第九章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用

數(shù)字圖像處理DigitalImageProcessing河北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院馬潁麗MaYingliCMCHBU第九章數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用9.1概述9.2二值形態(tài)學(xué)9.3灰值形態(tài)學(xué)9.4彩色形態(tài)學(xué)MaYingliCMCHBU內(nèi)容提要:9.1概述9.1.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史及基本思想9.1.2幾個(gè)基本概念9.2二值形態(tài)學(xué)9.2.1二值腐蝕9.2.2二值膨脹9.2.3二值開運(yùn)算9.2.4二值閉運(yùn)算MaYingliCMCHBU9.3灰值形態(tài)學(xué)9.3.1~9.3.4灰度腐蝕、膨脹、開運(yùn)算、閉運(yùn)算9.3.5灰值形態(tài)學(xué)梯度9.3.6高帽變換和低帽變換9.3.7開－閉運(yùn)算和閉－開運(yùn)算9.4彩色形態(tài)學(xué)（選學(xué)）9.4.1彩色形態(tài)學(xué)的基本方法9.4.2基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的彩色圖像濾波MaYingliCMCHBU9.1概述可回溯到19世紀(jì)Euler、20世紀(jì)Minkowski等人的研究。1964年法國(guó)的Matheron和Serra在積分幾何的研究成果上，將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)引入圖像處理領(lǐng)域，并研制了基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理系統(tǒng)。1968年在巴黎礦業(yè)學(xué)院創(chuàng)建了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)研究中心。Matheron于1975年出版的《RandomSetsandIntegralGeometry》一書論述了隨機(jī)集合論、積分幾何論和拓?fù)溥壿嬚?，為?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。9.1.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史及基本思想MaYingliCMCHBU1982年Serra的專著《ImageAnalysisandMathematicalMorphology》是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展的重要里程碑。1985年以后，一些相關(guān)領(lǐng)域的國(guó)際會(huì)議開始把數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)列為學(xué)術(shù)討論專題，或?qū)ｉT舉行研討會(huì)。1990年起，SPIE每年舉辦一次“ImageAlgebraandMorphologicalImageProcessing”會(huì)議。1986年《計(jì)算機(jī)視覺與圖形圖像處理雜志》(GVGIP)出版了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)?？?989年和1994年《JournalofSignalProcessing》出版了形態(tài)學(xué)在信號(hào)處理中的應(yīng)用研究專輯。MaYingliCMCHBU數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是研究空間結(jié)構(gòu)的形狀、框架的學(xué)科以積分幾何、集合代數(shù)及拓?fù)湔摓槔碚摶A(chǔ)，此外還涉及隨機(jī)集論、近世代數(shù)和圖論等一系列數(shù)學(xué)分支。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論雖然很復(fù)雜，被稱為“驚人的數(shù)學(xué)”，但它的基本思想?yún)s是簡(jiǎn)單而完美的。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基于集合的觀點(diǎn)是極其重要的。MaYingliCMCHBU數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基于集合的觀點(diǎn)（1）運(yùn)算由集合運(yùn)算來(lái)定義；（2）所有的圖像必須以合理的方式轉(zhuǎn)換為集合。形態(tài)學(xué)算子的性能主要以幾何方式進(jìn)行刻畫，更適合視覺信息的處理和分析?；舅枷耄豪媒Y(jié)構(gòu)元素作為“探針”在圖像中不斷移動(dòng)，在此過(guò)程中收集圖像的信息、分析圖像各部分間的相互關(guān)系，從而了解圖像的結(jié)構(gòu)特征。

MaYingliCMCHBU圖9.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法MaYingliCMCHBU結(jié)構(gòu)元素的選擇十分重要根據(jù)探測(cè)研究圖像的不同結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)元素可攜帶形態(tài)、大小、灰度、色度等信息。不同點(diǎn)的集合形成具有不同性質(zhì)的結(jié)構(gòu)元素。由于不同的結(jié)構(gòu)元素可以用來(lái)檢測(cè)圖像不同側(cè)面的特征，因此設(shè)計(jì)符合人的視覺特性的結(jié)構(gòu)元素是分析圖像的重要步驟。最基本的形態(tài)學(xué)運(yùn)算有：膨脹,腐蝕，開，閉。用這些算子及其組合來(lái)進(jìn)行圖像形狀和結(jié)構(gòu)的分析及處理，可以解決抑制噪聲、特征提取、邊緣檢測(cè)、形狀識(shí)別、紋理分析、圖像恢復(fù)與重建等方面的問(wèn)題。MaYingliCMCHBU數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)進(jìn)行圖像處理有其獨(dú)有的特性：（1）反映的是一幅圖像中像素點(diǎn)間的邏輯關(guān)系，而不是簡(jiǎn)單的數(shù)值關(guān)系。（2）是一種非線性的圖像處理方法，并且具有不可逆性。（3）可以并行實(shí)現(xiàn)。（4）可以用來(lái)描述和定義圖像的各種集合參數(shù)和特征。MaYingliCMCHBU9.1.2幾個(gè)基本概念1.擊中與擊不中設(shè)有兩幅圖像A和B，（1）如果A∩B≠Ф（空集），那么稱B擊中（hit）A，記為B↑A，；

（2）否則，如果A∩B=Ф，稱B擊不中（miss）A。MaYingliCMCHBU9.1.2幾個(gè)基本概念2.平移和反射設(shè)A是一幅數(shù)字圖像，a是A的元素；b是一個(gè)點(diǎn)，那么定義：（1）A被b平移后的結(jié)果為

