13.4最短路徑問題(用)

八年級上冊13.4課題學習最短路徑問題如下圖，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？

兩點之間,線段最短①②③

如圖，點A、B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最短？兩點之間，線段最短.lACB作法：連接兩點與直線的交點即為所求的點〔1〕兩點一線：異側〔1〕這兩個問題之間，有什么相同點和不同點？〔2〕我們能否把左圖A、B兩點轉化到直線l的異側呢？

〔3〕利用什么知識可以實現(xiàn)轉化目標？分析：lABClABC同側異側軸對稱

引例：牧馬人從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后，再回到B點宿營。請問怎樣走才能使走的路程最短？ABllABCC轉化為數(shù)學問題當點C在直線l的什么位置時，AC與BC的和最?。緼Bl〔1〕兩點一線：同側lABCB′如圖，作點B關于直線l的對稱點B′.當點C在直線l的什么位置時，AC與CB′的和最?。吭谶B接AB′兩點的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點C的位置即為所求.作法：〔1〕作點B關于直線l的對稱點B′；〔2〕連接AB′，與直線l相交于點C．那么點C即為所求．在直線l上任取另一點C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點B、B′的對稱軸，點C、C′在對稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，

∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′證明：如圖.歸納lAB′ClABCB′lABC抽象為數(shù)學問題用舊知解決新知軸對稱解決實際問題ABl解決“兩點一線〞型最短路徑問題的方法：異側:連接兩點，與直線的交點即為所求的點；同側:作其中某一點關于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點即為所求的點．BlA·B′C(中考)如圖，直線l外不重合的兩點A、B，在直線l上求作一點C，使得AC＋BC的長度最短，作法為：①作點B關于直線l的對稱點B′；②連接AB′與直線l相交于點C，那么點C為所求作的點．在解決這個問題時沒有運用到的知識或方法是()A．轉化思想B．三角形的兩邊之和大于第三邊C．兩點之間，線段最短D．三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內角D

如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點。A.B.aB1C知2－練如圖，在平面直角坐標系中，點A(－2，4)，B(4，2)，在x軸上取一點P，使點P到點A和點B的距離之和最小，那么點P的坐標是()A．(－2，0)B．(4，0)C．(2，0)D．(0，0)CB′

如圖13.4--5，牧馬營地在點P處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草，再到河邊b飲水，最后回到營地．請你設計一條放牧路線，使其所走的總路程最短．〔2〕兩線一點圖13.4--5ab.p解決“兩線一點〞型最短路徑問題:要作兩次軸對稱，從而構造出最短路徑．PabP1P2MN.解決“兩線一點〞型最短路徑問題:PabP1P2MN.解決“兩線一點〞型最短路徑問題:要作兩次軸對稱，從而構造出最短路徑．作法：1.作點P關于直線a的對稱點P1;2.作點P關于直線b的對稱點P2;3.連接P1P2，分別交直線a，b于點M,N;4.依次連接PM,MN,NP,即所求最短路徑。PabP1P2MN.〔3〕兩線兩點.A.B草地河

牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑。l1l2ABA1B1PQ解決“兩線兩點〞型最短路徑問題:1.先作出第一個點A關于直線l1的對稱點A1;2.再作出第二個點B關于直線l2的對稱點B1;3.連接A1B1，分別交直線l1,l2于點P,Q;4.依次連接AP,PQ,QB,從而構造出最短路徑。..〔4〕造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？〔假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直〕BA思維分析BA如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１

≥AM+MN+BN問題2歸納抽象為數(shù)學問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題lA