高觀點(diǎn)下的小學(xué)數(shù)學(xué)

高觀點(diǎn)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)柏傳志

淮陰師院數(shù)科學(xué)院所謂高觀點(diǎn)，就是指站在更高更廣的知識(shí)體系中去理解和認(rèn)識(shí)低淺知識(shí)的思想方法。觀點(diǎn)越高，事物越顯簡(jiǎn)單，教學(xué)越有深度和廣度。因此小學(xué)數(shù)學(xué)教師只有高觀點(diǎn)地理解和認(rèn)識(shí)小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能居高臨下、瞻前顧后地、在學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平上高效率地進(jìn)行教學(xué)以下本文通過(guò)幾個(gè)案例來(lái)談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)教師如何高觀點(diǎn)地理解和認(rèn)識(shí)小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容。案例1想一想：下一個(gè)數(shù)是多少？你是怎樣想的？1，4，7，10，_____。這是人教版新課標(biāo)教材小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)第91頁(yè)的內(nèi)容。一般以為1、4、7、10后面只能填13，這種認(rèn)識(shí)是不全面的。解：設(shè)1、4、7、10后面的數(shù)為a，則由高等代數(shù)中的拉格

朗日插值多項(xiàng)式有：F(n)=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)×1+(n-1)(n-3)(n-4)(n-5)/(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)×4+(n-1)(n-2)(n-4)(n-5)/(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)×7+(n-1)(n-2)(n-3)(n-5)/(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)×10+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)×a(n=1,2,3,4,5)顯然，F(xiàn)(1)=1,F(2)=4,F(3)=7,F(4)=10,F(5)=a。

或者設(shè)1、4、7、10后面的數(shù)為a，則數(shù)列1，4，7，10，a的

一個(gè)通項(xiàng)公式為：F(n)=([(n-1)/5]-[(n-2)/5])×1+([(n-2)/5]-[(n-3)/5])×4+([(n-3)/5]-[(n-4)/5])×7+([(n-4)/5]-[(n-5)/5])×10+([(n-5)/5]-[(n-6)/5])×a其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[3.8]=3,[-1.3]=-2,[4]=4,[-5]=-5,[8/9]=0,[-8/9]=-1。

顯然，F(xiàn)(1)=1,F(2)=4,F(3)=7,F(4)=10,F(5)=a。以上解法表明：從高觀點(diǎn)來(lái)看，1、4、7、10后面填誰(shuí)都對(duì)，只要你能說(shuō)出規(guī)律。如果認(rèn)為1、4、7、10…的規(guī)律是a_n=3n-2，則第5項(xiàng)是13；如果認(rèn)為1、4、7、10…的規(guī)律是a_n=n^4-10n^3+35n^2-47n+22，則第5項(xiàng)是37。所以，這類問(wèn)題應(yīng)該讓學(xué)生充分說(shuō)話，說(shuō)出自己的想法。

案例2“雞兔同籠”問(wèn)題：籠子里有若干只雞和兔。從上

面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？這是人教版新課標(biāo)教材六年級(jí)上冊(cè)第112頁(yè)的內(nèi)容。從方程的角度來(lái)看，對(duì)于“雞兔同籠”問(wèn)題解二元一次方程組就能解決。其他解法是方程解法的一種注解，只是為了在學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平上便于學(xué)生理解（因?yàn)檫^(guò)去的教材學(xué)生這時(shí)還沒(méi)有學(xué)習(xí)解方程）而已。當(dāng)然其他解法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有獨(dú)到之處，不可忽視。解法1“染色法”如果把每只雞的2只腳和每只兔的2只后腳都染成鮮艷的紅色，則還剩94-35×2=24（只）腳沒(méi)有染色。此時(shí)只有每只兔還有4-2=2（只）腳沒(méi)有染色，故知兔有24÷2=12（只），雞有35-12=23（只）。注：這里的“染色法”相當(dāng)于“假定法”中假定35只全部是雞的解法。方程組解法設(shè)有x只雞、y只兔，則有x+y=35…………①2x+4y=94………②①×2有：2x+2y=35×2…③②-③有：2x+4y-（2x+2y）=94-35×2于是y=12，x=23。解法2:古人的方法（人教版新課標(biāo)教材六年級(jí)上冊(cè)第114頁(yè)

