題意，設點D的坐標為（x，y），則點B的坐標為（，），所以矩形OABC的面積，解得∵圖象在第一象限，∴.考點：反比例系數(shù)k的幾何意義點評：反比例系數(shù)k的幾何意義是初中數(shù)學的重點，是中考常見題，一般難度不大，需熟練掌握.16、1【分析】根據(jù)相似三角形的性質得△ABC的周長:△DEF的周長=3:4，然后根據(jù)與的周長和為11即可計算出△ABC的周長．【題目詳解】解：∵△ABC與△DEF的面積比為9：16，∴△ABC與△DEF的相似比為3：4，

∴△ABC的周長：△DEF的周長=3：4，∵與的周長和為11，

∴△ABC的周長=×11=1．

故答案是：1．【題目點撥】本題考查了相似三角形的性質：相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．17、x<?1或x>5.【分析】先利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-1，0），然后寫出拋物線在x軸下方所對應的自變量的范圍即可．【題目詳解】拋物線的對稱軸為直線x=2，而拋物線與x軸的一個交點坐標為(5,0)，所以拋物線與x軸的另一個交點坐標為(?1,0)，所以不等式?x2+bx+c<0的解集為x<?1或x>5.故答案為x<?1或x>5.考點：二次函數(shù)圖象的性質18、拋物線y=-x2+6x．（0＜x＜6）的部分.【分析】可過點A向BC作AH⊥BC于點H，所以根據(jù)相似三角形的性質可求出EF，進而求出函數(shù)關系式，由此即可求出答案．【題目詳解】解：過點A向BC作AH⊥BC于點H，∵∴△AEF∽△ABC∴即，∴y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）∴該函數(shù)圖象是拋物線y=-x2+6x．（0＜x＜6）的部分．故答案為：拋物線y=-x2+6x．（0＜x＜6）的部分.【題目點撥】此題考查相似三角形的判定和性質，根據(jù)幾何圖形的性質確定函數(shù)的圖象能力．要能根據(jù)函數(shù)解析式及其自變量的取值范圍分析得出所對應的函數(shù)圖像的類型和所需要的條件，結合實際意義分析得解．三、解答題(共66分)19、（1）詳見解析；（2）36°【分析】（1）連接OP，由已知條件證明，可推出；（2）設，因為OD=DC推出，由OP=OC推出，根據(jù)三角形內(nèi)角和解關于x的方程即可；【題目詳解】（1）證明：連接OP.∵，∴PA=PC，在中，∴（SSS），∴；（2）解：設°，則°，∵OD=DC，∴°，∵OP=OC，∴°，在中，°，∴x+x+3x=180°，解得x=36°，∴=36°.【題目點撥】本題主要考查了圓與等腰三角形，全等三角形及三角形內(nèi)角和等知識點，掌握圓的性質是解題的關鍵.20、（1）y＝；（2）W＝;（3）這種商品的銷售單價定為65元時，月利潤最大，最大月利潤是1．【分析】（1）當40≤x≤60時，設y與x之間的函數(shù)關系式為y=kx+b，當60＜x≤90時，設y與x之間的函數(shù)關系式為y=mx+n，解方程組即可得到結論；（2）當40≤x≤60時，當60＜x≤90時，根據(jù)題意即可得到函數(shù)解析式；（3）當40≤x≤60時，W=-x2+210x-5400，得到當x=60時，W最大=-602+210×60-5400=3600，當60＜x≤90時，W=-3x2+390x-9000，得到當x=65時，W最大=-3×652+390×65-9000=1，于是得到結論．【題目詳解】解：（1）當40≤x≤60時，設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝kx+b，將（40，140），（60，120）代入得，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝﹣x+180；當60＜x≤90時，設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝mx+n，將（90，30），（60，120）代入得，解得：，∴y＝﹣3x+300；綜上所述，y＝；（2）當40≤x≤60時，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，當60＜x≤90時，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，綜上所述，W＝；（3）當40≤x≤60時，W＝﹣x2+210x﹣5400，∵﹣1＜0，對稱軸x＝＝105，∴當40≤x≤60時，W隨x的增大而增大，∴當x＝60時，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，當60＜x≤90時，W＝﹣3x2+390x﹣9000，∵﹣3＜0，對稱軸x＝＝65，∵60＜x≤90，∴當x＝65時，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝1，∵1＞3600，∴當x＝65時，W最大＝1，答：這種商品的銷售單價定為65元時，月利潤最大，最大月利潤是1．【題目點撥】本題考查了把實際問題轉化為二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質進行實際應用．根據(jù)題意分情況建立二次函數(shù)的模型是解題的關鍵．21、（1）；（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（3），；（4）存在，F(xiàn)1，F(xiàn)1．