集合市賽一等獎

第一章集合與常用邏輯用語、不等式第一節(jié)集合學習要求:1了解集合的含義,體會元素與集合的屬于關系;能用自然語言、圖形語言、

符號語言列舉法或描述法描述不同的具體問題2理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集;在具體情境中了

解全集與空集的含義3理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集;理解

在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集;能使用韋恩

Venn圖表達集合的基本關系及集合的基本運算必備知識

·

整合

1元素與集合1集合中元素的性質:①

確定性

、互異性、無序性?提醒元素的互異性,即集合中不能出現(xiàn)相同的元素,此性質常用于求解含

參數(shù)的集合問題2集合與元素的關系:若a屬于集合A,則記作②

a∈A

;若b不屬于集合A,

則記作③

b?A

3集合的表示方法:④

列舉法

、描述法、圖示法4常見數(shù)集及其符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號⑤

N

⑥

N*或N+

⑦

Z

⑧

Q

⑨

R

?提醒

研究集合問題時,首先要明確構成集合的元素是什么,即弄清該集合

是數(shù)集、點集,還是其他集合,然后看集合的構成元素滿足的限制條件是什么,從而準確把握集合的意義常見的集合的意義如下表:集合{x|f(x)=0}{x|f(x)>0}{x|y=f(x)}{y|y=f(x)}{(x,y)|y=f(x)}集合的意義方程f(x)=0的解集不等式f(x)>0的解集函數(shù)y=f(x)的定義域函數(shù)y=f(x)的值域函數(shù)y=f(x)圖象上的點集2集合的基本關系

文字語言記法集合的基本關系子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素⑩

A?B

或B?A真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一個元素不屬于A

AB

或BA相等集合A中的每一個元素都是集合B中的元素,集合B中的每一個元素也都是集合A中的元素A?B且B?A?A=B空集空集是

任何

集合的子集??A空集是

任何非空

集合的真子集?B(其中B≠?)?提醒1“?”與“”的區(qū)別:A?B?A=B或AB,若A?B和AB同時

成立,則AB更準確2?,{0}和{?}的區(qū)別:?是不含有任何元素的集合;{0}含有一個元素0;{?}

含有一個元素?,且?∈{?}和??{?}都正確3在涉及集合之間的關系時,若未指明集合非空,則要考慮空集的可能性,如:

若A?B,則要考慮A=?和A≠?兩種情況3集合的基本運算

集合的并集集合的交集集合的補集符號表示

A∪B

A∩B

若全集為U,則集合A的

補集為

?UA

圖形表示

意義A∪B=

{x|x∈A,或x∈B}

A∩B=

{x|x∈A,且x∈B}

?UA=

{x|x∈U,且x?A}

知識拓展1子集的性質:A?A,??A,A∩B?A,A∩B?B2交集的性質:A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A3并集的性質:A∪B=B∪A,A∪B?A,A∪B?B,A∪A=A,A∪?=?∪A=A4補集的性質:A∪?UA=U,A∩?UA=?,?U?UA=A,?AA=?,?A?=A5子集的個數(shù):含有n個元素的集合共有2n個子集,其中有2n-1個真子集,2n-1個

非空子集6等價關系:A∩B=A?A?B;A∪B=A?A?B7?UA∩B=?UA∪?UB,?UA∪B=?UA∩?UB1判斷正誤正確的打“√”,錯誤的打“?”1任何一個集合都至少有兩個子集?2{|y=21}={y|y=21}={,y|y=21}?3若{2,1}={0,1},則=0或1?4對于任意兩個集合A,B,A∩B?A∪B恒成立????√2新教材人教B版必修第一冊P9練習BT1改編若集合P={∈N|≤?},a=2?,則?Aa∈P

B{a}∈PC{a}?P

Da?PD32020課標Ⅱ理,1,5分已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},則?UA∪B=?A{-2,3}

B{-2,2,3}C{-2,-1,0,3}

D{-2,-1,0,2,3}A4易錯題已知集合A={m2,2m2m},若3∈A,則m的值為-?

【易錯點分析】本題容易因忽視集合中元素的互異性致誤5易錯題已知集合A={,y|2y2≤3,∈,y∈},則A中元素的個數(shù)為9

【易錯點分析】本題容易因對集合的表示方法理解不到位致誤考點一集合的基本概念關鍵能力

·

突破

,b∈R,集合{1,ab,a}=?,則b-a=?A1

B-1

C2

D-2C解析

由題意知a≠0,因為{1,a+b,a}=

,所以a+b=0,則

=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.故選C.={∈R|a2-32=0}中只有一個元素,則a=?A?

B?C0

D0或?D解析

若集合A中只有一個元素,則方程ax2-3x+2=0只有一個實根或有兩個相等的實根.當a=0時,x=

,符合題意;當a≠0時,由Δ=(-3)2-8a=0得a=

.所以a=0或

.={|2<<,∈N},若集合P中恰有3個元素,則的取值范圍是5,6]

解析因為P中恰有3個元素,所以P={3,4,5},故的取值范圍是5<≤6名師點評與集合中的元素有關的問題的求解策略：1用描述法表示集合時,首先要搞清楚集合中代表元素的含義,再看元素的

限制條件,明白集合的類型,是數(shù)集、點集還是其他類型的集合2集合中元素的三個性質中的互異性對解題的影響較大,特別是含有字母的

集合,在求出字母的值后,要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性考點二集合的基本關系典例1已知集合A={|-2≤≤5},B={|m1≤≤2m-1},若B?A,則實數(shù)m的

