第3章經(jīng)典方程的建立和定解條件

在討論數(shù)學物理方程的解法以前，我們首先要弄清楚數(shù)學物理方程所研究的問題應該怎樣提，為此，我們從兩方面來討論，一方面要將一個具體的物理、力學等自然科學問題化為數(shù)學問題，即建立描述某種物理過程的微分方程——數(shù)學物理方程，稱此方程為泛定方程；另一方面要把一個特定的物理現(xiàn)象本身所具有的具體條件用數(shù)學形式表達出來，即列出相應的初始條件和邊界條件，兩者合稱為定解條件.定解條件提出具體的物理問題，泛定方程提供解決問題的依據(jù)，作為一個整體稱之為定解問題.第3章經(jīng)典方程的建立和定解條件經(jīng)典方程的導出步驟：確定出所要研究的是哪一個物理量2.用數(shù)學的“微元法”從所研究的系統(tǒng)中分割出一小部分，再根據(jù)相應的物理（力學）規(guī)律分析鄰近部分和這個小部分間的作用（抓住主要作用，略去次要因素，即高等數(shù)學中的抓主部，略去高階無窮?。?，這種相互作用在一個短的時間間隔是如何影響物理量3.把這種關(guān)系用數(shù)學算式（方程）表達出來，經(jīng)化簡整理就是所需求的數(shù)學物理方程.3．1經(jīng)典方程的建立1.弦的微小橫振動考察一根長為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學上的定解問題．要確定弦的運動方程，需要明確：確定弦的運動方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數(shù)學物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

注意：

物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當假設(shè)才能使方程簡化．數(shù)學物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點不能取在端點上，但可以取除端點之外的任何位置作為考察點．

根據(jù)牛頓第二定律方向運動的方程可以描述為

（9.1.1）

作用于小段的縱向合力應該為零：

(9.1.2)僅考慮微小的橫振動，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據(jù)級數(shù)展開式有注意到:故由圖9.11得這樣，(9.1.1)和(9.1.2)簡化為因此在微小橫振動條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(9.1.5)變化量可以取得很小，根據(jù)微分知識有下式成立

這樣，段的運動方程(9.1.5)就成為

(9.1.6)即為

（9.1.7）上式即為弦作微小橫振動的運動方程，簡稱為弦振動方程．

其中討論：（1）若設(shè)弦的重量遠小于弦的張力，則上式(9.1.7)右端的重力加速度項可以忽略．由此得到下列齊次偏微分方程：

（9.1.8）

稱式（9.1.8）為弦的自由振動方程(2)如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用，則式(9.1.8)應該改寫為

(9.1.9)式中稱為力密度

，為時刻作用于處單位質(zhì)量上的橫向外力式（9.1.9）稱為弦的受迫振動方程.9.2數(shù)學建模－熱傳導方程類型的建立9.2.1數(shù)學物理方程――熱傳導類型方程的建立

1.熱傳導方程

推導固體的熱傳導方程時，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱傳導的傅里葉定律：熱傳導的傅里葉定律：

時間內(nèi)，通過面積元流入小體積元的熱量與沿面積元外法線方向的溫度變化率

成正比也與和成正比，即：

（9.2.1）

式中是導熱系數(shù)

圖9.8取直角坐標系Oxyz,如圖9.8表示t時刻物體內(nèi)任一點（x,y,z）處的溫度在dt時間內(nèi)通過ABCD面流入的熱量為同樣，在時間內(nèi)沿y方向和z方向流入立方體的熱量分別為在t到時間內(nèi)，小體積元的溫度變化是如果用和分別表示物體的密度和比熱，則根據(jù)能量守恒定律得熱平衡方程或?qū)懗?/p>

(9.2.2)

2.擴散方程

(9.2.3)

其中將一維推廣到三維，即得到

(9.2.4)上述方程與一維熱傳導方程具有完全類似的形式.若外界有擴散源，且擴散源的強度為這時，擴散方程應為

（9.2.5）

從上面的推導可知，熱傳導和擴散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類方程來描述.9.3數(shù)學建模——穩(wěn)定場方程類型的建立9.3.1數(shù)學建?！€(wěn)定場方程類型的建立

1靜電場的電勢方程

直角坐標系中泊松方程為

(9.3.1)若空間中無電荷，即電荷密度，上式成為

(9.3.2)稱這個方程為拉普拉斯方程.2.穩(wěn)定溫