的閱讀資料）

（1）假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，還有94÷2=47只腳。（2）這時(shí)每只雞一只腳，每只兔子兩只腳?；\子里,只要有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1。（3）這時(shí)腳的總數(shù)與頭的總數(shù)之差47-35=12，就是兔子的只數(shù)。案例3三（1）班參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)課外小組學(xué)生名單語(yǔ)文楊明李芳劉紅陳東王愛(ài)華張偉丁旭趙軍數(shù)學(xué)楊明李芳劉紅王志明于麗周曉陶偉盧強(qiáng)朱小東參加語(yǔ)文小組的有6人，參加數(shù)學(xué)小組的有9人，參加這兩個(gè)課外小組的一共有多少人？這兩個(gè)小組沒(méi)有17人呀？用圖表示就清楚了。語(yǔ)文小組8人,數(shù)學(xué)小組9人，有3個(gè)重復(fù)的。8+9-3=14這是人教版新課標(biāo)教材三年級(jí)下冊(cè)第108頁(yè)的內(nèi)容。8+9-3=14反映了兩個(gè)有限集合元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。設(shè)A、B是兩個(gè)有限集合用g(A)、g(B)、g(A∪B)、g(A∩B)分別表示集合A、B、A∪B、A∩B元素的個(gè)數(shù)，則有：g(A∪B)+g(A∩B)=g(A)+g(B)g(A∩B)=g(A)+g(B)-g(A∪B)g(A∪B)=g(A)+g(B)-g(A∩B)這就是包含與排除即容斥原理。它是非常有用的。解答人教版新課標(biāo)教材五年級(jí)下冊(cè)第137頁(yè)第7*題就需要用容斥原理。

7*五（1）班有25人，許多同學(xué)參加了課外小組參加音樂(lè)組的有12人，參加美術(shù)組的有10人，兩個(gè)組都沒(méi)參加的有6人。既參加音樂(lè)組又參加美術(shù)組的有多少人？參加音樂(lè)組或者美術(shù)組的共有25-6=19人，既參加音樂(lè)組又參加美術(shù)組的有12+10-19=3人。案例4下面是人民教育出版社新課標(biāo)教材小學(xué)數(shù)學(xué)

六年級(jí)下冊(cè)第118、119頁(yè)的內(nèi)容。調(diào)查一下與郵政相關(guān)的費(fèi)用業(yè)務(wù)種類計(jì)費(fèi)單位資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)/元本埠資費(fèi)外埠資費(fèi)首重100g內(nèi)，每重20g（不足20g0.801.20信按20g計(jì)算）函首重101~2000g內(nèi)，每重100g（不足100g按100g計(jì)算）

根據(jù)上面表的計(jì)費(fèi)辦法，請(qǐng)?zhí)畛鱿卤碣Y費(fèi)/元1~20g21~40g41~60g61~80g81~100g本埠外埠從高觀點(diǎn)來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)分段函數(shù)問(wèn)題。從高觀點(diǎn)來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)分段函數(shù)問(wèn)題。f(x)=0.8×（[（x+19）/20]）(1≤x≤100,本埠）1.2×（[（x+19）/20]）(1≤x≤100,外埠）1.2×（[（x+99）/100]）(101≤x≤2000,外埠）2×（[（x+99）/100]）(101≤x≤2000,外埠其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)。

所以有：資費(fèi)/元1~20g21~40g41~60g61~80g81~100g本埠0.81.62.43.24外埠1.22.43.64.86案例5（1）分母是8的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有哪幾個(gè)？

