線性代數(shù) 矩陣及其運(yùn)算

第二章矩陣及其運(yùn)算(Matrix&Operation)矩陣是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要工具。矩陣的應(yīng)用已經(jīng)滲透到了包括自然科學(xué)、人文科學(xué)、社會(huì)科學(xué)在內(nèi)的各個(gè)領(lǐng)域。在矩陣?yán)碚撝?，矩陣的運(yùn)算起著重要的作用，本章主要討論有關(guān)矩陣運(yùn)算的一些基本規(guī)則與技巧。某班級(jí)同學(xué)早餐情況這個(gè)數(shù)表反映了學(xué)生的早餐情況.姓名饅頭包子雞蛋稀飯周星馳4221張曼玉0000陳水扁4986為了方便，常用下面右邊的數(shù)表表示§2.1矩陣的概念2.1.1矩陣的引入1.定義2.1由m×n個(gè)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的數(shù)表稱m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱m×n矩陣。記作2.1.2矩陣的定義2.說明:矩陣與行列式不同

形式不同矩陣的行列數(shù)可不同，但行列式必須行列數(shù)同.內(nèi)容不同矩陣是一個(gè)數(shù)表，但行列式必是一個(gè)數(shù).

3.實(shí)矩陣、復(fù)矩陣5.矩陣相等充要條件是:4.同型矩陣兩矩陣的行列數(shù)分別相等稱它們是同型矩陣2.1.2一些特殊矩陣1.方陣若A為n行n列的矩陣，稱A為n階方陣。2.

行矩陣、列矩陣行矩陣只有一行的矩陣。列矩陣只有一列的矩矩陣3.零矩陣、單位矩陣n階單位矩陣4.對(duì)角矩陣與數(shù)量矩陣5.上（下）三角形矩陣§2.2矩陣的運(yùn)算2.2.1.矩陣的加法與數(shù)乘:

注：矩陣的加法只能在兩個(gè)同型矩陣之間進(jìn)行；兩個(gè)矩陣相加時(shí)，對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行相加。1.矩陣的加法（定義2.2）:

A=(aij)

、B=(bij)2.矩陣的數(shù)乘定義2.3

數(shù)λ與矩陣Ａ的乘積記為λA或Aλ，并規(guī)定：負(fù)矩陣:

A=(

aij)

減法：Ａ

B=Ａ+(

B)3.矩陣線性運(yùn)算律：

(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(

A)=O(4)1A=A(5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB

例1．若X滿足其中求X.解X=

2.2.2.矩陣的乘法：1.矩陣的乘法定義（定義2.5）設(shè)矩陣A為m×s

階矩陣、矩陣B為s×n

階矩陣，A=(aij)

m×s

、B=(bij)

s×n，則矩陣A與B的乘積為一m×n

階矩陣C=(cij)

m×n，記C=AB，且就是說，矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的所有元素與矩陣B的第j列的對(duì)應(yīng)元素的乘積之和。例2計(jì)算

例3.非齊次線性方程組的矩陣表示記則非齊次線性方程組可簡(jiǎn)記為關(guān)于矩陣乘法的注意事項(xiàng)：（1）矩陣A

與矩陣B

做乘法必須是左矩陣的列數(shù)與右

矩陣的行數(shù)相等；（2）矩陣的乘法中，必須注意矩陣相乘的順序，AB是A左乘B的乘積，BA是A右乘B的乘積；2.矩陣乘法與加法滿足的運(yùn)算規(guī)律（3）AB與BA不一定同時(shí)會(huì)有意義；即是有意義，也

不一定相等；（4）AB=O不一定有A=O或B=O；

A(X

Y)=O且A≠O也不可能一定有X=Y例4定理2.1

若矩陣A的第i行是零行，則乘積AB的第i行也是零；若矩陣B的第j行是零列，則乘積AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩陣，則乘積AB也是零矩陣。例5設(shè)求AB與BA解只有方陣，它的乘冪才有意義。由于矩陣的乘法滿足結(jié)合律，而不滿足交換律，因而有下面的式子：

(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm

(3)(AB)k≠AkBk3.矩陣的乘冪：設(shè)A是n階方陣，定義：例6

解

4.方陣A的n次多項(xiàng)式5.矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.6A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT，是將A的行列互換后所得矩陣如果A是一個(gè)m×n階矩陣，AT是一個(gè)n×m階矩陣。矩陣的轉(zhuǎn)置的性質(zhì)證明（1）、（2）、（3）易證，下證明(4).設(shè)矩陣A為m×s階矩陣，矩陣B為s×n階矩陣，那么：(AB)T與BTAT是同型矩陣；又設(shè)C=AB，因?yàn)镃T的第i行第j列的元素正好是C的cji

，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故

(AB)T=ATBT6.對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣設(shè)A為n階方陣，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為對(duì)稱矩陣；若AT=

A，即aij=

aji(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為反對(duì)稱矩陣。如右邊的矩陣A為對(duì)稱矩陣7.方陣的行列式（1）方陣A的行列式，記為|A|或detA。注意：行列式與方陣是兩個(gè)不同的概念，且它們的記號(hào)也是不同的。（2）方陣的行列式滿足以下運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A、B為n階方陣，λ為實(shí)數(shù))1)伴隨矩陣：設(shè)A=(aij)n×n，矩陣A中元素aij的代數(shù)余子式Aij構(gòu)成的如下矩陣8、再講幾類特殊的矩陣稱矩陣A的伴隨矩陣，記為A＊矩陣運(yùn)算舉例