【分析】（1）由對稱性先求出點B的坐標，可設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1)，將C坐標代入y=a(x+3)(x﹣1)即可；（1）先判斷△ABC為直角三角形，分別求出AB，AC，BC的長，由勾股定理的逆定理可證明結論；（3）因為點M、N同時從B點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，所以BM=BN=t，證四邊形PMBN是菱形，設PM與y軸交于H，證△CPN∽△CAB，由相似三角形的性質可求出t的值，CH的長，可得出點P縱坐標，求出直線AC的解析式，將點P縱坐標代入即可；（4）求出直線BC的解析式，如圖1，當∠ACF=90°時，點B，C，F(xiàn)在一條直線上，求出直線BC與對稱軸的交點即可；當∠CAF=90°時，求出直線AF的解析式，再求其與對稱軸的交點即可．【題目詳解】（1）∵在拋物線y=ax1+bx+c中，當x=﹣4和x=1時，二次函數(shù)y=ax1+bx+c的函數(shù)值y相等，∴拋物線的對稱軸為x1，又∵拋物線y=ax1+bx+c與x軸交于A(﹣3，0)、B兩點，由對稱性可知B(1，0)，∴可設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1)，將C(0，)代入y=a(x+3)(x﹣1)，得：﹣3a，解得：a，∴此拋物線的解析式為y(x+3)(x﹣1)x1x；（1）△ABC為直角三角形．理由如下：∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)，∴OA=3，OB=1，OC，∴AB=OA+OB=4，AC1，BC1．∵AC1+BC1=16，AB1=16，∴AC1+BC1=AB1，∴△ABC是直角三角形；（3）∵點M、N同時從B點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，∴BM=BN=t，由翻折知，△BMN≌△PMN，∴BM=PM=BN=PN=t，∴四邊形PMBN是菱形，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB，設PM與y軸交于H，∴，即，解得：t，CH，∴OH=OC﹣CH，∴yP，設直線AC的解析式為y=kx，將點A(﹣3，0)代入y=kx，得：k，∴直線AC的解析式為yx，將yP代入yx，∴x=﹣1，∴P(﹣1，)．故答案為：，(﹣1，)；（4）設直線BC的解析式為y=kx，將點B(1，0)代入y=kx，得：k，∴直線BC的解析式為yx，由（1）知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°．①如圖1，當∠ACF=90°時，點B，C，F(xiàn)在一條直線上，在yx中，當x=﹣1時，y=1，∴F1(﹣1，1)；②當∠CAF=90°時，AF∥BC，∴可設直線AF的解析式為yx+n，將點A(﹣3，0)代入yx+n，得：n=﹣3，∴直線AF的解析式為yx﹣3，在yx﹣3中，當x=﹣1時，y=﹣1，∴F1(﹣1，﹣1)．綜上所述：點F的坐標為F1(﹣1，1)，F(xiàn)1(﹣1，﹣1)．【題目點撥】本題是二次函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)法求解析式，勾股定理，相似三角形的判定與性質，直角三角形的性質等，解答本題的關鍵是注意分類討論思想在解題過程中的運用．22、（1）證明見詳解；（2）；（3）30°或45°.【分析】（1）由題意：∠E=90°-∠ADE，證明∠ADE=90°-∠C即可解決問題．(2)延長AD交BC于點F．證明AE∥BC，可得∠AFB=∠EAD=90°，，由BD：DE=2：3，可得cos∠ABC=；（3）因為△ABC與△ADE相似，∠DAE=90°，所以∠ABC中必有一個內(nèi)角為90°因為∠ABC是銳角，推出∠ABC≠90°．接下來分兩種情形分別求解即可．【題目詳解】（1）證明：如圖1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE=90°，∠E=90°-∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC，同理∠ABD=∠ABC，∵∠ADE=∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，∴∠ADE=（∠ABC+∠BAC）=90°-∠C，∴∠E=90°-（90°-∠C）=∠C．（2）解：延長AD交BC于點F．∵AB=AE，∴∠ABE=∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠E=∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB=∠EAD=90°，，∵BD：DE=2：3，∴cos∠ABC=；(3）∵△ABC與△ADE相似，∠DAE=90°，∴∠ABC中必有一個內(nèi)角為90°∵∠ABC是銳角，∴∠ABC≠90°．①當∠BAC=∠DAE=90°時，∵∠E=∠C，∴∠ABC=∠E=∠C，∵∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC=30°；②當∠C=∠DAE=90°時，∠E＝∠C=45°，∴∠EDA=45°，∵△ABC與△ADE相似，∴∠ABC=45°；綜上所述，∠ABC=30°或45°.【題目點撥】本題屬于相似形綜合題，考查相似三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．23、（1）20%；（2）1728萬元．【分析】（1）設年平均增長率為x，根據(jù)：2017年投入資金×（1+增長率）2＝2019年投入資金，列出方程求解可得；（2）根據(jù)求得的增長率代入求得2020年的投入即可．【題目詳解】解：（1）設該地投入教育扶貧資金的年平均增長率為x，根據(jù)題意，得：1000（1+x）2＝1440，解得：x＝0.2或x＝﹣2.2（舍），答：從2017年到2019年，該地投入教育扶貧資金的年平均增長率為20%；（2）2020年投入的教育扶貧資金為1440×（1+20%）＝1728萬元．【題目點撥】本題考查的知識點是用一元二次方程求增長率問題，根據(jù)題目找出等量關系式是解此題的關鍵.24、,10,；,.【分析】發(fā)