它們的和是多少？

（2）再任選幾個(gè)整數(shù)，分別寫出用這幾個(gè)數(shù)作分母的所有最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，并求出每組真分?jǐn)?shù)的和。（3）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？這是江蘇教育出版社出版的課改新教材小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第119頁(yè)第27題。這里的第（1）、（2）小題相對(duì)容易，難在了第（3）小題：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？也就是說(shuō)：分母是n(n>1,n∈N)的所有最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)之和有什么規(guī)律？我們來(lái)探討其一般規(guī)律。解：（1）分母是n的所有最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和等于分母是n的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)÷2。如果a<n，a、n都是正整數(shù)，且n與a互質(zhì)，由整數(shù)的性質(zhì)知n與n-a也互質(zhì)，這樣a/n與（n-a）/n都是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，即分母是n的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)成對(duì)出現(xiàn)（注：當(dāng)a/n=（n-a）/n時(shí)，把a(bǔ)/n與（n-a）/n仍然看作一對(duì)）且每對(duì)和為1，就是a/n+（n-a）/n=1。所以分母是n的所有最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和等于分母是n的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)÷2。

（2）當(dāng)分母n僅有k個(gè)質(zhì)因數(shù)P_1、P_2…P_k時(shí)，分母是n的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)=n×(1-1/p_1)×(1-1/p_2)×…×(1-1/p_k)。在1~n中P_1的倍數(shù)占總數(shù)的1/p_1，所以在1~n中不是P_1的倍數(shù)的數(shù)占總數(shù)的(1-1/p_1)。故知在1~n中不是P_1的倍數(shù)的數(shù)有n×(1-1/p_1)個(gè)。在上述這n×(1-1/p_1)個(gè)數(shù)中，不是P2的倍數(shù)的數(shù)占這n×(1-1/p_1)個(gè)數(shù)的(1-1/p_2)。故知在1~n中既不是P_1的倍數(shù)也不是P_2的倍數(shù)的數(shù)共有n×(1-1/p_1)×(1-1/p_2)個(gè)?！谏鲜鲞@n×(1-1/p_1)×(1-1/p_2)×…×(1-1/p_k-1)個(gè)數(shù)中，不是P_k的倍數(shù)的數(shù)占這n×(1-1/p_1)×(1-1/p_2)×…×(1-1/p_{k-1})個(gè)數(shù)的(1-1/p_k)。故知在1~n中既不是P_1的倍數(shù)，也不是P_2的倍數(shù)…也不是P_{k-1}的倍數(shù)，也不是P_k的倍數(shù)的數(shù)共有n×(1-1/p_1)×(1-1/p_2)×…×(1-1/p_{k-1})×(1-1/p_k)個(gè)。

所以，由（1），（2）兩點(diǎn)可知：

當(dāng)分母n僅有k個(gè)質(zhì)因數(shù)P_1、P_2…P_k時(shí)，分母是n的所有最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和為：F(n)=n×(1-1/p_1)×(1-1/p_2)×…×(1-1/p_{k-1})×(1-1/p_k)/2

以上僅從幾個(gè)案例說(shuō)明小學(xué)數(shù)學(xué)教師要高觀點(diǎn)地理解和認(rèn)識(shí)小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容。實(shí)際上，小學(xué)新課標(biāo)教材滲透了很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，如排列與組合的簡(jiǎn)單內(nèi)容等，大家都應(yīng)該從高觀點(diǎn)來(lái)理解和認(rèn)識(shí)。教師從高觀點(diǎn)來(lái)理解和認(rèn)識(shí)，并不是要照搬高觀點(diǎn)的方法來(lái)教學(xué)，而是在高觀點(diǎn)的指導(dǎo)下，以學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平為平臺(tái)進(jìn)行有效教學(xué)，這一點(diǎn)尤為重要?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程應(yīng)突出體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，使數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”我們分析一節(jié)四年級(jí)“整數(shù)四則運(yùn)算”的練習(xí)課。有一道練習(xí)題，要求學(xué)生通過(guò)計(jì)算，從兩種方案里選一種即可。課堂上學(xué)生已經(jīng)選出了合算的方案，到此為止，應(yīng)該說(shuō)，教學(xué)任務(wù)已經(jīng)完成了，但是可以反復(fù)啟發(fā)、不斷引導(dǎo)學(xué)生探究另一種所謂隱含的新方案。

