解三角形的綜合應(yīng)用講義

解三角形的綜合應(yīng)用講義一、知識梳理實際測量中的常見問題求AB圖形需要測量的兀素解法求豎直高度底部可達丿AZACB=a,BC=a解直角三角形AB=atana底部不可達1CDfAZACB=a,ZADB=“，CD=a解兩個直角三角形AbatanatanBtantana求水平距離山兩側(cè)CZACB=a,AC=b，BC=a用余弦定理AB=Qa2+b2—2abcosa河兩岸.-LZACB=a,ZABC=“，CB=ae一八、__asina用正弦定理AB=sm（a+B）河對岸aZADC=a,ZBDC=“，ZBCD=3,ZACD=y，CD=a亠人亠asina在“中,AC=s】n（a+Y）；,.tasinB在皿中,BC=碩冶；在AABC中，應(yīng)用余弦定理求AB注意:實際問題中的常用術(shù)語仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角（如圖①）.2?方向角相對于某正方向的水平角，如南偏東30°,北偏西45。等.3?方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為皿如圖②).4?坡度(又稱坡比)坡面的垂直高度與水平長度之比.二、基礎(chǔ)檢測題組一：思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“廠或“X”)從A處望B處的仰角為％從B處望A處的俯角為〃，則a,B的關(guān)系為a+〃=180°.()俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為［0,牛］.()方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系.()兀⑷方位角大小的范圍是［0,2n)，方向角大小的范圍一般是［0,2］.()題組二：教材改編2?如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50m，ZACB=45°，ZCAB=105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為m.如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B,在B處測得山頂P的仰角為60°，則山高h=米.題組三：易錯自糾在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60°，C點的俯角是70°，則ZBAC等于()A.10°B.50°C.120°D.130°5?如圖所示，D，C，B三點在地面的同一條直線上，DC=a，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60°，30°，則A點離地面的高度AB=.6?在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時,風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20km/h；水的流向是正東，流速是20km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向為北偏東，速度的大小為km/h.三、典型例題題型一：求距離、高度問題1?江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為TOC\o"1-5"\h\z45。和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距m.2?如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為％在塔底C處測得A處的俯角為〃?已知鐵塔BC部分的高為力，則山高CD=.D；3.—船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°的方向上，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15°的方向上，這時船與燈塔的距離為km.思維升華：求距離、髙度問題的注意事項選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.題型二：求角度問題典例如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東e的方向沿直線CB前往B處救援，則cose的值為.思維升華：解決測量角度問題的注意事項首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義；分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步；將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.跟蹤訓(xùn)練如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°的方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東60°的方向上，則燈塔A在燈塔B的的方向上.

東題型三：三角形與三角函數(shù)的綜合問題典例在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，(東題型三：三角形與三角函數(shù)的綜合問題典例在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，(2a—c)cosB—bcosC=0.（1）求角B的大小;3(2)設(shè)函數(shù)fx)=2sinxcosxcosB—亍cos2x,求函數(shù)夬兀）的最大值及當(dāng)夬兀）取得最大值時x的值.思維升華：三角形與三角函數(shù)的綜合問題,要借助三角函數(shù)性質(zhì)的整體代換思想，數(shù)形結(jié)合思想，還要結(jié)合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題./兀、跟蹤訓(xùn)練設(shè)fx)=sinxcosx—cos2(x+—).（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間;⑵在銳角△ABC中，角⑵在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.=0,a=1,求AABC面積的最大值.四、反饋練習(xí)已知A,B兩地間的距離為10km,B,C兩地間的距離為20km,現(xiàn)測得ZABC=120°，則A,C兩地間的距離為（）A.10kmB.10\；3kmC.10V5kmD.10萬km如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的（）南南A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東80°D.南偏西80°—艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是（）A.10邁海里B.10羽海里C.20<3海里D.20“邁海里如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°，此時氣球的高是60m，則

河流的寬度BC等于（）A.240（V3+l）mB.180（百河流的寬度BC等于（）C.120（邊一1）mD.30G；'3+1）m5?如圖，兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,50m,BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為（C.60°B.45°C.60°B.45°答案B6?如圖所示，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D,測得/BCD=15°,ZBDC=30°,CD=30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°,則塔高AB等于（）A.5、拓B.15<3C.5?邁D.15<6輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C,兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/則下午2時兩船之間的距離是nmile.如圖，某工程中要將一長為100m,傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變,一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后,看見一燈塔在船的南偏西60°,另一燈塔在船的南偏西75°,則這艘船的速度是每小時海里.

如圖，在山底A點處測得山頂仰角ZCAB=45。,沿傾斜角為30。的斜坡走1000米至S點，又測得山頂仰角ZDSB=75°,則山高BC為米.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為20。的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為米.12?如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東?的方向追趕漁船乙，剛好用2求漁船甲的速度；求sina的值.如圖，在水平地面上有兩座直立的相距60m的鐵塔AA1和BB].已知從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB]的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍，從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角.則從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為；塔BB1的高為m.如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報，在距離某碼頭南偏東45°方向600km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動，距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為如圖所示，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃要在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村