取值范圍為-∞,3]

解析因為B?A,所以若B=?,則2m-1<m+1,解得m<2;若B≠?,則

解得2≤m≤3.故符合題意的實數(shù)m的取值范圍為m≤3.◆變式1本例中,若將“B?A”變?yōu)椤癇A”,求m的取值范圍解析因為B

A,所以若B=?,則2m-1<m+1,解得m<2;若B≠?,則

或

解得2≤m≤3.故m的取值范圍為(-∞,3].◆變式2本例中,若將“B?A”變?yōu)椤癆?B”,求m的取值范圍解析若A?B,則

即

所以m的取值范圍為?.◆變式3若將本例中的“集合A={|-2≤≤5}”變?yōu)椤凹螦={|<-2或>

5}”,試求m的取值范圍解析因為B?A,所以當B=?時,2m-1<m+1,解得m<2,符合題意;當B≠?時,

或

解得

或

故m>4.綜上可知,實數(shù)m的取值范圍為(-∞,2)∪(4,+∞).名師點評根據(jù)兩集合間的關系求參數(shù)的方法：求參數(shù)時,關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點的關系,進而轉化為參數(shù)所滿

足的條件,常用數(shù)軸、Venn圖等來解決這類問題12020安徽安慶模擬已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a1},若B?A,則實數(shù)a=?

A-1

B2C-1或2

D1或-1或2C解析

因為B?A,所以必有a2-a1=3或a2-a1=a①若a2-a1=3,則a2-a-2=0,解得a=-1或a=2當a=-1時,A={1,3,-1},B={1,3},滿足條件;當a=2時,A={1,3,2},B={1,3},滿足條件②若a2-a1=a,則a2-2a1=0,解得a=1,此時集合A={1,3,1},不滿足集合中元素

的互異性,所以a=1應舍去綜上,a=-1或a=2={1,2},B={|2m1=0,∈R},且B?A,則實數(shù)m的取值范圍為[-2,2

解析若B=?,則Δ=m2-4<0,解得-2<m<2,符合題意;若1∈B,則12+m+1=0,解得m=-2,此時B={1},符合題意;若2∈B,則22+2m+1=0,解得m=-

,此時B=

,不符合題意.綜上所述,實數(shù)m的取值范圍為[-2,2).考點三集合的基本運算典例212020課標Ⅲ理,1,5分已知集合A={,y|,y∈N*,y≥},B={,y|y

=8},則A∩B中元素的個數(shù)為A2

B3

C4

D622020天津,1,5分設全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,

3},則A∩?UB=A{-3,3}

B{0,2}C{-1,1}

D{-3,-2,-1,1,3}3已知M,N均為R的子集,且?RM?N,則M∪

?RN=?A?

BM

CN

DRCCB解析(1)由

得

或

或

或

所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},故A∩B中元素的個數(shù)為4,選C.(2)因為U={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={-3,0,2,3},所以?UB={-2,-1,1},又A={-1,0,1,2},

所以A∩(?UB)={-1,1},故選C.(3)作出Venn圖,

由圖可知選B.角度二利用集合的運算求參數(shù)典例312020課標Ⅰ理,2,5分設集合A={|2-4≤0},B={|2a≤0},且A∩

B={|-2≤≤1},則a=?A-4

B-2

C2

D422020河北邯鄲二模已知集合A={∈|2-4-5<0},B={|4>2m},若A∩B中

有三個元素,則實數(shù)m的取值范圍是A[3,6

BBC解析(1)由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=

,又∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-

=1,∴a=-2.故選B.(2)集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}=

,∵A∩B中有三個元素,∴1≤

<2,解得2≤m<4,∴實數(shù)m的取值范圍是[2,4).名師點評1解決集合的基本運算問題一般應注意:先看元素組成,對有些集合是先進行化簡,注意數(shù)形結合思想的應用集合的

運算常借助于數(shù)軸和Venn圖解決2關于利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法:①與不等式有關的集合,一般利用數(shù)軸解決,要注意端點值能否取到;②若集合中的元素能一一列舉,則先用觀察法得到不同集合中元素之間的關

系,再列方程組求解12020北京,1,4分已知集合A={-1,0,1,2},B={|0<<3},則A∩B=?A{-1,0,1}

B{0,1}

C{-1,1,2}

D{1,2}解析

集合A與集合B的公共元素為1,2,由交集的定義知A∩B={1,2},故選DD={|1<<3},B={|2m<<1-m},若A∩B=?,則實數(shù)m的取值范圍是

[0,∞

解析①當2m≥1-m,即m≥

時,B=?,符合題意;②當2m<1-m,即m<

時,需滿足

或

所以0≤m<

.綜上,實數(shù)m的取值范圍是[0,+∞).數(shù)學抽象——集合的新定義問題學科素養(yǎng)

·

提升

1定義集合的商集運算為?=?,已知集合A={2,4,6},B=?,則集合?∪B中的元素個數(shù)為?A6

B7

C8

D9B2給定集合A,若對任意a,b∈A,都有ab∈A,且a-b∈A,則稱集合A為閉集合,

給出如下三個結論:①集合A={-4,-2,0,2,4}為閉集合;②集合A={n|n=3,∈}為閉集合;③若集合A1,A2為閉集合,則A1∪A2為閉集合其中正確結論的序號是②

解析(1)由題意知,B={0,1,2},

=

,則

∪B=

,共有7個元素,故選B.(2)①中,-4+(-2)=-6?A,所以①不正確;②中,設n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,

則n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正確;③中,令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=