習(xí)題：旅行社推出“××風(fēng)景區(qū)一日游”的兩種出游價(jià)格方案。方案1：成人每人150元，兒童每人60元。方案2：團(tuán)體5人以上（包括5人）每人100元。問(wèn)題：（1）成人6人，兒童4人，選哪種方案合算？（2）成人4人，兒童6人，選哪種方案合算？解答要求：從兩種方案里選一種即可達(dá)到要求。二、師生探究過(guò)程片斷一：解答并探究第（1）題。生1：我先按方案1計(jì)算。成人需要6×150＝900（元）,兒童需要4×60＝240（元）,總價(jià)為900＋240＝1140（元）。再按方案2計(jì)算?？?cè)藬?shù)為6＋4＝10（人），總價(jià)為10×100＝1000（元）。將兩種方案進(jìn)行比較：1140＞1000，可見(jiàn)用方案2合算。（生1選準(zhǔn)了方案，達(dá)到了習(xí)題要求）師：對(duì)于第（1）題還有比方案2更合算的第三種方案嗎？（學(xué)生一致認(rèn)為再?zèng)]有更合算的方案了）師：你們不妨這樣想想，將6名成人按方案2考慮，4名兒童按方案1考慮。試著算一算，把結(jié)果跟方案2進(jìn)行比較生2：按老師的提醒，成人需要6×100＝600（元），兒童需要4×60＝240（元），總價(jià)為600＋240＝840（元），與方案2相差1000－840＝160（元）。生3：我認(rèn)為生2在兩種方案里都選擇了對(duì)自己有利的條款，無(wú)論哪一種方案他都沒(méi)有用完整，人家旅行社能允許他這樣購(gòu)票嗎？生4：我認(rèn)為生2的新方案既沒(méi)有違反旅行社的規(guī)定，又讓旅客少花了錢。師：生4說(shuō)得對(duì)，這種做法確實(shí)沒(méi)有違反旅行社的規(guī)定。他在兩種方案里分別選擇了對(duì)自己有利的條款，這正是他聰明的地方，旅行社沒(méi)有理由拒絕，我們又何樂(lè)而不為呢？生3：我原來(lái)以為選用了方案1，就不能再選方案2了，一點(diǎn)都不靈活。要是完全按照旅行社的方案購(gòu)票，我們要多花160元錢呢！評(píng)析：教師的有意提醒，引導(dǎo)學(xué)生尋找到了新方案。學(xué)生從單純地選擇一個(gè)方案，到靈活地在兩種方案里尋找對(duì)自己有利的條款，重新組合成新方案，說(shuō)明學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的理解已從表面現(xiàn)象逐漸向深層次發(fā)展，這是明顯的進(jìn)步。片斷（二）：解答并探究第（2）題。生5：用方案1購(gòu)票，成人需要4×150＝600（元）兒童需要6×60＝360（元），總價(jià)為600＋360＝960（元）。用方案2購(gòu)票，總?cè)藬?shù)為4＋6＝10（人），總價(jià)為10×100＝1000（元）。我也提出方案3：成人購(gòu)買團(tuán)體票便宜，需要4×100＝400（元），兒童購(gòu)買兒童票合算，需要6×60＝360（元），總價(jià)為400＋360＝760（元）。三種方案比較：1000＞960＞760，結(jié)論是：用方案3合算。生3：我不同意這個(gè)新方案，4個(gè)成人購(gòu)買團(tuán)體票，不符合規(guī)定。師：方案2中購(gòu)買團(tuán)體票的要求為“團(tuán)體5人以上（包括5人）每人100元”，生3說(shuō)得對(duì)，4個(gè)人買團(tuán)體票，是不符合規(guī)定的，旅行社肯定不會(huì)賣票的。請(qǐng)大家想想辦法，還有沒(méi)有其他更好的方法了？生5：如果讓6名兒童購(gòu)買團(tuán)體票那又不合算，難道讓成人也購(gòu)買兒童票嗎？那旅行社肯定不答應(yīng)。我認(rèn)為再?zèng)]有更好的方案了。生3：老師，我這樣安排行不行？把1個(gè)兒童跟4個(gè)成人合在一起湊夠5人就符合購(gòu)買團(tuán)體票的規(guī)定了，需要5×100＝500（元），再讓其余5個(gè)兒童繼續(xù)購(gòu)買兒童票，需要5×60＝300（元），總價(jià)為500＋300＝800（元）。將三種方案比較：1000＞960＞800，而新方案既沒(méi)違反規(guī)定又是最合算的，只用800元就可以出行了。師:生3考慮第（1）題時(shí)不夠靈活，現(xiàn)在考慮第（2）題時(shí)卻很會(huì)動(dòng)腦，他的巧妙組合，讓我們感到非常神奇。