冪函數(shù)講義 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

冪函數(shù)一、冪函數(shù)的概念:一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為自變量，為常數(shù)①表達(dá)式是一個(gè)冪②系數(shù)為1③底數(shù)為自變量④指數(shù)為常數(shù)【例1】（1）下列是冪函數(shù)的是_____①②③④⑤⑥⑦答案：①②③⑥。（2）已知點(diǎn)()在冪函數(shù)上圖像上，則=____解：（3）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則=_______解：或（舍），解得；【例2】已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(9,3)，則函數(shù)在區(qū)間［1,9]上的值域?yàn)椋?/p>

）A、 B、 C、 D、解：圖象過點(diǎn)，所以，可得，所以，．因?yàn)椋?，故．因此，函?shù)在區(qū)間[1,9]上的值域?yàn)椋蔬x：B．二、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)（難點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì)隨著指數(shù)的不同而不同）畫出指數(shù)為在第一象限函數(shù)圖像1、當(dāng)函數(shù)在第一象限時(shí)（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像和圖像類似，不過原點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像和圖像類似，在和圖像之間（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像和圖像類似，在為增函數(shù)性質(zhì)：①第一象限所以圖像過定點(diǎn)，冪函數(shù)圖像恒過第一象限，恒不過第四象限②增減性：當(dāng)時(shí)，在都是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，在都是增函數(shù)③按逆時(shí)針方向逐漸變大（舉例畫圖：）【例3】（1）圖中曲線是冪函數(shù)在第一象限的圖像，已知四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線的依次是_____解：【例4】函數(shù)是冪函數(shù)，且時(shí)減函數(shù)，求的值解：【例5】已知函數(shù)，且，則的取值范圍是______解：，定義域（易錯(cuò)點(diǎn)，易忽略）2、在其他象限時(shí)利用函數(shù)的奇偶像研究的性質(zhì)（1）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，為奇數(shù)就是奇函數(shù)；為偶數(shù)就是偶函數(shù)（2）當(dāng)為分?jǐn)?shù)時(shí)（有理數(shù)）：（為既約分?jǐn)?shù)）①當(dāng)都為奇數(shù)時(shí)：是奇函數(shù)，如（畫圖像）②當(dāng)都為偶數(shù)時(shí)：是偶偶函數(shù)，如（畫圖像）③當(dāng)都為奇數(shù)，為偶函數(shù)是，函數(shù)非奇非偶，如有定義域的限制（3）無理數(shù)不要求【例6】（1）（陜西文4）函數(shù)的圖像是（）解：函數(shù)為偶函數(shù)，圖像和類似且過點(diǎn)（1，1），答案B【例7】已知函數(shù),在下列函數(shù)圖像中，不是的圖像是（）解：函數(shù)不過第四象限，答案為C【例8】如圖所示是函數(shù)(且互質(zhì))的圖象，則（

）是奇數(shù)且 B、是偶數(shù)，是奇數(shù)，且C、是偶數(shù)，是奇數(shù)，且 D．是偶數(shù)，且解：函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，故為奇數(shù)，為偶數(shù)，在第一象限內(nèi)，函數(shù)是凸函數(shù)，故，故選：C【例9】在上是（）A、增函數(shù)且奇函數(shù)B.增函數(shù)且為偶函數(shù)C.減函數(shù)且為奇函數(shù)D.減函數(shù)且為偶函數(shù)解：答案：A 【例10】下列命題正確的是（

）冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點(diǎn) B、函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限C、如果兩個(gè)冪函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相同 D、如果冪函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過點(diǎn)E、冪函數(shù)的圖象上的點(diǎn)一定不在第四象限F、當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)解：對于A，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不過點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，的圖象過第一、三象限，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)函數(shù)不相同，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，所以冪函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，圖象一定經(jīng)過點(diǎn)，D正確對于E，正確；對于F，當(dāng),函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性【例11】若，則函數(shù)的定義域是______解：，，所以【例12】函數(shù)，不論為何值的圖像均過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，_____解：，時(shí)，恒過點(diǎn)【例13】已知函數(shù)是冪函數(shù)，且其圖像與軸沒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)解：或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且與軸沒有交點(diǎn)，【例14】（多）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增。若，且，則（），B、，C、，D、，解：或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且在上單調(diào)遞增，所以，且為奇函數(shù)，畫出圖像①當(dāng)，時(shí)，滿足，，此時(shí)，C正確②當(dāng)，時(shí)，滿足，，此時(shí)，B正確③當(dāng)，時(shí)，滿足，，此時(shí)，D正確答案：BCD【例15】如果對定義在上的奇函數(shù)，對任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有，那么稱函數(shù)為“函數(shù)”，下列函數(shù)為函數(shù)的是（）A、B、C、D、解：，函數(shù)在R為增函數(shù)答案D【例16】已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A、 B、C、 D、解：設(shè)，即為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增（增+增），，所以，答案A【例17】已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，且求的值及的解析式若，求實(shí)數(shù)的取值范圍解（1）函數(shù)偶函數(shù)，且為增函數(shù)，所以，且，所以（2）【例18】已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍解：，且為偶數(shù)，故，函數(shù)在和為單調(diào)遞減，畫出函數(shù)圖像所以【例19】已知冪函數(shù)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性若該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，試確定的值，并求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1），因?yàn)椋欢ㄊ且黄嬉慌?，所以一定是偶?shù)，所以定義域?yàn)?，且為增函?shù)（2）（舍）或，所以【例20】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的解析式；(2)設(shè)，（i）利用定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．（ii）若在上恒成立，求t的取值范圍．解：(1)設(shè)，則，得，所以(2)（i）由（1）得．任取，，且，則．因?yàn)椋?，即．在上單調(diào)遞增．（ii）由（i）知在單調(diào)遞增，所以在上，．因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以，解得．【?1】已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，．(1)求的解析式；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）若函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求的取值范圍解：（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，解得或當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，所以（2）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為非奇非偶函數(shù)，（3）因?yàn)楹瘮?shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即所以，因?yàn)椋?，所以因?yàn)椋?，所以【?2】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，且（1）求函數(shù)的解析式（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由（3）若函數(shù)在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值解：（1）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足在上單調(diào)遞減所以時(shí)，（2）由（1）可知，，定義域?yàn)?，所以為奇函?shù)（3），對稱軸為①當(dāng)時(shí)，，滿足題意②當(dāng)時(shí)，,不滿足題意③當(dāng)時(shí)，，不滿足題意綜上：【例23】已知冪函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，且為偶函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式（2）討論函數(shù)的奇偶性解：（1），因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以（2），當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)當(dāng)且時(shí)，，或者且，非奇非偶【例24】*已知冪函數(shù)，滿足（1）求函數(shù)的解析式（2）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為？（3）若函數(shù)是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出?shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由解：（1）或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且，在增函數(shù)，所以（2），設(shè)