設(shè)對(duì)于n階方陣A，若存在n階方陣B使得

AB=BA=E恒成立，則稱矩陣A可逆或滿秩矩陣,或非奇異矩陣；B稱為A的逆矩陣，記為A－1=B

。1）.若矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的。證明：設(shè)A有兩個(gè)逆矩陣B1、B2，則

B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩陣的定義（定義2.8）2、可逆矩陣的唯一性、存在性及性質(zhì)§2.3逆矩陣證明：充分性由行列式的代數(shù)余子式的性質(zhì)及矩陣乘法的定義有：AA*=A*A=|A|E，又|A|≠02）.定理2.2A可逆的充要條件是|A|≠0，且A可逆時(shí)有3）.對(duì)于n階方陣A、B若有AB=E則：A、B均可逆，且它們互為可逆矩陣。證明：∵AB=E∴|A||B|=1

故

|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，又BA=BABB－1=BB－1=E,故

A－1=B

必要性證明：∵A可逆∴AA－1=A－1

A=E故|A||A－1|=1，即|A|≠0

，A可逆，同時(shí)還有奇異矩陣與非奇異矩陣：若n方陣Ａ的行列式|A|≠0，稱矩陣A為非奇異矩陣，否則矩陣A稱為奇異矩陣。4）.逆矩陣的性質(zhì)

如果A、B均可逆，那么AT與AB都可逆，且

(A－1)－1＝A(AT)－1＝(A－1)T(AB)－1＝B－1A－1

(kB)－1＝k－1A－1(k為非零）

|A－1|=|A|－1

證明：∵A、B均可逆∴AA－1=A－1A＝E

故(AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E∴(AT)－1=(A－1)T

同理(AB)(B－1A－1)＝(B－1A－1)(AB)＝E

∴(AＢ)－1=Ｂ－1A－1有關(guān)逆矩陣?yán)}

本節(jié)來介紹一個(gè)在處理高階矩陣時(shí)常用的方法，即矩陣的分塊。將矩陣A用若干條橫線與若干條縱線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為矩陣A的子塊。以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。特別在運(yùn)算中，把這些小矩陣當(dāng)做一個(gè)數(shù)來處理?！?.4分塊矩陣即Aij與Bij有相同的列數(shù)與行數(shù)，則：A與B的和就是以Aij與Bij為元素的形式矩陣相加。2.4.1分塊矩陣的加法：設(shè)矩陣A,矩陣B為：2.4.2分塊矩陣的乘法：設(shè)矩陣Am×n、Bn×p且矩陣A列的分法與矩陣B的行的分法相同。2.4.3分塊矩陣的轉(zhuǎn)置

它的特點(diǎn)是不在主對(duì)角線上的子塊全為零矩陣，而在主對(duì)角線上的矩陣均為不全為零的方陣，則稱A為準(zhǔn)對(duì)角矩陣（或?qū)菈K矩陣）。

對(duì)于準(zhǔn)對(duì)角矩陣，有以下運(yùn)算性質(zhì)：若A與B是具有相同分塊的準(zhǔn)對(duì)角矩陣，且設(shè)2.4.4準(zhǔn)對(duì)角矩陣

若矩陣A的分塊矩陣具有以下形式則：?若準(zhǔn)對(duì)角矩陣A的主對(duì)角線上的每一個(gè)方陣均可逆，則矩陣A也可逆，且?2.4.5矩陣分塊的應(yīng)用2.4.6矩陣按列分塊1.矩陣按列分塊2.線性方程組的系數(shù)矩陣按列分塊后線性方程組的等價(jià)形式如果把系數(shù)矩陣A按列分成n塊，則線性方程組可記作§2.5初等變換與初等矩陣2.5.1矩陣的初等變換(Elementaryoperation)1

初等變換定義定下面的三種變換稱為矩陣的初等變換

：(i).

對(duì)調(diào)兩行(ii).以非0數(shù)乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去

把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換。顯然，每一種初等變換都是可逆的，并且其逆變換也是同一種初等變換。

例18設(shè)（1）用行初等變換把A化為階梯形，進(jìn)一步化為行標(biāo)準(zhǔn)形（2）再用列初等變換把A化為標(biāo)準(zhǔn)形解（1）（行階梯形）2行階梯形矩陣定義2.11一個(gè)矩陣稱為行階梯形矩陣，如果從第一行起，每行第一個(gè)非零元素前面零的個(gè)數(shù)逐行增加，一旦出現(xiàn)零行，則后面各行（如果有的話）都是零行

如下面的階梯形矩陣行標(biāo)準(zhǔn)型下面形式的矩陣稱為行標(biāo)準(zhǔn)型下面形式的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)型3.定理2.3設(shè)A是一個(gè)m行n列矩陣，通過行初等變換可以把A化為如下行標(biāo)準(zhǔn)型

4

定理矩陣A可經(jīng)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形:

（1）.已知分別將A的第一、二行互換和將A的第一列的

2倍加到第二列，求出相應(yīng)的初等矩陣,并用矩陣乘法將這兩種變換表示出來。解交換A的第一、二行，可用二階初等矩陣

左乘A：將A的第一列的

2倍加到第二列，即用三階初等矩陣右乘A：

2.5.2