那么，他的聰明之處表現(xiàn)在哪里呢？生6：他把一個(gè)兒童安排在成人里，剛好湊夠5人去購(gòu)買團(tuán)體票，這樣既不違反規(guī)定，又可以帶來(lái)實(shí)惠。從表面看，那個(gè)兒童多花了40元，可是4個(gè)大人卻少花了200元，總價(jià)要少花160元，還是很合算。師：他真聰明，只挪動(dòng)一個(gè)人，就可以節(jié)省160元錢。這樣的好辦法，老師都沒(méi)想到。評(píng)析：在解決第（1）題時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生找到了新方案；在解決第（2）題時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生自己找到了新方案。假如沒(méi)有教師前面的啟發(fā)、引導(dǎo)做基礎(chǔ)，學(xué)生怎么會(huì)有后面創(chuàng)造性的神奇組合?？梢?jiàn)，尖子生的創(chuàng)新思維與教師的有意拔高、適時(shí)點(diǎn)撥、正確引導(dǎo)密不可分?！就杏^點(diǎn)】反方———善意規(guī)勸：師生對(duì)此題的探究活動(dòng)，超出了習(xí)題對(duì)學(xué)生的要求，如果教材要求學(xué)生繼續(xù)尋找新方案，習(xí)題何不追加一句：“還有更好的方案嗎？”可見(jiàn)，教材還是照顧了全體同學(xué)的接受能力，因此，尋找新方案是人為增加難度，教師隨意拔高是多此一舉。從師生探究過(guò)程看，教師花費(fèi)了那么大力氣，反復(fù)啟發(fā)、不斷引導(dǎo)，又花費(fèi)了那么多時(shí)間找隱含的新方案。新方案較復(fù)雜、難度大，只有幾個(gè)尖子生理解了，會(huì)用了，一般學(xué)生未必能理解，就算理解了，也未必會(huì)用。所以，這樣費(fèi)勁有必要嗎？這種做法是否有點(diǎn)“拔苗助長(zhǎng)”？與其花費(fèi)那么多時(shí)間磨蹭在一道題上，還不如多做幾道難度較小的其他類型的習(xí)題，讓學(xué)困生經(jīng)多見(jiàn)廣，提高考試成績(jī)。正方———積極鼓勵(lì)：教師引導(dǎo)學(xué)生不斷尋找原方案中隱含的“新方案”，這個(gè)做法，雖然費(fèi)時(shí)費(fèi)力但卻有效地開發(fā)了尖子學(xué)生的創(chuàng)新思維，對(duì)他們將來(lái)在數(shù)學(xué)方面更好更快地發(fā)展，無(wú)疑打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。這些價(jià)值，豈能用時(shí)間的多少來(lái)衡量。這不是多此一舉，這樣的“拔苗助長(zhǎng)”，讓尖子學(xué)生如虎添翼，有助于尖子學(xué)生盡快成長(zhǎng)。毋庸置疑，這恰好是本節(jié)課的教學(xué)亮點(diǎn)。這段教學(xué)案例，能使中下學(xué)生理解并掌握“從兩種方案里選擇一種總價(jià)合算的方案”就已經(jīng)“保底”了，但這對(duì)尖子學(xué)生來(lái)說(shuō)并沒(méi)有“吃飽”。啟發(fā)、引導(dǎo)這部分學(xué)生不斷追求兩個(gè)方案中隱含的“新方案”，就可以滿足“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，讓他們利用生活經(jīng)驗(yàn)理解問(wèn)題細(xì)節(jié)，通過(guò)計(jì)算與比較獲得更加合理的價(jià)格方案，從而深刻感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。這不正是新課程追求的目標(biāo)嗎？師生雖然花費(fèi)了大量的精力僅僅鉆研了一道習(xí)題，探究了一種方案，卻是體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)的新理念：初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。人的天賦差異是客觀存在的，是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的。因材施教的內(nèi)涵既應(yīng)包括“補(bǔ)差”，