A＋b＝{a＋b|a∈A}（9.1）即整個(gè)圖像沿著向量b的方向平行移動(dòng)。（2）一幅數(shù)字圖像A關(guān)于原點(diǎn)的反射定義為

AV＝{a|-a∈A}（9.2）MaYingliCMCHBU3.結(jié)構(gòu)元素結(jié)構(gòu)元素與被處理的目標(biāo)圖像中抽取何種信息密切相關(guān)。在考察目標(biāo)圖像各部分之間的關(guān)系時(shí)，需要設(shè)計(jì)一種“結(jié)構(gòu)元素”。在圖像中不斷移動(dòng)結(jié)構(gòu)元素，就可以考察圖像之間各部分的關(guān)系。根據(jù)不同的圖像分析目的，常用的結(jié)構(gòu)元素有方形、扁平形、圓形等。在多尺度形態(tài)學(xué)分析中，結(jié)構(gòu)元素的大小可以變化，但結(jié)構(gòu)元素的尺寸一般地要明顯小于目標(biāo)圖像的尺寸。MaYingliCMCHBU9.2二值形態(tài)學(xué)二值圖像是數(shù)字圖像的重要子集，指灰度值只取兩種值的圖像。兩個(gè)灰度值可取為0（相應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成背景）和1（相應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成景物）。二值形態(tài)學(xué)處理算法都是以膨脹,腐蝕這兩種最基本的運(yùn)算為基礎(chǔ)的。一般設(shè)集合A為圖像集合，集合B為結(jié)構(gòu)元素，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算是用B對(duì)A進(jìn)行操作。MaYingliCMCHBU9.2.1二值腐蝕集合A（輸入圖像）被集合B（結(jié)構(gòu)元素）腐蝕:AB(9.3)

圖9.2腐蝕示意圖MaYingliCMCHBUMaYingliCMCHBU腐蝕運(yùn)算步驟：（1）選擇一個(gè)結(jié)構(gòu)元素，并設(shè)定其原點(diǎn)位置，（2）將結(jié)構(gòu)元素移到圖中，若被覆蓋范圍與結(jié)構(gòu)元素中的1相同，則圖中與原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的像素值為1，否則為0；9.2.2二值膨脹腐蝕運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算，通過(guò)對(duì)補(bǔ)集的腐蝕來(lái)定義。以AC表示集合A的補(bǔ)集，表示B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的反射。集合A被集合B膨脹表示為：MaYingliCMCHBU圖9.3膨脹示意圖MaYingliCMCHBUMaYingliCMCHBU膨脹運(yùn)算步驟：（1）選擇一個(gè)結(jié)構(gòu)元素，并設(shè)定其原點(diǎn)位置，（2）將結(jié)構(gòu)元素移到圖中，若被覆蓋范圍與結(jié)構(gòu)元素至少有一個(gè)1相重疊，則圖中與原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的像素值1，否則為0；腐蝕和膨脹操作的直觀解釋

腐蝕是對(duì)圖像內(nèi)部作濾波處理，而膨脹是利用結(jié)構(gòu)元素對(duì)圖像補(bǔ)集進(jìn)行填充，因而它是對(duì)圖像外部作濾波處理。腐蝕具有收縮圖像的作用，膨脹具有擴(kuò)大圖像的作用。MaYingliCMCHBU9.2.3二值開運(yùn)算兩種二次運(yùn)算起著非常重要的作用開運(yùn)算閉運(yùn)算（開運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算）。從結(jié)構(gòu)元素填充的角度看，它們具有更為直觀的幾何形式。MaYingliCMCHBU開運(yùn)算的定義設(shè)A仍為輸入圖像，B為結(jié)構(gòu)元素，利用B對(duì)A作開運(yùn)算，用符號(hào)A○B(yǎng)表示，其定義為：或可以通過(guò)計(jì)算所有可以填入圖像內(nèi)部的結(jié)構(gòu)元素平移的并集求得。當(dāng)結(jié)構(gòu)元素B掃過(guò)整個(gè)圖像集合內(nèi)部，A○B(yǎng)就是使結(jié)構(gòu)元素B的任何像素不越出圖像A邊界的圖像A像素點(diǎn)的集合。MaYingliCMCHBU圖9.4利用圓盤作開運(yùn)算

MaYingliCMCHBUMaYingliCMCHBU開運(yùn)算步驟：先腐蝕后膨脹9.2.4二值閉運(yùn)算閉運(yùn)算是開運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算，定義為先作膨脹后作腐蝕?；蜷_、閉運(yùn)算也互為對(duì)偶運(yùn)算開運(yùn)算具有磨光圖像外邊界的作用閉運(yùn)算具有磨光圖像內(nèi)邊界的作用MaYingliCMCHBU圖9.5利用圓盤作閉運(yùn)算MaYingliCMCHBUMaYingliCMCHBU閉運(yùn)算步驟：先膨脹后腐蝕9.3灰值形態(tài)學(xué)在灰度圖像形態(tài)處理中，輸入和輸出的圖像都是灰度級(jí)形式的輸入和輸出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之間。MaYingliCMCHBU9.3.1灰值腐蝕形態(tài)學(xué)源于填充的概念灰值形態(tài)學(xué)處理的對(duì)象是圖像信號(hào)波形的拓?fù)涮匦?，結(jié)構(gòu)元素也是一個(gè)信號(hào)。二值形態(tài)學(xué)中，集合的交、并運(yùn)算起到關(guān)鍵作用在灰值形態(tài)學(xué)中這兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)與極大和極小運(yùn)算?？衫锰畛?、極大/極小概念直接定義灰值運(yùn)算。MaYingli